关于积分概念的教学研究

代晓琳 王青建

【摘要】首先客观阐述积分概念的产生及发展过程.继而通过对比中学和大学数学教育中的积分概念，指出它们与历史上的积分概念之间的联系和区别.最后提出积分概念教学的建议.

【关键词】积分概念，教学研究，历史发展

一、积分概念的产生及发展过程

《中国大百科全书·数学》有关“积分”的定义为：积分是“定积分（黎曼积分）与不定积分的统称；它们作为对函数的运算，是求导（函）数和微分运算的逆运算.”该条目接着给出不定积分和定积分的界定，进一步说明，定积分可以在区间有穷与函数有界两个方面加以推广为广义积分，积分概念在变量的个数上还可以推广到多元函数积分.

德国数学家莱布尼茨首先在著作中使用术语“calculus summatorius”表示积分，意思是“求和计算”.瑞士数学家约翰·伯努利主张将“求和计算”改为“求整计算”（calculus integralis），成为“积分学”（integral calculus）这一概念的前身.约翰的哥哥雅各·伯努利最初也使用“求和计算”，后来将其命名为“积分”（integral），成为今天的专业术语.我国数学中的“积分”一词是由清代数学家李善兰翻译“integral”创用的，沿用至今.

积分的产生和发展过程可分为三个阶段.准备阶段（17世纪中叶之前），公元前5世纪古希腊数学家德谟克里特创立了原子论.认为：线段、面积和立体都是由一些不可再分的原子构成的，而面积、体积的计算方法就是将这些“原子”逐渐累加起来.实质上这已体现了积分的基本思想：将所求量分割成若干细小的部分，找出某种关系后，再将这些细小的部分用便于计算的形式积累起来，最后求出未知量的和.这和现代的积分法相比，主要没有严格的极限思想.创建阶段（17世纪中叶～19世纪），英国数学家牛顿给出流量的定义：“在相同时间内产生的量的大小取决于它们增加和生成的速度的大小，这样的速度称为流数，而所产生的量称为流量.”流数可视为今天我们学习的导数，也近似于微分.那么流数之逆就相当于逆导数或不定积分.莱布尼茨把积分定义为“一个量的所有值的和，或无穷多个无限窄的矩形的和”.他强调“和”即为积分的意思.之后又论述了求积问题与微分的互逆性，并指出“积分”与“微分”的实质就是“和”与“差”.但在当时，积分作为一种逆运算的观点比作为和的观点更为流行.完善阶段（19世纪～20世纪），1823年法国数学家柯西首次给出现代初等积分学教程中采用的定义.1854年德国数学家黎曼推广了柯西积分的定义，强调在积分存在的情况下，极限值与划分区间的方式和所选取的点集无关.随着德国数学家魏尔斯特拉斯ε—δ语言的建立，极限概念得到了完善，从而分析学的算术化宣告完成.积分概念也“进化”到20世纪大学教科书中采用的ε—δ语言所阐述的形式.

二、数学教育中的积分概念

中学的积分教学，仅仅讲授定积分知识.教学内容是由任一多边形面积可以通过分割求和来得到，利用类似方法来求曲线围成的区域的面积，从而引入定积分.通过对曲边梯形面积和弹簧拉力做功两个例题的研究，运用分割，以直代曲，求和，取极限的方法使定积分的概念逐步建立起来.两个例题都是实际问题，虽然意义不同，但是解决问题的方法和步骤都归结为求一个函数在某一闭区间上和式的极限问题.2007年人教版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2—2》中定积分定义虽然在文字表述上很直观，但还需借助几何图形，便于学生理解.《全日制普通高级中学数学教学大纲》和《普通高中数学课程标准（实验）》都强调“引导学生初步了解定积分的概念，体会定积分的基本思想”.

华东师范大学数学系编写的第三版《数学分析》中关于定积分概念同样也是从曲边梯形面积和变力做功两个例子引出的.所引用的两个问题最终归结为一个特定形式的和式逼近，而解决这类问题的思想方法概括起来就是“分割，近似求和，取极限”.对于不定积分，教材通过引入原函数的概念叙述定义.简单来说，就是求一个未知函数，使其导函数恰好是某一已知函数.

中学和大学的积分概念存在着异同.相同之处在于教学方法和思想类似，均为“分割，近似求和，取极限”.不同之处为中学的定积分概念采用了黎曼在1854年论文中叙述的定义，而大学的不定积分与柯西在《无穷小教程》中定义的相似，定积分定义运用魏尔斯特拉斯给出的ε—δ的极限定义来叙述，相对于中学的定积分定义来说比较注重符号化、形式化.

三、积分概念的教学探讨

中国从1978年开始在高中人教版数学教科书中加入微积分内容.积分自然也成为数学教学的一部分.通过以上的比较分析，我们提出三点关于积分概念教学的建议：

1.遵循数学发展规律，建立积分教学的衔接性联系

从数学发展史上来看，黎曼在柯西积分的基础上加以推广，于1854年给出更为接近今天高中的定积分概念.之后魏尔斯特拉斯的ε—δ语言定义类似于当今大学的定积分概念.因此，高中和大学的积分概念应该遵循数学史发展规律，由浅入深.中学阶段需要学生了解积分的概念，特别对概念中思维关系的理解，体会近似代替思想和定积分思想.大学阶段积分的教学需要学生深刻理解积分概念，还需要在数学及其他学科领域应用这种“和式的极限”思想.

2.根据学生的受教育程度和理解程度不同实施教学

中学阶段对由直线段和圆弧围成的平面几何图形面积计算相对容易，而对于由任意曲线围成的平面区域的面积计算就束手无策.极限概念的出现解决了这一问题.黎曼给出的定积分定义是在几何直观下建立的，学生容易理解.大学阶段定积分定义简化为ε—δ语言的形式，完全脱离几何学，只在数的观念上建立，因而相比高中的定义就更加抽象，在理解程度上有所难度.由此，我们在教学中要改善教与学的方式，使学生主动地学习.不能只限于形式化的表达，应注意揭示数学的本质.

3.注重体现积分概念的来龙去脉，引导学生经历积分概念从具体到抽象的过程认知心理学研究表明，概念的形成要求学生由大量的具体事例概括出关键特征，即新概念.积分概念较为抽象，在教学中要注重体现积分概念的来龙去脉，通过对具体事例的讲解分析，引导学生经历概念从具体到抽象的过程，从而在运用中逐渐理解积分概念的本质.

总之，了解积分概念的产生和发展，掌握不同教育阶段的积分概念，并与历史上的积分概念进行对比学习，客观分析在教学实际中可能出现的问题，才能达到更好的教学效果！

【参考文献】

[1]袁传宽.积分.见：中国大百科全书·数学.北京：中国大百科全书出版社.1988：311.

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