混合边界条件下广义二维多项时间分数阶扩散方程的解析解

王 学 彬

(武夷学院 数学与计算机学院，福建 武夷山 354300)



混合边界条件下广义二维多项时间分数阶扩散方程的解析解

王 学 彬

(武夷学院 数学与计算机学院，福建 武夷山 354300)

广义多项时间分数阶扩散方程已被用于描述一些重要的物理现象，目前，有关该类方程在高维情形下满足混合边界条件的研究仍较少.利用分离变量法考虑有界区域上广义二维多项时间分数阶扩散方程，方程中关于时间变量的分数阶导数采用Caputo分数阶导数的定义，其阶分别定义在[0,1],[1,2].而关于空间变量的偏导数则定义为传统的整数阶导数(二阶)，得到了有界区域上广义二维多项时间分数阶扩散方程满足非齐次混合边界条件的解析解.亦可用于求解其他类型的满足不同边界条件的分数阶微分方程的解析解.

混合边界条件；分离变量法；分数阶扩散方程

分数阶微积分是一个古老又新鲜的概念，早在1695年HOSPITAL曾写信给LEIBNIZ探讨分数阶导数的意义[1].随后，科学家们都致力于此领域的研究，但由于缺乏应用背景的支撑，发展较为缓慢.近几十年，许多领域的应用研究发现，分数阶模型具有经典的整数阶模型无法比拟的优势和不可替代性，进而分数阶微积分理论和应用研究成为热点[1-3].

近年来，涉及物理和力学过程的记忆和遗传、路径依赖和全局相关性的“反常” 扩散引起了广泛的关注[3].CHEN等[4]考虑了一维的多项时间分数阶电报方程，王学彬等[5-8]分别利用分离变量法、谱表示法等得到了几类高维的时间、空间分数阶扩散波动方程的解，并考虑了高维的多项时间空间Caputo-Riesz分数阶扩散方程的解析解[9].以上研究考虑的都是分数阶微分方程满足第一类边界条件即Dirichlet边界条件下的定解问题.文献[10]得到了一维的时间分数阶扩散方程分别满足第1类和第2类边界条件下的解.本文将利用分离变量法得到广义的二维多项时间分数阶方程满足一定初始条件和非齐次混合边界条件时的解析解.

1 预备知识

方便起见，先介绍文中用到的一些定义及引理.

定义1[1]α阶Caputo分数阶导数定义如下：

m∈N.

(1)

定义2[11]对于实值函数(复值函数)f(x),x>0,如果存在实数p>α使得f(x)=xpf1(x)，其中f1(x)∈C[0,∞].则称f(x)∈Cα,α∈R.

定义4[12]多元Mittag-Leffler函数(n维情况)定义如下：

E(a1,…,an),b(z1,z2,…,zn)=

(2)

其中b>0,ai>0,|zi|<∞,i=1,2,…,n.

特别地，当n=1时为常见的一元Mittage-Leffler函数：

(3)

引理1[12]当μ>μ1>…>μn≥0,mi-1<μi≤mi,mi∈N0=N∪{0},λi∈R,i=1,2,…n.初值问题

(4)

(5)

其中,

(6)

k=0,1,…,m-1.

(7)

E(.),β(x)=Eμ-μ1,…,μ-μn,β(λ1xμ-μ1,…,λnxμ-μn).

(8)

自然数lk,k=0,1,…,m-1, 且lk,k满足条件mlk≥k+1,mlk+1≤k.当mi≤k,i=1,2,…,n,取lk:=0,当mi≥k+1,i=1,2,…n,取lk:=n.

2 广义的二维多项时间分数阶扩散方程满足非齐次混合边界条件的解析解

考虑如下二维广义多项时间分数阶扩散方程：

(9)

方程(9)满足初始条件：

(10)

和非齐次混合边界条件：

(11)

假设方程的解

u(x,y,t)=w(x,y,t)+v(x,y,t)，

(12)

其中v(x,y,t)=A(t)x2y2+B(t)xy+C(t)x+D(t)y满足边界条件(11).将v(x,y,t)代入式(11)有

(13)

解方程组(13)得

(14)

从而有

v(x,y,t)=x2y2[μ1(y,t)x-μ2(x,t)-

yμ3(x,t)+μ0(y,t)]/(2L1xy2-

2L2x2y)+μ2(x,t)+μ0(y,t)+

xy[2L1y2μ3(x,t)-2L1yμ0(y,t)-

2L2x2μ1(y,t)+2L2xμ2(x,t)]/

(2L1xy2-2L2x2y).

(15)

而函数w(x,y,t)满足齐次边值条件

(16)

其中，

(17)

首先假设w(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)，得到关于X(x),Y(y)的线性常微分方程：X″(x)+(λ-γ)X(x)=0， X(0)=X′(L1)=0，

(18)

Y″(y)+γY(y)=0， Y(0)=Y′(L2)=0，

(19)

及一个关于T(t)的分数阶线性常微分方程：

(20)

假设非齐次定解问题(16)的解有如下形式:

(21)

(22)

由式(22)可以得到

(23)

将式(21),(22)代入式(16)，有

(24)

fnm(t).

(25)

因为w(x,y,t)满足式(16)中的初始条件，则有

(26)

进一步可得

(27)

(28)

(29)

(30)

这里多元Mittag-leffler函数E(a1,a2,…,an),b(z1,z2,…,zn)如定义4所示.

