复合材料层合板在不同温度场中的热屈曲行为

田新鹏,李金强,郭章新,韩志军

(太原理工大学 力学学院,太原 030024)



复合材料层合板在不同温度场中的热屈曲行为

田新鹏,李金强,郭章新,韩志军

(太原理工大学 力学学院,太原 030024)

摘要:基于经典冯·卡门(Von Karman)平板理论,运用哈密顿(Hamilton)原理,分别对复合材料层合板在均匀温度场下和非均匀温度场下的热屈曲行为进行研究,并探讨层合板的边界条件对临界屈曲温度的影响。利用ANSYS软件模拟获得了与MATLAB软件相一致的数值结果,验证了本文理论和程序的可靠性。结果表明，均匀温度场下,层合板的临界屈曲温度与其边界条件和铺层角度密切相关;非均匀温度场下,层合板的临界屈曲温度受温度分布、振动模式和边界条件的影响。

关键词:层合板;热屈曲;边界条件;铺设角度;温度分布

复合材料层合结构由于其比强度高、比模量高及可设计性强等优点,近年来已经在航空航天、机械工业、建筑工程、石油化工、汽车工业等方面得到了广泛的应用。复合材料层合结构在工程结构中的使用比例经常被用来衡量一个工程结构的先进性。由于复合材料层合结构在工程应用中往往承受着复杂的热载荷作用,所以对其在不同温度场中的热屈曲行为进行研究是十分必要的。复合材料层合结构以板结构的应用最为普遍,所以本文以复合材料层合板结构为模型,通过MATLAB计算其在均匀温场下及非均匀温度场下的临界屈曲温度值并运用ANSYS进行验证,从而得出一些规律性的结论。

黄怀纬等[1]采用能量法研究了不同温度梯度下功能梯度材料圆柱壳的热屈曲行为,讨论了两种温度梯度形式以及物性温度相关性对临界屈曲温度的影响。TAUCHERT[2]基于经典的Kirchhoff假设,采用瑞利-里兹法研究了对称角铺设层合板在均匀温场下的热屈曲问题,同时求得了临界屈曲温度。沈惠申等[3]依据Reissner-Mindlin板理论,考虑转动惯量和横向剪切变形的影响,分析了中厚板在均匀和非均匀温度场作用下以及单向压缩和均匀温度场共同作用下的后屈曲问题。夏贤坤等[4]基于Reddy高阶剪切变形理论及广义Karman型方程,对功能梯度材料剪切板热屈曲后的非线性振动进行了分析,分析中考虑了材料热物参数对温度变化的依赖性。MATSUNAGA[5]对温度场下的角铺设复合材料层合板和夹层板的自由振动问题以及稳定性进行了研究。袁武等[6]针对均匀温度场下四边简支和四边固支金属点阵夹层板的临界屈曲温度进行了求解,分析了不同边界条件、点阵胞元构型、点阵材料相对密度、面板厚度等对临界屈曲温度的影响规律。

基于经典冯·卡门(Von Karman)平板理论,运用哈密顿(Hamilton)原理推导出层合板的运动方程,进而得出临界热屈曲温度的求解公式；利用MATLAB计算层合板在均匀温度场及非均匀温度场下的临界屈曲温度,研究分析边界条件、铺层角度、温度分布等对层合板的临界热屈曲温度产生的影响,并通过ANSYS对上述结果进行验证。

1推导复合材料层合板的临界热屈曲温度公式

取8层对称分布的复合材料层合薄板,其长、宽、高分别为a,b,h。通过Von Karman平板理论[7] 36可以得出平板内任意一个点(x,y,z)的非线性应变—位移关系:

(1)

式中:εm,εθ和κ分别表示线性膜应变向量、非线性膜应变向量和变形后的曲率向量。这些分量用振动位移表示为:

(2)

式中:u,v和w是坐标系中的位移分量,是满足任意运动边界条件的多项式。通过对截面上应力及力矩沿厚度积分可得温度场作用下板中合力向量N和合力矩向量M:

(3)

式中:fΔt{NΔt}和fΔt{MΔt}分别为由温度引起的板的相对热膜力向量函数和热弯矩向量函数;温度函数fΔt为:

