Excel在数学探究中的应用

龚卫东



Excel在数学探究中的应用

龚卫东

近年来，探究性学习已成为数学学习研究中出现频率很高的关键词。在这方面，专家学者与中学一线教师做了大量的努力，取得了令人瞩目的研究成果。但同时，具有数学特色的探究性学习研究深度不够［1］。

在过去的二十多年中，世界各国都很重视教育信息化，投入的人力、物力数量可观。但从初步的调研情况看，效果不能令人满意［2］。究其原因，信息技术工具在数学学习中应用的研究不足，缺少具体案例，学生参与太少。姜伯驹院士曾指出：“在教师指导下，探索某些理论或应用的课题，学生的新鲜想法借助数学软件可以迅速实现，在失败与成功中得到真知。这种方式，变被动的灌输为主动的参与，有利于培养学生的独立工作能力和创新精神。”本文以Excel软件为例，举例说明如何发挥其在高中数学探究性学习中的作用。

Excel是微软公司的办公软件Microsoft office的组件之一，是由Microsoft为Windows和Apple Macintosh操作系统的电脑而编写和运行的一款试算表软件。Excel是微软办公套装软件的一个重要的组成部分，它可以进行各种数据的处理、统计分析和辅助决策操作，广泛地应用于管理、统计财经、金融等众多领域［3］。许多人对Excel的功能了解不全，仅把它当作制作表格和图表的办公软件。事实上，它能够在数学教学中进行数据统计、运算、处理和绘制统计图形乃至编程。只要善于开发，它能够在数学探究中发挥出巨大的作用。

1.借助Excel运算，观察数值变化

快速重复计算是计算机的本色，是计算机产生的最初动力。Excel科学便捷的设计使得数值计算如游戏般轻松，合理使用能令人脑洞大开。

例1点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，求点P到直线y=x+2的距离的最小值。

错解：设与y=x+2平行的直线y=x+b同曲线y= x2-lnx相切，对函数求导得。

解：设P（x，x2-lnx）为函数y=x2-lnx上任意一点，到直线x-y+2=0的距离是。

研究函数h（x）=x-x2+lnx+2，使用Excel：A1、A2中输入0.01、0.02，鼠标指向右下角出现“+”，向下拖动，则会自动生成A列步长0.01（可以更小）的x的变化值，B1中输入“=x-x2+lnx+2”可立刻算出x=0.01对应的函数值，向下拖动鼠标即可自动算出全部相应的函数值（如图1）。观察B列数据的变化过程，可以初步断定最短距离一定不是，应该是0。事实上两个函数的图像相交（见例5）。

2.借助Excel作图，揭示问题本质

数据统计中，Excel可以方便地生成柱形图、条形图、饼图。在数学问题探究中，我们可以巧妙利用其散点图，观察函数图像，推断函数性质。

例2探究函数y=logx2在（0，1）的单调性。

用几何画板画出的图像如图2所示，感觉比较怪，图像还出现了一个“尖锐”的点。

图2

而用Excel生成两列数据，A列从0到1步长0.001的x的变化值，B列为相应的y值，“插入—图表—散点图”，画出的图像是这样的（如图3所示）。

图3

由于步长很小，散点图极为稠密，已连成光滑的曲线。函数图像先下凸再上凸，（0.1，0.2）之间似乎有一个拐点。

令y′′=0，有lnx+2=0，解得x=e-2≈0.1353。

由此可知，x0=0.1353是函数y=logx2的拐点。

3.借助Excel测量，完成数学实验

Excel本身除了设计有大量常用的数学函数，还有一个随机函数能够自动生成0～1的随机数，使用蒙特卡洛方法时需要测量相应数据。

例3在正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估计圆周率的值［4］。

图4

打开Excel，在A2格中输入“=rand（）”并回车，产生一个随机数，右下角向下拖动“+”到A1001，又自动产生999个随机数，作为点的横坐标。在B列用同样方法产生1000个随机数作为纵坐标。在C2格中输入“=A22+B22”，求得x2+y2的值，向下拖动“+”自动算出全部点对应的x2+y2。在空格中输入“=COUNTIF（C2：C1001，"＜1"），统计出符合x2+y2＜1条件的点的个数为780。由于总点数是1000，故根据几何概型知，豆子落在阴影部分的概率是0.78，据此求出π的值为4×0.78=3.12（如图5）。

