一种摆线针轮传动多齿啮合接触特性分析方法

许立新　杨玉虎

1.天津职业技术师范大学天津市高速切削与精密加工重点实验室，天津，3002222.天津大学，天津，300072



一种摆线针轮传动多齿啮合接触特性分析方法

许立新1,2杨玉虎2

1.天津职业技术师范大学天津市高速切削与精密加工重点实验室，天津，3002222.天津大学，天津，300072

摘要：为有效地揭示齿廓修形、弹性接触及负载变化对摆线针轮传动多齿啮合接触动态特性的影响规律，基于多体动力学和弹性接触理论提出了一种可精确预估摆线针齿动态啮合对数、确定接触点位置并获取接触载荷的动力学分析方法。首先，建立了摆线针轮系统刚体多体动力学模型；其次，在数值计算的任一时刻，循环判断摆线齿廓的离散点与各个针齿之间是否满足接触条件，确定最大接触深度并计算法向接触载荷；最后，将摆线针齿接触载荷等效为系统广义力，建立了含多齿啮合接触关系的摆线针轮传动系统动力学方程。在此基础上，以某一针摆传动系统为算例，分析齿廓修形、弹性接触及负载变化对摆线针轮传动多齿啮合接触动态特性的影响。研究结果表明，摆线针轮传动的实际传力针齿数由齿廓修形和负载特性决定。该方法对于具有不同传动比的摆线针轮传动系统，均能高效准确地完成齿廓修形和负载变化条件下的传力针齿数预估和接触载荷计算。

关键词：摆线针轮传动；多齿啮合；接触动力学；多体动力学

0引言

摆线针轮传动具有传动比大、扭转刚性大、传动精度高和传动效率高等优点，广泛应用于工业机器人关节以及精密机床传动中。经过多年的发展，国内外市场以摆线传动为基础出现了一系列较为成熟的减速器产品，如帝人RV(2K-V)减速器和住友FC系列减速器等。近年来，为进一步提高摆线针轮传动的各项性能，国内外学者围绕摆线齿廓修形设计、传动精度以及动力学等问题开展了广泛的研究。

摆线齿廓修形在补偿加工装配误差以及预留润滑间隙的同时，也对针摆多齿啮合特性、系统传动精度、效率以及啮合刚度产生了影响。何卫东等[1]研究了齿廓修形对摆线针轮传动回差的影响，研究结果表明，在尽可能减小侧隙的条件下，采用负等距和负移距修形组合方法，可以优化设计出与针齿互为共轭齿形的摆线轮齿廓，提高了系统传动精度。关天民[2]对采用负移距加正等距修形方法获得最佳修形齿廓的原理进行了探讨，推导出摆线轮最佳修形量的计算公式。关天民等[3]提出了一种摆线“反弓”齿廓的设计方法，分析结果表明反弓齿廓可以有效地减小齿面最大接触力，从而提高齿面承载能力。Chen等[4]基于二次包络理论，提出了一种新型摆线齿廓设计方法，该齿廓的主要特点是在某一接触区域内可以保证双接触线。传动精度是考核摆线针轮传动系统性能的一项关键指标，针对RV减速器，李充宁等[5]根据传动中摆线轮与针轮的啮合关系，得到了实际齿廓的啮合误差与传动精度关系的计算公式；韩林山等[6]综合考虑系统中各零件的加工误差、安装误差、间隙及齿轮啮合刚度、轴承刚度等因素的影响，建立了RV减速器的动态传动精度计算模型；杨玉虎等[7]基于作用线增量原理，应用误差分析的传递矩阵法，研究了RV减速器中各构件的原始误差在整个传动过程中对减速器输出转角误差的影响规律。在摆线针轮传动系统动力学研究方面，张大卫等[8]基于Hertz公式和石川公式，分别建立了RV减速机摆线针轮传动副和渐开线齿轮传动副的啮合刚度模型，同时，也考虑了摆线轮加工误差、装配误差等导致的个别齿不能正确啮合的情况。理论研究结果表明，摆线针轮同时啮合齿数能达到针轮齿数的1/2，但实际情况一般只能达到针轮齿数的1/3。近年来，杨玉虎等[9]借助ANSYS软件建立了考虑轴承刚度、齿轮啮合刚度及各构件弹性的有限元模型，分析了RV整机扭转刚度随输入轴转角的变化特性，指出轴承刚度是影响整机扭转刚度的主要因素。Hsieh[10]研究了摆线传动齿廓啮合接触与碰撞动力学特性，并对传动中关键零件的强度进行了分析。Li[11]借助三维设计软件建立了摆线针轮传动的几何模型，并使用有限元技术对摆线针齿啮合过程中的接触载荷和应力分布情况进行了分析。