(4)

式中:Δt是温差的幅值,f(x,y)是温度分布函数。热膨胀系数向量NΔt和MΔt表示为:

(5)

(6)

公式(3)中:A,B,D分别是拉伸刚度矩阵、拉伸-弯曲耦合矩阵和弯曲刚度矩阵,分别表示为:

(7)

(8)

式中:R(k)和Q(k)分别表示为:

(9)

(10)

(11)

(12)

式中:S和ρ分别表示层合板的表面积和密度。由Hamilton原理[7] 37:

(13)

得层合板的运动方程为:

(14)

式中:M,KL和KT分别表示质量矩阵、刚度矩阵和温度刚度矩阵；X为位移向量。求解式(14)可得层合板振动的固有频率。温差增大时振动频率减小,当频率减小为0时,层合板发生屈曲。对于一个确定的温度分布函数f(x,y,z),可通过求解式(15)[6] 3来得出临界屈曲温度

(15)

临界屈曲温度Δtcr可以表示为:

(16)

式中:Δt0为初始值;λ为温度系数。

2均匀温度场下复合材料层合板的热屈曲问题

2.1不同边界条件下层合板的临界屈曲温度

各向异性复合材料层合板的各项参数为:纵向弹性模量EL=155 GPa,横向弹性模量ET=8.07 GPa,剪切弹性模量GLT=4.55 GPa,泊松比νLT=0.22,密度ρ=1 600 kg/m3,纵向热胀系数αL=0.07×10-6(℃)-1,横向热胀系数αT=30.1×10-6(℃)-1,几何尺寸a=b=100h,铺设角度为[0/0/0/0]s其中，[a/a/a/a]s表示对称铺设,a分别代表各边的铺设角度。

通过MATLAB计算,当层合板的边界条件为四边固支(CCCC,C代表固支)时,其临界屈曲温度为71.2 ℃;当边界条件为四边简支(SSSS,S代表简支)时,临界屈曲温度为29.4 ℃。运用ANSYS对四边固支和四边简支条件下的层合板进行模拟,得其临界屈曲温度分别为70.6 ℃和29.8 ℃,模拟结果与MATLAB的计算结果吻合良好。

图1给出了四边固支和四边简支边界条件下的温度(t)-频率(f)曲线。由图中可知这两种边界条件下层合板的频率值都随着温度的升高递减。另外,图1-a的一阶频率临近屈曲时减小速率明显地增大直至为零;而图1-b的二阶频率随着温度的升高减小为零,其一阶频率在屈曲前变化很小。其次,不同边界条件下,层合板的临界屈曲温度也发生了明显的变化,对于四边固支的层合板当温度达到70.6 ℃时一阶固有频率值减小为零,层合板发生热屈曲;而对于四边简支的层合板当温度达到29.8 ℃时二阶固有频率值减小为零,层合板发生热屈曲。

表1中列出了不同边界条件下层合板的临界屈曲温度。由表中可以发现,由MATLAB和ANSYS这两种方法获得的数值结果相吻合。随着边界条件的改变,复合材料层合板的临界屈曲温度值变化明显。当边界条件为CCCC时板的临界屈曲温度最高,而边界条件为CFFF(F代表自由边)时板的临界屈曲温度最低;固支的边数越多,板的临界屈曲温度越高;若固支的边数相同,则固支边对称设置时层合板的临界屈曲温度较高。

图1　不同边界条件下平板的温度(t)-频率(f)曲线图Fig.1　Curves of temperature (t)-frequency (f) under different boundary conditions

表1　不同边界条件下层合板的临界屈曲温度

2.2不同铺设角度下层合板的临界屈曲温度

在研究不同铺设角度对层合板的临界屈曲温度的影响时,为了避免边界条件的干扰,统一设置边界条件为四边固支(CCCC)。

当层合板的铺设角度为[0/30/0/30]s时,通过MATLAB计算可得其临界屈曲温度为92.5 ℃;当铺设角度为[30/30/30/30]s时,临界屈曲温度为65.0 ℃。运用ANSYS对这两种铺设角度下的层合板进行模拟可得其临界屈曲温度分别为90.4 ℃和66.5 ℃,与MATLAB的计算结果吻合良好。说明,改变铺设角度会对层合板的临界屈曲温度产生明显的影响。

