突出命题课本导向 关注数学核心素养

余献虎　胡兴余

【摘 要】 期末测试命题工作是一个学期教学评价的重点工作.期末数学卷最后一题的命制目标有：①检验学生数学核心素养的的达成情况；②检测命题老师以该册课本中的数学思想方法为导向的综合命题能力，包括试题命制的融合度和创新力.期末测试数学卷最后一题的编制可从分析学期所学知识出发，通过提炼数学思想方法，选择合适的素材，经过多稿讨论、辨析、修正，形成正卷，通过测评后的反思，累积经验，实现两大命制目标.

【关键词】 期末测试卷命制；课本导向；核心素养

期末测试卷的命制是一项重要工作，尤其是最后一题.毋庸置疑，期末测试卷最后一题应具有两大功能：①检验学生数学核心素养的的达成情况；②检测命题老师以该册课本中的数学思想方法为导向的综合命题能力，包括试题命制的融合度和创新力.现以一道八年级（上）期末测试数学卷最后一题命制过程为例，研讨期末测试数学卷最后一题科学的命制过程.

1 知识关联

分析学期所学知识，提炼数学思想方法，是编制期末测试卷的第一步.

浙教版八年级（上）共5章，第一、二两章学习和研究三角形的初步知识、全等三角形、特殊三角形，其核心思想是不确定因素下的分类讨论思想.第三章一元一次不等式，复习解集在数轴上直观表示，逐点强化一维直线上的数形交融.第四章图形与坐标，探究二维平面上点的位置的确定方法——有序数对，并推广到图形变换中去，诠释二维平面上的形与数结合的数学方法.第五章一次函数，提出问题解决的新思想、新模型，是前四章内容的高度浓缩，其核心是数形结合，即通过建立适当的函数模型（或函数图象模型）解决简单的数学问题或实际生活问题.

显然，一、二章是第五章的有关“形”的知识储备章节，三、四章都从“点”开始循序渐进地渗透数形结合，直至建立起新思想、新方法.所以，最后一题考查内容定格在一次函数图象的基础上研究图形的几何性质，这也是学生需要的数学核心素养.

2 素材选取

若没有明确目标和价值指向的新思想指导，具备某种“特质”的课本素材是好选择.这相对选某一模拟卷的最后一题或照搬某地中考卷上同类试题（仅做点数据改动），更具公平性、科学性. 图1

经过综合分析、比较，命题组选用浙教版九（上）32《图形的旋转》中的作业题.原题如下：如图1，E是正方形ABCD的BC边上一点，延长BA至点F，

使AF=CE，连结DE，DF，能通过旋转△DEC得到△DFA吗？请

说明理由.

原由一：旋转变换是全等变换，图中△DCE≌△DAF，DE⊥DF.

原由二：当点E在边CB上时，①BE+BF=2AB，是定值，即BF是BE的一次函数；②Rt△DEF是等腰直角三角形，且四边形DFBE的面积是定值；③∠EDF的角平分线与边AB的交点与点E，B构成的三角形的周长是定值.

原由三：当点E在边BC的延长线上时，①BF-BE=2AB，是定值；②Rt△DEF是等腰直角三角形；③∠EDF的角平分线与边AB的交点与点E，B构成的三角形的周长是CE的正比例函数.

当点E在边BC的延长线上时，也需按二、三两种情况讨论.

原由四：当点E在直线BC上时，△DBE可以是等腰三角形.

3 顺延变式

原题可考查全等三角形、特殊三角形、一次函数等知识.撇开动点背景下的不确定关系，需要补充形、数结合下的数量关系，再改变条件，把铅垂方向量CE巧妙地转换成水平方向量AF，提升了问题的思维量.在这种思想指导下，编制出第一稿题干：

如图2，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标是（-3，3）.已知y轴上有一动点D（0，t），连接BD，并作BE⊥BD交x轴于点E.

根据题干可编制如下设问：

1.求证：CD=AE.

2.设点E的横坐标为s，求s关于t的函数表达式.

3.①当t=5时，求△ODE的面积.

②△ODE的面积能等于正方形OABC的面积吗？

若能，求出所有符合条件的t的值；若不能，说明理由.

4.①当t=5时，求直线DE的函数表达式.

②求当△ODE的面积能等于正方形OABC的面积时，直线DE的函数表达式.

5.当t为何值时，△OBE是等腰三角形？求出所有符合条件的t的值.

6.设DE与BC相交于点F，当△BEF是等腰三角形时，求t的值.

其中1，重在发现△BCD≌△BAE，并运用演绎推理证明结论的能力.2，3，4巧在转化，3②，4②，6涉及一元二次方程（根式方程）或相似三角形，放弃.5考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，要具备综合使用已掌握的知识解决问题的能力.

4 疏剪嫁枝

第一稿构图简捷，选择1，2，5，设问能呈递进关系，但痕迹明显，没有体现“一次函数图象的基础上研究图形的几何性质”的目的.观察图形，隐去正方形，直线OB的表达式就是y=-x，命题组协商讨论后编制出第二稿：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点B在直线y=-x上，点D在y轴上.当OB=3 2 时，连结BD，作BE⊥BD交x轴于点E.

1.求点B的坐标.

2.设点D的纵坐标为y，点E的横坐标为x.

①求y关于x的函数表达式.

②当△OBE是等腰三角形，求y的值.

在图3背景下，（1）问利用B（b，-b）和勾股定理可

求.（2）问要求能理解图形的位置关系，添回隐去的图2中

AB、AC，利用全等三角形的性质找到y关于x的函数表达式

（y=x+6），才能求得2②中的4解.

