基于时间序列差分特性的LMD端点效应处理方法

杜冬梅　张　昭　何　青　李　红

华北电力大学，北京，102206



基于时间序列差分特性的LMD端点效应处理方法

杜冬梅张昭何青李红

华北电力大学，北京，102206

摘要：局部均值分解方法在计算过程中会使信号在端部产生端点效应，为减弱LMD中存在的端点效应，提出了一种基于信号时间序列差分特性的端点延拓方法。将信号曲线看作一段离散函数，利用该函数段末端的一阶差分和二阶差分的符号判断曲线的特征和发展趋势，根据具体情况判定所延拓极值点的值。使用该方法对仿真信号和实验轴承外圈故障和内圈故障信号进行了分解，并将其结果与镜像延拓改进的LMD方法分解的结果进行了对比。该方法在分解中的良好表现验证了其在信号分析中的有效性。

关键词：局部均值分解；端点效应；时间序列差分；延拓

0引言

振动是反映机械设备运行状态的重要参数，通过对机械设备振动信号的监测分析，可以对设备的运行状态进行监视，及时发现设备出现的异常状态，并对其原因作出分析判断。时频分析可以更好地判断设备发生异常时的振动频率变化，传统的时频分析方法有短时Fourier变换[1]、Gabor变换[2]、 Wignar-Ville分布[3]和小波变换[4-5]。短时Fourier变换、Gabor变换、Wignar-Ville分布和小波变换是在Fourier变换的基础上利用窗函数将信号划分为若干段分别求子段频率的频谱分析方法，它们可以确定频率发生变化的时刻。但是利用窗函数对信号进行机械的划分，不能自适应地将信号中包含的固有模态成分分离出来，在信号分析中有一定的局限性。

经验模态分解(empirical mode decomposition, EMD)是Huang等[6]提出的一种自适应的分解方法，能够自适应地将信号分解为一组频率从高到低自动排列的本征模态分量和一个残余分量，但EMD本身存在的端点效应、模态混叠等问题较严重。Simth[7]提出了一种新的信号分解算法——局部均值分解(local mean decomposition, LMD)，采用移动平均的方式求取信号包络线和均值，减小了EMD因样条插值造成的严重的端点效应，同时瞬时频率具有了明确的物理意义。学者们对LMD作了许多研究，Yang等[8]利用高斯白噪声具有频率均匀分布的统计特性，在目标信号中加入白噪声以减弱LMD算法的模态混叠现象。Park等[9]将LMD引入复数域，从而使LMD算法可以进行多变量的信号分析。任达千等[10]将LMD的端点效应与EMD作了比较，并提出了一种基于能量的端点效应评价方法和镜像延拓的端点效应抑制方法，但镜像延拓的极值点确定缺乏具体的理论依据。孟宗等[11]提出了基于对称差分能量算子解调的LMD端点效应抑制方法，实现了旋转机械故障的有效诊断，但LMD分解过程中产生的各分量的端点效应难以避免。

本文针对LMD算法中存在的端点效应问题，提出了基于信号时间序列差分特性的方法进行端点延拓，根据信号两端时间序列的一阶差分和二阶差分的符号判断信号的发展趋势，对信号进行端点的延拓，从而大大减弱了LMD算法计算过程中的端点效应，通过仿真信号和实验轴承数据的分析，验证了改进方法的有效性。

1LMD原理

LMD可以将原始信号自适应地分解为一组频率由高到低自动排列的乘积函数(product function, PF)分量，每个分量由一个纯调频信号和一个包络信号相乘得到。LMD原理如下[12]。

(1)确定原始信号x(t)所有的局部极值点ni,j，计算相邻两个极值点ni,j和ni,j+1的平均值mk,i,j：

mk,i,j=(ni,j+ni,j+1)/2

(1)

将所有平均值mk,i,j用直线连接起来，然后利用滑动平均方法进行平滑处理，得到局部均值函数mk,i(t)。计算局部包络估计值：

ak,i,j=|ni,j-ni,j+1|/2

(2)

将所有包络估计值ak,i,j用直线连接起来，同样利用滑动平均方法进行平滑处理，得到包络函数ak,i(t)。其中，k为PF分量的个数，k=1,2,…,l；i为求取PF分量过程中的迭代次数，i=1,2,…,n；j为极值点下标。

