基于太阳影子轨迹的定位研究

李霏雯　柴晴　张鹤扬

【摘 要】本文主要研究太阳影子运动轨迹进行地理定位。首先确定直杆影子一天内的运动轨迹与太阳位置参数之间的关系，建立某地定长直杆影子坐标随时间、经度、纬度、直杆长度变化的数学模型，在直杆高度、日期未知的条件下利用空间四面体模型及变量分析确定地理经纬度。最后，本文讨论模型优化与推广，并提出优化思路和方案。

【关键词】地理定位；影子轨迹；空间四面体；高度角；方位角；赤纬角；时角

0 前言

利用太阳影子定位技术分析物体太阳影子变化情况，确定视频拍摄的地点和日期。日照与影子的动态关系及数学模型的研究，参考文献[1]给出了具体的介绍及阐述，但该模型建立在多变量已知的前提下，并未对变量深入研究。本文基于现有模型改进，在直杆高度及日期未知的条件下对直杆定位，完善太阳影子长度与经纬度、日期、时间、杆高之间的数学模型。

1 模型假设

1）假设观测地区大气均匀，不考虑空气中粉尘、颗粒物等对光线传播路径的影响。

2）假设太阳对地球的相对运动为匀速圆周运动。

3）考虑到日心到地心的距离远远大于地球半径，假设一段时间内太阳绕地心转过的角度与太阳绕地球表面某点转过的角度相同。

2 日照与影长数学模型

物体影子轨迹主要受地球自转和绕太阳的公转的影响，通过分析影响影子变化的参数，本文主要研究以下问题：

1）分析现有研究，建立日照与影长数学模型，确定影子长度随各参数的变化规律；

2）杆高、日期未知，根据水平地面上影子顶点坐标，确定直杆所处地点及日期；

2.1 “立竿见影”的数学分析

现有对影子轨迹的研究主要是针对 “立竿见影”现象[1]的数学分析。

一天内主要考虑地球自转，可获得不同时刻杆顶落影点P′的位置，构成杆影迹线。太阳的运行轨迹映射为杆顶落影点的运动轨迹。

以地球为参考系，将地球自转简化为地球静止，太阳绕地球转动，如图2所示。高度圈、方位圈、赤道圈、地平圈及时圈的定义见参考文献[1]。将太阳系假设为一个近似球体，地球与近似球体同一球心，太阳绕地球在近圆形轨道上运行。

太阳位置点L在天体中相对地球位置O上某一点的位置，由该点的经纬度、日期（月、日）和时间3个因素决定。通常以太阳高度角h、方位角A、赤纬角δ、时角Ω表示太阳的位置[1]。

2.2 影长与各个参数间数学关系

杆影轨迹点的坐标可利用太阳位置参数和式（1）求得。

一天内影子长度主要由时间、经度、纬度、直杆长度决定，利用一天内影子的轨迹图及太阳位置参数的相关公式，通过坐标系确定影子轨迹运动规律。

太阳高度角h随着地方时和太阳的赤纬的变化而变化。太阳赤纬角（等于太阳直射点纬度）以δ表示，观测地纬度用Φ表示（设太阳赤纬与地理纬度北纬为正，南纬为负），时角（地方时）以Ω表示。在地球上某一点太阳高度角即为太阳光的入射方向与地平面的夹角。

2.3 影子顶点坐标确定地理位置

假设某地的直杆高度、日期未知，由影子顶点坐标数据可以求得影长，若能够确定直杆的高度，根据太阳高度角、方位角、赤纬角、时角的关系可求得当地经纬度。经度由当地时间与北京时间之差确定、纬度由日期求得的太阳高度确定。

2.3.1 直杆高度的确定

2.3.2 视频拍摄日期的确定

根据太阳一年中不同日期（季节）在不同纬度光照角度的变化，得出影子的变化规律。

已知直杆高度H、某时刻t影子的位置坐标（x0，y0）即可求得影长L， β等于太阳高度h。综合上述分析，联立公式（1）-（5）及（7），可化简为2个独立的方程组，但具有3个变量即一年中的第n天、太阳赤纬角δ、地理纬度Φ。从数学角度分析，该方程有无数个解，但是考虑生活实际，一年365天，即n∈[1，365]。日期可确定同时可确定δ， Φ可由δ进一步求得，根据Φ可确定与某月某日相对应的可能位置点的地理纬度。

2.3.3 直杆所处地点位置的确定

已知直杆高度、影长，通过太阳高度角、方位角、赤纬角、时角的关系求当地的地理纬度；通过影子顶点坐标数据、日期、时间，求该地的地方时间，由当地时间与北京时间之差计算当地经度。

3 模型优化与推广应用

3.1 模型的优化

由于不同地区的空气成分不同，其折射率存在一定误差，考虑大气对光线的折射影响。大气层中存在水蒸气、二氧化碳和尘埃等杂质，其密度大于大气层外的真空环境，因此太阳光射入大气层内时会产生折射。太阳高度角和方位角存在误差，对计算分析影子变化与经纬度之间的关系产生影响。对精度要求高时，应考虑空气折射率对光线传播的影响。

可通过埃德林的空气折射率公式[3]对太阳高度角进行修正。

3.2 模型的推广应用

在当今视频拍摄技术高速发展的时代，对视频数据的分析处理成为一项重要的研究课题。本文模型可用于通过提取视频物体及影子运动轨迹信息，确定视频的拍摄地点和拍摄日期。

虽然全球卫星定位系统日益完善，但仍存在太阳黑子、耀斑、磁暴等太阳活动或其他极端天气对卫星定位准确性与稳定性的威胁。本文利用太阳影子定位的方法不受上述因素制约，可在艰苦环境中利用简单的道具与方法对位置进行估算，它是卫星定位的一种良好补充，尤其适合于没有通讯设备的野外。太阳影子定位是独立于卫星通信的一种科学定位法。

根据影子轨迹可反求建筑物高度、合理间距、采光效果等；建筑设计旧址改造等问题也可参考本文研究的模型，使设计建筑采光更加简便。

【参考文献】

[1]郑鹏飞，林大均，刘小羊，等.基于影子轨迹线反求采光效果的技术研究[J].华东理工大学学报（自然科学版），36卷第3期，458-463页，2010.

[2]吉林省建筑设计院.建筑日照设计[M].北京：中国建筑工业出版社，1979.

[3]倪育才.空气折射率埃德琳公式的修改[J].计量技术，1998.

[责任编辑：王伟平]