不定积分的一题多解

邢秀侠

摘要：本文对三道不定积分的题目给出了多种不同的解法，其中综合应用了凑微分和第二类换元法（包括三角代换、根式代换和倒代换等）两类典型积分法，这对工科大学生学习综合运用多种积分技巧求解不定积分具有启发意义。

关键词：不定积分；凑微分；第二类换元；三角代换；根式代换；倒代换

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）15-0245-02

在高等数学课程中，求解不定积分是相对比较困难的部分，因为技巧性比较强，可用的工具也比较少。求极限、判断连续、求导、求微分时，都有针对函数的四则运算和复合的相应的运算法则。而到了求不定积分，只有针对加、减运算的被积函数的积分法则，却没有专门处理乘积、商和复合形式的被积函数的积分法则。

国内现行的高等数学教材里通常会给出三类典型的积分法，包括凑微分、第二类换元和分部积分。初学不定积分的时候，要注意把握每种积分法各自的特点，看它们都适合处理什么样的被积函数。比如凑微分法和分部积分法都可以用来尝试处理一些乘积形式的被积函数，也都有把被积函数的一部分拿进来凑微分的步骤，不过使用凑微分技巧时对被积函数的要求比较高：即需要凑完微分以后剩余的被积函数是某个容易积出来的函数和微分符号“d”后面的那个函数的复合形式，而分部积分法对被积函数的要求则没这么高。一般来讲，分部积分技巧可以处理被积函数为“反对幂三指”五类函数中的两类相乘的情形。至于第二类换元，其基本思想是去根号，容易总结出一些很典型的代换：三角代换、根式代换和倒代换等。但是，当学生把所有积分法都学完，并且针对每种积分法都做了一定量的练习后，就很有必要培养综合利用多种积分法求解不定积分的能力。高数课教师在不定积分这一章的末尾上习题课时，也要有意识地选取典型例子，引导学生尝试利用不同的积分法求解不定积分，让他们体会“条条大路通罗马”的喜悦，从而激发他们学习高等数学课程的兴趣。

下文介绍三个典型的例子，这些例子均有多种解法，其中融合了凑微分（也称第一类换元法）和第二类换元法（包括三角代换、根式代换、倒代换和非典型代换），具有很好的启发性。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学（上）[M].第五版.北京：高等教育出版社，2002.

[2]范周田，张汉林.高等数学（上）[M].第二版.北京：机械工业出版社，2012.