表2列出了不同铺设角度下层合板的临界屈曲温度。可以发现,[a/a/a/a]s(a>0)铺设角度的层合板相对于[0/0/0/0]s铺设角度层合板的临界屈曲温度较低,且a取某一数值时层合板的临界屈曲温度可达到最低值;而[0/a/0/a]s(a>0)铺设角度的层合板相对于[0/0/0/0]s铺设角度层合板的临界屈曲温度较高,且a取某一数值时层合板的临界屈曲温度可达最高值。

表2　不同铺设角度下层合板的临界屈曲温度

3非均匀温度场下复合材料层合板的热屈曲问题

3.1不同温度分布非均匀温度场对层合板热屈曲的影响

在研究非均匀温度场对复合材料层合板临界屈曲温度的影响时,确保整个层合板吸收的总热量一定,通过改变温度分布得到不同的临界屈曲温度。为了排除纤维方向对结果的干扰,取各向同性的复合材料层合板,其各向参数为:弹性模量EL=200GPa,泊松比νLT=0.27,密度ρ=1 600kg/m3,热胀系数α=2×10-6(℃)-1,几何尺寸a=b=100 h,层合板的边界条件为四边固支(CCCC)。

图2给出了不同热源下层合板的温度分布图,不同热源对应的温度场函数分别为

a(热源位于左边界):f(x,y)=tmax×(1-x);

b(热源位于中心线):f(x,y)=tmax×(1-2×|0.5-x|);

a-Left boundry line heat source;b-Center line heat source;c-Center point heat source;d-Vertex point heat source图2　不同热源下层合板的温度分布图Fig.2　Temperature distributions under different heat sources

通过MATLAB计算可得:当热源在板的左边界时,其临界屈曲温度为330.8 ℃,当热源在板的中心线上时临界屈曲温度为288.3 ℃;当热源在板的中心点时,其临界屈曲温度为251.3 ℃,当热源在板的其中一个顶角时临界屈曲温度为346.5 ℃。运用ANSYS对这集中不同温度分布下的层合板进行模拟,可得其临界屈曲温度分别为321.6,281.3,247.2,343.8 ℃。说明，即使整块板所吸收的总热量一定,但由于温度分布不同,板的临界屈曲温度也会明显不同,且热源越接近板的中心位置其临界屈曲温度越低。

图3给出了不同热源对应的温度(t)-频率(f)曲线。可以发现,图中各阶频率曲线变化趋势非常相似,其中第2阶和第3阶频率曲线非常接近但仍有分叉,这是因为不同的温度场起到了各向异性的作用。其次,热源靠近层合板的中心位置时(如图3-c),板的临界屈曲温度最低(247.2 ℃),这是由于模态中心对温度更敏感,而层合板的一阶模态中心就在板的中心。

3.2不同边界条件非均匀温度场对层合板热屈曲的影响

在层合板的左边界施加线热源形式的温度场,通过改变边界条件来分析临界屈曲温度的变化情况,其中温度场函数为:

图4给出不同边界条件下层合板的温度分布图。其中,在设置边界条件时,保持层合板上下两条边的边界条件相同,变换左右两边的边界条件。

图3　不同热源下层合板的温度(t)-频率(f)曲线分布图Fig.3　Curves of temperature (t)-frequency (f) under different heat sources

a-CFSF;b-SFCF;c-FSCS;d-CSFS;e-FCSC;f-SCFC图4不同边界条件下层合板的温度分布图Fig.4　Temperature distributions under different boundary conditions

表3中列出了不同边界条件下层合板的临界屈曲温度。可以发现,MATLAB计算结果和ANSYS模拟分析得到的数值是相吻合的,随着边界条件的改变,板的临界屈曲温度发生了明显的变化。由于(a)CFSF和(b)SFCF,(c)FSCS和(d)CSFS,(e)FCSC和(f)SCFC本质上分别属于相同的边界条件,当改热源实施对应的边的边界条件时,相当于改变了热源的位置,而温度场的函数没有变化,说明非均匀温度场下不同的温度分布也可以改变板的临界屈曲温度;此外,若层合板具有相同的上下边界条件时(如图4中a和b,c和d,e和f),当热源加载在左右两条边界条件中约束力更强(C>S>F)的那条边界上时,层合板的临界屈曲温度更大。