(31)

由式(12)、(15)、(31),得到二维广义多项时间分数阶扩散方程(9)满足初始条件(10)和混合边界条件(11)的解为

u(x,y,t)=w(x,y,t)+v(x,y,t)=

(32)

3 结 语

利用分离变量法考虑了二维广义多项时间分数阶扩散方程满足非齐次混合边界条件时的解析解问题.方程中将关于时间的分数阶导数定义为Caputo分数阶导数的形式、将关于空间变量的导数定义为经典的整数阶导数,最后得到了由多元Mittag-Leffler函数表示的解,可将其推广到三维广义多项时间分数阶扩散方程解析解的求解问题中.该方法可作为对整数阶扩散方程求解的推广,也为求解满足混合边界条件的其他类型分数阶微分方程的定解问题提供了思路.

[1] PODLUBNY I. Fractional Differential Equations[M]. New York: Academic Press,1999.

[2] SAMKO S G，KILBAS A A，MARICHEV O I.Fractional Integrals and Derivatives：Theory and Applications[M].Amsterdam：Cordon and breach，1999.

[3] 陈文，孙洪广，李西成.力学与工程问题的分数阶导数建模[M].北京：科学出版社，2010.

CHEN Wen, SUN Hongguang, LI Xicheng. Fractional Order Derivative Modeling of Mechanics and Engineering Problems[M]. Beijing: Science Press,2010.

[4] CHEN Jinhua, LIU Fawang, ANH V. Analytical solution for the time-fractional telegraph equation by the method of separating variables[J]. J Math Anal Appl,2008,338:1364-1377.

[5] 王学彬，刘发旺.分离变量法解三维的分数阶扩散-波动方程的初边值问题[J].福州大学学报:自然科学版，2007，35(4)：520-525.

WANG Xuebin, LIU Fawang. Separation of variables method for fractional diffusion-wave equation with initial-boundary value problem in three dimensions[J]. Journal of Fuzhou University: Natural Science Edition,2007，35(4)：520-525.

[6] 王学彬.一类二维空间Riesz分数阶扩散方程的解[J].宁夏大学学报:自然科学版，2011，32(3):222-225.

WANG Xuebin. Solutions of a kind of riesz fractional diffusion equation in two dimensions[J]. Journal of Ningxia University: Natural Science Edition,2011,32(3):222-225.

[7] 王学彬.二维、三维空间Riesz分数阶扩散方程的基本解(英文)[J].山东大学学报:理学版,2011,46(8):23-30.

WANG Xuebin. Fundamental solutions of fractional-in-space diffusion equation with Riesz fractional derivative in two and three dimensions[J].Journal of Shandong University:Natural Science,2011,46(8):23-30.

[8] 王学彬，刘发旺.二维和三维的时间分数阶电报方程的解析解[J].山东大学学报:理学版，2012,47(8):114-121.

WANG Xuebin, LIU Fawang. Analytical solutions of the time-fractional telegraph equation in two and three dimensions[J]. Journal of Shandong University: Natural Science,2012,47(8):114-121.

[9] 王学彬.二维、三维的多项时间、空间Caputo-Riesz分数阶扩散方程的解析解[J].山东大学学报:理学版，2015,50(10)：89-94.

WANG Xuebin. Analytical solutions for the multi-term time-space Caputo-Riesz fractional diffusion equations in 2-D and 3-D[J]. Journal of Shandong University: Natural Science,2015,50(10)：89-94.

[10] JIANG Hui, LIU Fawang, TURNER I, et al. Analytical solutions for the multi-term time-space Caputo-Riesz fractional advetion-diffusion equations on a finite domain[J]. J Math Anal Appl,2012,389:1117-1127.

[11] DIMOVSKI I H. Convolution Calculus [M]. Sofia: Bulgarian Academy of Science,1982.

[12] LUCHKO Y. Initial-boundary-value problems for the generalized multi-term time-fractional diffusion equation[J]. J Math Anal Appl,2011,374:538-548.

Analytical solution of the generalized muti-term time-fractional diffusion equation in two-dimensions with mixed boundary condition.

WANG Xuebin

(SchoolofMathematicsandComputer，WuyiUniversity，Wuyishan354300，FujianProvince，China)

Generalized multi-term time-fractional diffusion equations have been used to describe important physical phenomena. However, studies on multi-term time-fractional diffusion equations with mixed boundary conditions in high dimensional conditions are still limited. In this paper，a method of separating variables was effectively implemented to solve a generalized multi-term time-fractional diffusion equation (GMTDE) in a finite domain.In this equation, the multi-term time-fractional derivatives were defined in the Caputo sense, whose orders belonged to the intervals [0,1], [1,2], respectively. The space partial derivatives were classical integer order derivatives whose order were 2. We discussed and derived the analytical solution of the GMTDE in two dimensions meeting nonhomogeneous mixed boundary conditions.The technique reported can be applied to other kinds of fractional differential equations with different boundary conditions.

mixed boundary conditions；method of separating variables； time-fractional diffusion equation

2015-3-26.

福建省自然科学基金资助项目(2016J01682)；福建省本科高校教育教学改革研究项目(JAS151344)；武夷学院青年教师专项科研基金(xq201022)；武夷学院质量工程项目(Jgzk201019).

王学彬(1976-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-1066-3524，男，硕士，副教授，主要从事分数阶微积分研究，E-mail：wxbnp@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2016.04.005

O 241.82

A

1008-9497(2016)04-406-05

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(4):406-410