综上所述，摆线齿廓修形有益于系统装配和啮合接触区域润滑，对提高摆线针轮传动效率和保证减速器工作寿命至关重要。然而，摆线齿廓修形也会产生摆线针轮传动实际啮合齿数偏少、出现齿廓啮合间隙等问题，减小了扭转刚度，引入回差并恶化传动精度，对系统的动力学性能也产生了影响。为取得上述各项性能之间的平衡，全面提高摆线针轮传动系统的性能，如何有效地检测齿廓修形条件下摆线针轮传动多齿啮合接触的动态特性是解决问题的关键。

为了揭示齿廓修形、弹性接触以及负载变化对摆线针轮传动多齿啮合接触特性的影响规律，本文在多体动力学理论框架下提出了一种摆线针轮传动多点啮合接触动力学模型。该模型通过动态判断摆线齿廓与各个针齿之间的接触关系，可以精确预估摆线针齿啮合对数、确定啮合接触点位置并获取接触载荷。

1摆线针轮系统多体动力学建模

如图1所示，在广义坐标系Oxy下，建立摆线针轮传动系统多体动力学模型。模型中，输入轴(曲柄轴)可固定回转，角速度用ωs表示，其局部坐标系(连体坐标系)Osxsys位于回转中心。曲柄轴偏心距为e，位于水平方向。摆线轮局部坐标系Ocxcyc位于其几何中心，回转角速度用ωc表示。摆线轮在曲柄轴上的回转中心即局部坐标系原点Oc。此外，Oixiyi为针轮上第i个针齿销的局部坐标系，位于针齿销的几何中心。

图1　摆线针轮系统多体动力学模型

在摆线减速器传动中，曲柄轴驱动摆线轮公转，由摆线针齿之间的啮合关系促使摆线轮减速自转。摆线轮的自转速度往往采用柱销输出机构传输给输出轴，摆线轮进而承担输出机构反馈的负载扭矩T。为简化并降低模型求解难度，该模型中并未考虑输出机构，而是将负载扭矩T直接添加作用在摆线轮上，扭矩作用方向与摆线轮自转方向相反。

在该模型中，共有2+N个刚体，分别是曲柄轴、摆线轮和N个针齿销。因此，系统广义坐标矢量可表示为

q=(xs,ys,θs,xc,yc,θc,x1,y1,θ1,…,

xi,yi,θi,…,xN,yN,θN)T

(1)

i=1,2,…,N

式中，xs、ys分别为曲柄轴局部坐标系原点在广义坐标系下的位置坐标；xc、yc分别为摆线轮局部坐标系原点在广义坐标系下的位置坐标；xi、yi分别为各个针齿销局部坐标系原点在广义坐标系下的位置坐标；θs、θc、θi分别为曲柄轴、摆线轮和各个针齿销局部坐标系相对广义坐标系的转角。

系统约束方程可表示为

(2)

式中，rb为针齿分布圆半径；θ0为曲柄轴初始转角位置；t为时间。

在多体动力学理论框架下，整理系统质量惯性矩阵、约束方程雅可比矩阵以及系统广义力矢量，并代入多体动力学方程中，可得

(3)

值得注意的是，在上述方程中，系统广义力应该包括两部分，分别是外部负载扭矩T和由摆线针齿接触力引入的作用力及力矩。

2摆线针齿接触判断与接触力计算

通常，摆线针轮系统的传动比可表示为

(4)

式中，z1为摆线轮齿数；z2为针轮齿数。

在图1所示的摆线针轮系统多体动力学模型中，若给定曲柄轴匀速转动，假设摆线轮回转角速度满足下式：

ωc=ωs/isc

(5)

且模型中忽略负载扭矩T的影响，则摆线轮与针齿之间将呈现理想的啮合状态，即摆线齿廓与针齿廓线不会出现交叉干涉现象，如图2所示。

图2　摆线针齿理想啮合状态

若考虑负载扭矩T的影响，摆线齿与针齿齿廓会出现几何交叉干涉现象。实际中，这种几何廓线局部交叉压入现象会引发摆线针齿之间的接触力。显然，接触位置以及接触刚度的确定是准确获取接触力的关键。

摆线轮与各个针齿之间的几何接触分析如图3所示。首先将摆线轮连续几何廓线离散，得到一系列离散点pj。任一离散点在广义坐标系Oxy下的位置矢量rpj可表示为

(6)

图3　摆线针齿几何接触分析

通过求解系统动力学方程，在数值积分的任一时刻，循环计算各个离散点与各个针齿几何中心之间的相对位置矢量di：

di=rpj-rb

(7)

