求均质杆件动能的一种新方法——矢量运算法

朱章根(韶关学院物理与机电工程学院,广东韶关 512005)



求均质杆件动能的一种新方法
——矢量运算法

朱章根
(韶关学院物理与机电工程学院,广东韶关 512005)

【摘 要】动能定理一直是力学教学的一个重难点,同时也是一个很重要的内容。后续的分析力学基础都是以动能及势能为基础的,可见其在力学课程中的重要性。我们提出一种计算杆件动能的新方法并且对新方法给出了理论证明。与常规方法不同的是新方法运用基础力学知识求出杆件两个端点的速度继而用基础矢量运算可轻易求出其动能表达式。并且给出了该新方法在多种动力学问题中的应用。

【关键词】矢量 均质杆 动能 动力学 拉格朗日函数 分析力学

杆件运动时其动能为标量，速度为矢量。而二维矢量点积为一个常数，直接根据矢量的运算是可以直接得到标量的。根据矢量运算可以绕开柯尼希定理，直接求出平面均质杆件做平面运动时的动能。因而可将动能直接表示成为矢量运算形式。

定理描述如下：假如一根长为l的均质直杆在做平面运动，m为杆的质量。其两个端点A、B的速度矢量分别为u、v，矢量的点积为u·v则该均质直杆的动能为

将上式以及u =aω且v =bω，带入动能表达式，可得

即（*）式成立，由以下几个例题可以看出它在动力学之中的应用。

例1 两个长均为l质量均为m的均质杆在A点衔接后悬挂在O轴上，在B端受到冲量S的作用，如图2所示，求碰撞后两杆的角速度。

解：取OA杆的转角ψ1和AB杆的转角ψ2为广义坐标。碰撞前两杆的角速、均为零，碰撞后两杆的角速度分别为ω1和ω2。杆OA作定轴转动，故端点O的速度大小为vO=0，端点A的速度大小为vA=Lω。此时0，故其动能为

因此系统的动能为

碰撞前广义动量都是零，碰撞后的广义动量为

由此解得

例2：在例1的基础上，均质杆和OA以及AB用铰A连接，用铰O固定，如图二所示。若两杆的长度不相同分别为l1和l2。质量也不同分别为为m1和m2。在B端作用的不是冲量而是一个常值水平力S则该系统的运动微分方程为何？

解 这种问题一般用拉格朗日方程求解，势必需要求该体系的动能。因系统具有完整理想约束，具备拉格朗日方程求解的条件。系统具有两个自由度，取α，β为广义坐标。主动力包括P1，P2，S。两个重力是有势力，而常值主动力S可以当作重力对待。由于OA杆绕O点作定轴转动，O点的速度为0，端点的A的速度大小为vA=l1。因此OA杆动能为

故整个系统的动能为

接着求系统的势能，根据几何关系有

因而总势能为

系统的拉格朗日函数为

由

可得系统的运动微分方程为：

例3 一根长为l均质细杆AB质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，设杆与地面的夹角为θ。求杆在下落过程中未与地面碰撞前任意时刻的角速度以及杆刚刚躺到地面前瞬时杆的角速度。

解：由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，水平方向上动量守恒。因而直杆在倒下过程中其质心将铅直下降。当直杆在下落的过程中，约束力不做功，仅由重力做功，系统的机械能守恒。设A点的速度矢量为u，B点的速度矢量为v有几何知识易得

将u、v以及uv带入（）*式可得

初始时动能为T0=0。则由动能定理可得

继而有杆刚刚躺到地面前瞬时，此时θ=0，将θ=0带入上式，根据（）*式，此时杆的角速度为

也可以这样求，杆刚刚躺到地面上之前瞬时，A点为杆的瞬心。则B点的速度为θ.l，可得到同样的结果。

参考文献:

[1]李俊峰等.理论力学(第2版)[M].北京:清华大学出版社,2010.

[2]哈尔滨工业大学理论力学教研室编.理论力学(第7版)[M].北京:清华大学出版社,2009.