(2)将局部均值函数mk,i(t)从原始信号x(t)中分离出来：

hk,i(t)=x(t)-mk,i(t)

(3)

(3)用hk,i(t)除以包络估计函数ak,i(t)，从而对hk,i(t)进行解调，得

sk,i(t)=hk,i(t)/ak,i(t)

(4)

理想地，sk,i(t)是一个纯调频函数，其包络值为1。如果sk,i(t)不满足此条件，则再将其作为原始时间序列，重复步骤(1)～(3)，直到某一调频函数sk(t)的包络值为1时停止。但是在实际应用中，由于种种原因，纯调频信号的包络值不能精确地为1，可设置一个阈值Δ，当1-Δ≤a1n(t)≤1+Δ时，结束迭代。迭代得到的纯调频信号sk(t)求反余弦即可得到分量瞬时相位角：

φk=arccos(sk(t))/(2π)

(5)

由瞬时相位角对时间求导可得到瞬时频率ωk：

ωk=dφk/dt

(6)

(4)将上述迭代过程中得到的所有包络估计函数相乘，从而得到包络信号ak(t)：

(7)

(5)将包络估计函数ak(t)与纯调频函数sk(t)相乘，得到原始信号的第k个携带有用信息的分量CPFk(t)：

CPFk(t)=ak(t)sk(t)

(8)

(6) 将第一个分量CPF1(t)从原始时间序列x(t)中分离出来后，得到一个新的信号u1(t)，再将u1(t)视为原始信号，重复步骤(1)～(5)，循环l次，直到ul为一个单调函数或常数函数为止。最终可以得到一组携带有用信息的分量和一个残余分量ul，即

(9)

循环结束后得到l个PF分量及其对应的瞬时频率，通过时频图能很容易地获得各分量频率随时间变化的轨迹信息，从而从频域对信号各组分进行更准确的分析。本文涉及的LMD方法的迭代停止准则都应用了文献[12]提出的停止准则，减少了迭代过程中的计算量。

2LMD的改进

由于离散时间序列求取包络估计值和平均值后，序列长度较原始时间序列会变短，故需要在端点延拓值才能进行后续的计算。但是所延拓点的值是一个未知数，无论采用何种延拓方法，分解得到的PF分量较信号原始组分都会有一定误差。因此，可设法延拓序列使其更接近信号发展趋势，尽可能地减弱端点效应，从而使分析更真实可靠。

表1　基于序列差分特性的端点处理方法

(a)(t)>0,(t)>0,xe<0

(b)(t)>0,(t)>0,xe>0

(c)(t)>0,(t)<0,xe<0

图1　信号右端曲线函数特征及延拓示意图

x(s)-x(s-1)

(10)

其中，s∈t且s=k,k+1,…,e，k是离端点最近的拐点的下标。函数x(t)外延拓点幅值为xe+Δx1，这样可以避免如镜像延拓方法中延拓至该点幅值为Ma而造成幅值过大的问题；如图1d所示，若xe>0时延拓至xe+Δx1也是为了防止幅值过大。其他情况可作同理分析。

3仿真分析

为验证新的极值点延拓方法的有效性，对仿真信号

x1=10sin(10πt)+30cos(100πt)+20cos(50πt)

进行分析，采样频率为1 kHz，采样点数为1000。对比LMD方法改进前后的分解结果如图2和图3所示,图中，CPF1、CPF2、CPF3、CPF4及C分别为各PF分量及残余分量幅值。图2所示为原始LMD方法的分解结果，原LMD方法单纯将信号端点值视为极值点进行计算，将仿真信号分解为4个分量和1个残余分量，第4分量为因误差产生的虚假分量。从图2中可以很容易看出在分解到第3分量时，组分两端出现了严重偏差，并影响到信号内部区域。

图2　原始LMD方法分解结果一

图3　改进LMD方法分解结果一

图3所示为改进的LMD分解结果，包含3个组分和1个残余分量，符合原始信号有3个不同频率组分的事实，且到第3分量时端点效应明显减弱。端点效应累积到第3分量时使信号产生较大的偏差，导致第3分量波形失真，第3分量分解结果与原组分的绝对误差如图4所示，从而验证了改进方法的有效性。

图4　第3分量绝对误差对比一

用同样的采样频率和采样点数对仿真信号

x2=10sin(10πt)+30cos(120πt)+20sin(50πt)