表3　不同边界条件下层合板的临界屈曲温度

4结论

1) 均匀温度场下,层合板的临界屈曲温度与其边界条件密切相关,层合板的固支边数越多,板的临界屈曲温度越高;若固支的边数相同,则固支边对称布置时板的临界屈曲温度较高。此外,[a/a/a/a]s(a≠0)铺设角度的层合板相对于[0/0/0/0]s铺设角度的层合板临界屈曲温度较低;而[0/a/0/a]s(a≠0)铺设角度的层合板相对于[0/0/0/0]s铺设角度的层合板临界屈曲温度较高。

2) 非均匀温度场下,层合板的临界屈曲温度同时受热源位置与振动模式的影响,如当热源靠近层合板的中心位置时,由于层合板中心的一阶模态中心对温度更敏感,因此板的临界屈曲温度较低;另外层合板的边界条件也会对临界屈曲温度产生影响。

参考文献：

[1]黄怀纬,韩强,冯能文,等.温度梯度下功能梯度材料圆柱壳的热屈曲[J].华南理工大学学报,2009,37(6):101-106.

[2]TAUCHERTTR.Thermalbucklingofthickantisymmeticangle-plylaminates[J].Thermalstresses,1987,10:113-124.

[3]沈惠申,朱湘赓.中厚板热后屈曲分析[J].应用数学和力学,1995,16(5):443-450.

[4]夏贤坤,沈惠申.功能梯度材料剪切板热屈曲后的非线性振动[J].振动工程学报,2008,21(2):120-125.

[5]MATSUNAGAH.Freevibrationandstabilityofangle-plylaminatedcompositeandsandwichplatesunderthermalloading[J].CompositeStructures,2007,77(2):249-262.

[6]袁武,王曦,宋宏伟,等.轻质金属点阵夹层板热屈曲临界温度分析[J].固体力学学报,2014,35(1):1-7.

[7]LIJQ,NARITAY.Analysisandoptimaldesignforsupersoniccompositelaminatedplate[J].CompositeStructures,2013,101:35-46.

(编辑：李文娟)

The Thermal Buckling Behavior of Composite Laminated Panels under Uniform and Non-uniform Temperature Distribution

TIAN Xinpeng,LI Jinqiang,GUO Zhangxin,HAN Zhijun

(CollegeofMechanics,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China)

Abstract:On the basis of the classical Von Karman lamination theory in conjunction with the Hamilton’s principle, the thermal buckling behaviors under uniform and non-uniform temperature distributions were studied. Numerical results obtained by ANSYS were consistent with those by MATLAB software.It was found that the critical thermal buckling temperature of the laminated panels is associated with boundary conditions and laying angles under uniform temperature distribution,while the critical thermal buckling temperature of the laminated panels subjected to non-uniform temperature distribution is affected by temperature distributions, vibration modes and boundary conditions.

Key words:laminated panels;thermal buckling;boundary conditions;laying angles;temperature distribution

文章编号:1007-9432(2016)02-0264-06

*收稿日期：2015-04-30

基金项目：国家自然科学基金资助项目:热致型纤维增强形状记忆聚合物复合材料的冲击损伤破坏(11502159);山西省自然科学基金资助项目: 非均匀温度场中纤维增强复合板壳结构的振动特性分析及其优化设计(2015021014);太原理工大学教改项目:面向创新性人才培养的文献检索与利用课程改革的研究 (800302040287)

作者简介：田新鹏(1990-),男,山西晋城人,硕士生,主要从事非均匀温度场中复合结构动力学特性的研究,(E-mail)tianxinpeng521xy@163.com通讯作者：韩志军,教授,主要从事冲击动力学与弹塑性行动力学研究,(E-mail)hanzj12@126.com

中图分类号:O242.21;O343.6

文献标识码:A

DOI：10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2016.02.027