式中，rb为针齿几何中心在广义坐标系Oxy下的位置矢量。

当摆线轮几何廓线上的离散点与针齿几何中心之间的相对距离di满足下式时：

di-Rr≤0

(8)

摆线齿上的离散点将与针齿几何表面形成接触区域。其中，Rr为针齿销半径。

在数值计算的任一积分时刻，摆线轮上可能存在多个离散点与针齿同时满足接触条件，即摆线轮与针齿形成接触区域，如图4所示。在这一接触区域中，最大接触深度himax可表示为

himax=max|di-Rr|

(9)

图4　摆线针齿接触位置与最大接触深度分析

最大接触深度方向的单位法矢量n可表示为

n=dimax/‖dimax‖

(10)

式中，dimax为对应最大接触深度方向上的离散点与第i个针齿几何中心之间的相对位置矢量。

在确定摆线齿与针齿之间的最大接触深度后，接触载荷可以采用下式计算：

Fin=Khimax

(11)

式中，K为摆线针齿之间的啮合接触刚度。

若摆线轮几何廓线上的离散点与针齿几何中心之间的相对距离di不满足式(8)条件，摆线齿与针齿将不发生接触，则

Fin=0

(12)

值得注意的是，啮合接触刚度K取决于摆线针轮在接触点处两者的曲率半径，其值可用下式计算：

(13)

(14)

式中，Rc为接触点处摆线齿廓曲率半径；Rr为接触点处针齿销曲率半径；Ek为线轮和针齿材料的弹性模量;νk为摆线轮和针齿材料的泊松比。

当摆线齿廓与针齿齿廓呈外凸接触时，式(13)中取“+”号；呈内凹接触时，式(13)中取“-”号。

摆线针齿之间的接触力Fin作用在接触法线n方向，在广义坐标系下接触力Fin可以沿坐标轴方向分解出两个分力，分别为Fixn和Fiyn，如图5所示。Fixn和Fiyn对摆线轮产生的扭矩可表示为

图5　摆线针轮传动广义力分析

(15)

在摆线针齿接触载荷Fin以及扭矩Ti作用下，摆线轮所受广义力可以表示为

(16)

(17)

(18)

式中，N为针齿数。

针齿i所受广义力可以表示为

Fixb=-Fixn

(19)

Fiyb=-Fiyn

(20)

将摆线轮和各个针齿所受广义力代入式(3)，便建立了摆线针轮多点啮合接触动力学模型，该模型的求解流程如图6所示。求解程序采用MATLAB软件编制，并采用Gear数值方法求解计算。

图6　摆线针轮多齿啮合接触动力学模型求解流程

3算例分析

基于上述方法，以某一摆线针轮传动系统为例，建立该类系统的刚体接触多体动力学模型。模型中，针轮上均匀分布16个针齿，再加上一个曲柄轴和一片摆线轮，系统中共有18个刚体。摆线轮在曲柄轴驱动下以及受针摆接触作用后将产生公转和自转运动。系统中各个刚体的质量与惯量参数见表1。摆线针轮传动系统的几何结构参数见表2。

表1　摆线针轮传动系统构件质量与惯性参数

表2　摆线针轮传动系统几何结构参数

动力学分析需要给定系统的初始状态。在数值计算的初始时刻，假设摆线针轮传动系统的初始位置状态如图1所示。图1中，曲柄轴偏心位于水平向右方向，摆线轮与各个针齿相啮合。假设位于右侧水平轴上的针齿序号为1，针齿按逆时针方向依次均匀布置，最后一个针齿序号为16。在后续分析中，将考虑摆线齿廓移距修形、等距修形设计以及负载扭矩变化对摆线针轮多点啮合接触特性的影响。此外，在系统动力学分析中，一些必要的接触与计算参数见表3。需要注意的是，为保证计算结果的准确性，摆线轮齿廓离散点设置得较密。由于摆线齿廓曲率半径变化，应该考虑啮合位置变化中的变刚度影响。

表3　摆线针轮传动系统接触与计算参数

将算例模型中的曲柄轴输入转速设为零，在摆线轮上施加一个幅值大小为100N·m的负载扭矩，当系统受力达到平衡后，摆线针轮之间的传力针齿数、啮合点位置以及接触力幅值变化情况如图7所示。该结果中未考虑摆线齿廓修形影响，可以发现，实际传力针齿数为8，正好是针轮全部针齿数的一半。在图示位置中，针齿1所受接触载荷幅值最小，为0.6N；针齿2所受接触载荷最大，达到372N。沿着逆时针方向，各个针齿接触载荷逐渐减小。