图5

上述方法借助Excel轻松完成了1000次的数学实验，模拟几何概型“撒豆子”，其原型是布冯投针实验［5］。

4.借助Excel统计，开展特定应用

Excel具有强大的统计功能，很多复杂的运算和操作都被菜单化，比如求线性回归方程等问题，可以交给计算机自动完成，能够减少计算量，避免算错。

例4从深圳市教育局发布的深圳市教育事业统计手册中，可以获得2008～2014共7年的初中在校生人数的数据。

2008～2014年深圳市初中教育规模（表一）

据此预测深圳“十三·五”初中在校生人数。

在Excel界面，选择“插入—图表—散点图”，可以看到所给数据在坐标系内的描点情况。鼠标对着任意一个数据点，点击右键，选择“添加趋势线”，选择类型为“线性”，勾选“显示公式”“显示R2”，即可显示坐标系内的直线，并得到回归直线方程（如图6）。

图6

图中还显示了R2的值，是相关系数r的平方，r体现预报变量与解释变量x的相关关系，|x|越接近1，相关程度越高。因而，R2越接近1，函数拟合效果越好。输入2016～2020年对应的变量x=16，17，…，20，得到预测的各年份初中在校生人数。

（表二）

5.借助Excel编程，实现算法思想

高中数学教材必修3中有算法内容，与计算机语言的结合本身就是最好的研究性学习课题。VB语言甚至不用下载专门的软件，Excel中自带。即使以前从来没有编写过程序，也能够使用Visual Basic for Application开发出解决方案。VB是现在可用的最容易学习、最容易使用也是最复杂的应用程序自动化语言（过去常常称为宏语言）之一。

例5二分法求方程x2-lnx=x+2在［0,1］之间的近似解（精确到0.0001）。

在Excel工作表中，选择“工具/宏/Visual Basic编辑器”，在VB编辑器窗口中选择“工具/宏”，在“宏名称”栏内输入宏的名称，单击“创建”，出现宏主体语句Sub和End Sub，输入下列程序后按F5即可运行。

Sub二分法（）

a=Val（InputBox（"输入区间左端点值"））

b=Val（InputBox（"输入区间左端点值"））

c=Val（InputBox（"输入误差限制"））

Do

x0=（a+b）/2

f1=a^2-Log（a）-a-2

f2=x0^2-Log（x0）-x0-2

If f2=0 Then Exit Do

If f1*f2＜0 Then

b=x0

Else

a=x0

End If

Loop Until Abs（a-b）＜c

MsgBox"方程的近似解为"&x0

End Sub

程序运行中，输入左端点值0.01，输入右端点值1，输入误差限制0.0001后，程序将算出近似解0.1216。（注：程序中调用的函数Log（x0）即为自然对数lnx0，例5的结果能够证明例1的结论）

信息时代的数学学习和探究应当充分借助信息技术工具。Excel作为一般计算机标配的预装软件，具有获得便捷、功能强大、使用灵活等优点，完全覆盖和大大超过函数计算器、图形计算器等工具，是开展数学探究的理想工具，应鼓励学生创造性地使用。

（作者单位：深圳市高级中学）

参考文献

［1］李伟军。近十年来数学探究性学习述评——以《数学教育学报》为线索［J］。内蒙古师范大学学报（教育科学版），2012，（8）：92-95。

［2］张景中，彭翕成。深入数学学科的信息技术［J］。数学教育学报，2009，（5）：1-7。

［3］百度百科：http://baike.baidu.com/view/150 9071.htm？fromtitle=Excel&fromid。

［4］刘绍学主编。普通高中课程标准实验教科书·数学必修3（A版）［M］3版。北京：人民教育出版社，2007，2：139。

［5］龚卫东。自己动手求圆周率［J］。高中数理化。2016，（1）：20-22。