进行分解得到图5和图6所示结果。对比图5和图6结果中的前3个分量可以发现，原始LMD结果在分解到第3分量时产生严重的端点效应，并且影响到了信号内部，而图6中的端点效应则有了明显的改善。

图5　原始LMD方法分解结果二

图6　改进LMD方法分解结果二

图7所示为LMD方法改进前后，分解到第3分量时产生的与原分量的绝对误差对比。从图7中可以很容易看出改进前产生了很大的误差，并且严重影响到信号内部；而应用改进方法后，信号的分解结果有了很大的改善，使分解结果更可靠。

图7　第3分量绝对误差对比二

4实验信号分析

实验信号的验证选取美国凯斯西储大学轴承数据中心公开的电机驱动端SKF6205-2RS深沟球轴承外圈和内圈故障数据，轴承参数见表2，故障特征频率分别为108 Hz和162 Hz。采样频率为12 kHz，分析点数为6000。实验信号的分解采用了镜像延拓[13]改进的LMD方法和本文改进的LMD方法两种方法进行对比。

表2　SKF6205-2RS轴承结构尺寸参数　mm

对于轴承外圈故障信号，镜像延拓LMD分解结果如图8所示，得到2个分量；新方法改进的LMD分解如图9所示，得到3个分量。图8中第1分量对应的频谱中不能找到外圈故障特征频率108 Hz，该分量含有较宽频带的噪声成分和因故障产生的共振成分，第2分量对应的频谱中可以找到故障特征频率，但其仍含有大量的噪声成分。图9中第1分量对应频谱中噪声频率能量明显提高，并且改进后的算法在第2和第3分量中都能找到外圈故障特征频率，说明改进的LMD方法对各频率段的成分分解得更彻底，使故障分量信号特征更明显，验证了改进算法的优越性。

图8　外圈信号镜像延拓LMD分解及频谱

图9　外圈信号新改进LMD分解及频谱

对于轴承内圈故障信号，镜像延拓LMD分解结果如图10所示，分解得到3个分量；新方法改进的LMD分解得到4个分量，如图11所示。图10、图11在第2和第3分量对应的频谱中都能找到内圈故障特征频率162 Hz。从频谱来看，图10中第3分量包含的低频成分比图11中第3分量的低频成分要多，而图11分出4个分量，将图10中第3分量进行进一步分解，使不同频率段的信号得到了更为彻底的分解，由此验证了新方法改进LMD的有效性。

图10　内圈信号镜像延拓LMD分解及频谱

图11　内圈信号新改进LMD分解及频谱

5结语

本文针对LMD方法中存在的端点效应问题，结合曲线函数的一阶导数和二阶导数判断函数趋势的原理，提出了基于信号序列差分的端点延拓方法。该方法兼顾了延拓点的误差和算法的复杂程度两个方面，在信号端点延拓一个尽可能接近下一个极值点的点以减弱端点效应。利用该方法对仿真信号和实验轴承外圈和内圈故障信号进行了分析，验证了该方法的实用性。

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(编辑陈勇)

A Processing Method to Weaken End Effects of LMD Based on Difference Performance of Time Series

Du DongmeiZhang ZhaoHe QingLi Hong

North China Electric Power University,Beijing,102206

Abstract:End effects occured at the ends of signals after calculating their envelope and mean value estimation with LMD algorithm. In order to weaken the influences, a continuation approach was proposed based on the difference performance of time series. It considered the signals as a discrete function, and judged the signal tendency by the signs of their first-order difference and second-order difference, determining the value of extreme points of continuation according to the specific situation.This new method was used to decompose the synthetic signals and test signals of rolling bearings with outer raceway faults and inner raceway faults, their results were compared with those decomposed by the LMD improved by mirror extension. Its good performance in decomposition validates the effectiveness of this new approach in signal analysis.

Key words:local mean decomposition(LMD); end effect; difference of time series; continuation

收稿日期：2015-06-25

基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2014MS17)

中图分类号：TH133.3; TH17

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.10.007

作者简介：杜冬梅，女，1964年生。华北电力大学能源动力与机械工程学院教授。主要研究方向为状态监测与故障诊断。张昭，男，1990年生。华北电力大学能源动力与机械工程学院硕士研究生。何青，男，1962年生。华北电力大学能源动力与机械工程学院教授。李红，女，1977年生。华北电力大学能源动力与机械工程学院讲师。