图7　无修形摆线针轮多齿啮合特性和接触载荷分析

图8　含修形设计时摆线针轮传动啮合特性和接触载荷分析

图8所示为在齿廓修形条件下摆线针轮之间的多齿啮合接触情况。当摆线齿廓移距修形量和等距修形量分别取0.046mm和0.060mm时，实际传力针齿数仅为4，传力最大针齿所受载荷为437N。由于齿廓修形量大，传力针齿数少，故传力最大针齿所受接触载荷幅值会增大，这给保证齿面接触强度、提高系统传动能力带来了负面影响。

图9所示为负载扭矩增大到600N·m之后，修形摆线针轮之间的多齿啮合接触情况。与图8比较可以发现，在修形量不变的情况下，负载扭矩增大后实际传力针齿数增加，由之前的4增加到6，这是由于负载扭矩增大，摆线针齿弹性接触变形增大，后续摆线针齿之间依次克服修形间隙实现接触导致的。此外，传力最大针齿所受载荷为2431N。

图9　负载扭矩较大时摆线针轮啮合特性和接触载荷分析

在图7～图9的分析中，假定曲柄轴输入转速为零，仅分析在初始位置状态下负载扭矩和摆线齿廓修形对针摆多齿啮合接触特性的影响。若给定曲柄轴匀速转动条件，该方法也可以分析摆线针轮动态传动条件下，针摆多齿啮合接触变化情况。在曲柄轴输入转速为1500r/min、负载扭矩为200N·m、移距修形0.046mm和等距修形0.060mm条件下，摆线针轮多齿动态啮合接触情况如图10所示。

图10　修形摆线针轮动态啮合特性和接触载荷分析

4结论

(1)本文基于多体动力学和弹性接触理论，提出了一种可精确预估摆线针齿啮合对数、确定接触点位置并获取接触载荷幅值的动力学分析方法。该方法在摆线针轮多齿啮合接触特性和摆线齿廓修形设计、负载扭矩变化规律之间，建立起严格的映射对应关系。此外，借助MATLAB软件，针对摆线针轮之间的动态啮合接触情况实现了可视化图形显示，便于工程分析。

(2)研究结果表明，摆线针轮传动的实际传力针齿数由齿廓修形和负载特性决定。在修形量一定的条件下，负载扭矩越大，经齿廓弹性接触变形协调，摆线针轮接触齿数就越多。

(3)本文方法具有一般性，对于具有不同传动比的摆线针轮传动系统，均能高效准确地完成齿廓修形以及负载变化条件下的传力针齿数预估和接触载荷计算。

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(编辑陈勇)

A General Method for Multi-tooth Contact Analysis of Cycloid-pin Gear Transmission

Xu Lixin1,2Yang Yuhu2

1.Tianjin Key Laboratory of High Speed Cutting and Precision Machining,Tianjin University of Technology and Education,Tianjin，300222 2.Tianjin University,Tianjin，300072

Abstract：In order to effectively reveal the influences of tooth profile modification, elastic contact deformation and load variation on multi-tooth meshing contact dynamic characteristics of cycloid-pin gear transmission, a general dynamics analysis method was proposed based on the multi-body dynamics theory and elastic contact theory, which might be used to exactly predict the engagement number in cycloid-pin gear transmission, locate the contact point and get the contact load. A multi-rigid-body system of cycloid-pin gear transmission was modeled firstly. Secondly, at any moment of numerical calculation, the contact conditions between the discrete points on cycloid gear profile and pins were checked to meet the requirements or not. Then, the maximum contact depth was determined and the normal contact force was calculated. Finally, the contact force was converted to the generalized force, and the dynamics equations of the cycloid-pin gear transmission system with multi-tooth meshing contacts were formulated. The effects of profile modification, elastic contact deformation and load variation on multi-tooth meshing contact dynamics characteristics of a specific cycloid-pin gear transmission system were analyzed. The results indicate that the real numbers of pins to transmit load are determined by the characteristics of tooth profile modification and external torque. For the cycloid-pin gear systems with different transmission ratios, the estimation of the numbers of pins to transmit load and the calculation of contact force can be finished efficiently and accurately by this approach.

Key words：cycloid-pin gear transmission；multi-tooth meshing；contact dynamics；multi-body dynamics

收稿日期：2015-07-02

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51305300)；国家高技术研究发展计划(863计划)资助项目(2011AA04A102)；中国博士后科学基金特别资助项目(2015T80220)

中图分类号：TH113

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.10.017

作者简介：许立新，男，1982年生。天津职业技术师范大学天津市高速切削与精密加工重点实验室副教授，天津大学机械工程学院博士后研究人员。主要研究方向为精密摆线传动、机械动力学及多体动力学。杨玉虎(通信作者)，男，1962年生。天津大学机械工程学院教授、博士研究生导师。