命题组第二稿初稿初始“审题不清”，没有考虑点B在第四象限时B点坐标是（3，-3），y关于x的函数表达式是y=x-6，2②中有8解.在命题组限定点B在第二象限后，评议依然认为八年级（上）学生添加辅助线能力弱，2问起点偏高，就是给出BC（或BA），大部分学生还是难以找到突破口.

5 移花接木

针对第二稿，命题组继续评议认为保留图1，1问送分可再到

位些，2问保留，有老师会压二稿2②问同类型题，重编.继续聚首

讨论后又联系到正方形对角线性质

AC上一点，当BM和DN都经过O点时，CM=CN；反之也成立.在这一思路的指引下，编制如下第三稿：如图5，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标是（-3，3）.y轴上有一动点D（0，y），连结BD，作BE⊥BD交x轴于点E.

1.试写出点C的坐标.

2.设点E的横坐标为x，求y关于x的函数表达式.

3.“数学小能手”小明同学经探究发现：当y=3+ 3 时，线段DE与OB的交点P满足OP= 1 3 OB，如图6.他把这一发现告诉了数学老师，数学老师看了看，画了画，告诉小明，还有一个y的值，使得线段DE与OB的交点P也满足OP= 1 3 OB.小明仔细看着图形想了想，画了画后，说我也知道了.

你知道另一个y的值是多少吗？画出图形，说明理由.

根据图4正方形对角线的性质编制的3问，有如下参数法：由题可知P（-1，1）.设E（a，0），直线DE的表达式是y=- a+6 a x+a+6，代入得，1= a+6 a +a+6，化简得，a2+6a+6=0，解之得，a=-3± 3 ，所以，y=a+6=3± 3 .第三稿3问是为回避八年级（上）学生不能解一元二次方程这一忌讳生成的，这一生成策略导致该问题解决思路单一，只能利用图形的直观性和轴对称性求解，即当OD=y=3+ 3 时，CD= 3 ，OE=OA-AE=OA-

CD=3- 3 ，所以，当y=OE=3- 3 时，OP= 1 3 OB.

综合上述3问意见和作为压轴题的1问过于直白，第三稿未获通过.

6 水到渠成

在之前大量研讨的基础上，试题的结构渐趋明朗.在把握好细节（如不提正方形、关注条件严谨性），落实好难易度，保证科学性的前提下，给出如下第四稿：

如图7，在平面直角坐标系xoy中，点A在第二象限，过点A作AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C.若点A在直线y=-x上，且OA=3 2 .

1.求OB的长.

2.如图8，设N（0，n）是y轴上一点，连结AN，作AM⊥AN，交x轴于点M（m，0）.

①求m关于n的函数关系式.

②设直线y=-x与直线MN相交于点T，求当OM= 1 3 OB时，T的坐标.

③设直线y=-x与直线MN相交于点T，求当△MON是一个含30°内角的直角三角形时，T的坐标.

由于2③涉及分母有理化，删去.这样本题考查了一次函数的图象及其性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等本册核心知识，及数学建模、数形结合思想、分类讨论思想等本册核心数学思想.

7 反省反思

本题突出课本导向，关注到数学核心素养的生成，试题合理与否，还得观察其难度、区分度、信度和效度及师生的情绪反应.命题组在命题完成后及时作了反省，在阅读结束时及时作了反思.现就最后一题编制作如下反省反思：

7.1 命题过程

命题工作可分集中前的准备阶段和集中时的命题阶段.集中后，第一步，分析本册知识点和数学思想方法；第二步，讨论拟定方案，比对选择素材；第三步，编制、辩议、修正，……，直至定稿.但不能忘却试题自身的科学性和面对考生的适宜性.第二稿的“审题不清”是可求解状态下的科学性错误，不清除必然加重思考严谨的考生的精神压力.第三稿有为回避未学而取巧设计情景之嫌，显得解答思路灵巧有余，解答方法单调唯一.

7.2 思路伸缩

编制思路收回比编制思路拓展更难.此题编制，最大的困扰是“编制着、编制着，知识超出了”，最多的喜悦是把脱缰之编制思路拉回到已学知识上去，虽然这样编制的试题也会被弃之不用，但其中确实会有惊奇.如第三稿3问，最初是：若直线DE和直线OB相交于点P，当OP= 1 3 OB时，求x的值. 图9

该设问简洁精练，内涵丰富.考查到一次函数的图象及其性质、相似三角形的性质、轴对称图形的性质、全等三角形、分式方程、一元二次方程等，用到参数法、解析法、待定系数法，包含数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想，如

当然，超出了，还要能缩回去.

7.3 信息反馈

考试结束后的调查表明该题“其实不难，得分不高”.

1问失分原因有：（1）不能依据“点A在第二象限且点A在直线y=-x上”设点A的坐标是（x，-x）；（2）依据勾股定理列得方程2（-x）2=（3 2 ）2后，不会解方程，而不会解的一个主要原因是不会计算（3 2 ）2.毋庸置疑，失分原因（2）中包含解一元二次方程和二次根式化简，即使七年级（上）第三章《实数》中有开平方和无理数，还是超了.

2问失分原因有：（1）多从代数角度找2①问中“m关于n的函数关系式”，而本问恰需从几何角度考虑；（2）坐标与距离间的符号出错，导致表达式出错或错误分类；（3）2②没有分类讨论，或因计算错导致表达式错或交点坐标错.

一次活动一次反思，一段经历一次收获.上述失分，归根结底是由综合能力不强造成，因为期末测试不可能综合系统复习，这也提示我们期末测试卷最后一题的命制也不同于中考压轴题的命制.毕竟适当的，才是最好的！

参考文献：

1.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

2.范良火，许芬英.数学教学参考书九年级上册[M].杭州：浙江教育出版社，2006.

3.曹经富.例析一道几何中考模拟压轴题的打磨与出炉[J].中国数学教育（初中版），2015年第10期.