高考数学中立体几何的总结归纳

鲁娟

在高考中立体几何方面主要考查的是空间想象能力和运算能力.解决问题的方法有许多种，常见的方法有：利用立体（平面）几何的定义，性质；利用空间向量求解，把立体几何向量化；建立三维直角坐标系，在坐标系中求解.

一、常见的证明考点

1.证明的考点.证平行（线线平行，线面平行，面面平行），证垂直（线线垂直，线面垂直，面面垂直），证明二面角角度（一般都告诉了二面角）.

2.证明的思路.（1）证线与线平行思路.垂直于同一条直线的两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行.（2）证线面平行的思路.面S上有一条线B，证明线B与A平行；证明面S的法向量SN与线A的方向向量AD垂直；证明线A所在的一个平面，与S平面平行；证明通过A的两个平面，与S平面相交，有两条直线B，C，证明B，C平行；等等.（3）证面面平行的思路.证明两个平面垂直于同一条直线；证明两个平面的垂线平行；证明一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行；证明一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行.（一般用课本上的公理即可证明）还有很多思路，关键是注意利用已知条件，以及严格记清楚线线平行、线面平行、面面平行的定义和性质.证明的时候，各个分步骤方法多样，还需要用到立体的一些性质.（4）证线与线垂直思路.两直线夹角为90°（定义）；在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）；若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面的所有直线；在空间直角坐标系中，三点两向量确定一个平面，分别于这两个向量垂直的向量也就是分别与这两个向量乘积为0的向量垂直于这个平面（法向量求证）；可以由线面垂直得出线线垂直，也可以证面面垂直，得出垂直于两个面交线的两直线垂直.（5）证线面垂直的思路.如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直（定义）；一条直线垂直于平面内两条交叉的直线，则该直线垂直于平面（三垂线定理）.（6）证面面垂直的思路.一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直（即一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直）；分别在两个平面中找一个向量，向量乘积为零（向量法），则这两个面垂直等.（7）证二面角.证明这个角的两边都垂直于两个平面的交线；证明两个平面的交线垂直于这个角所在的平面（两条相交直线确定一个平面）；证明两个平面分别都垂直于这个角所在的平面；证明这个角是两个平面上相交直线（交点一定在面的交点）所成角中最小的角.

二、常见的计算考点

1.计算的考点.计算三角函数值，计算面积，计算体积，计算二面角，计算距离等.

2.计算的思路.（1）定义法.直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性.（2）三垂线法.已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角.（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直.（4）射影法.利用面积射影公式S2=S1cosθ，其中θ为平面角的大小，此法不必在图形中画出平面角.特别是，对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）.

三、一些常见的角度范围

角度的范围.异面直线所成角的范围：0°<α≤90°；斜线与平面所成的角：范围0°<α<90°；线面所成的角范围0°≤α≤90°；二面角的平面角的范围：0°≤α<180°.

四、距离的求法

1.在立体几何中，点面（点点，点线）的距离也是经常考到的.注意：求点到面的距离的方法.（1）直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）.（2）转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）.（3）体积法：利用三棱锥体积公式.

2.计算线到线距离.关于异面直线的距离，常用方法有：（1）定义法，关键是确定出两条线a，b的公垂线段.（2）转化为线面距离，即转化为a与过b而平行于a的平面之间的距离，关键是找出或构造出这个平面.（3）转化为面面距离.

3.线面、面面距离.线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化.