谈数学思维模式发展

“模式”是一种可以照着去做的标准样式。数学模式是反映特定的数学问题或对象的关系结构，数学思维模式是指主体在数学思维活动中形成的相对稳定的思维样式，是一定的数学知识结构与数学思维方式结合而成的动力系统。数学思维模式具有简约思维过程、降低思维强度、提高思维效率的认识功能。在通常意义下，凡是相对稳定成型的数学思想规律、方法及典型问题或基本问题都属于数学思维模式的范畴。

一、几种主要的数学思维模式

数学的载体是数、式、图形、结构等数学对象。由于这些对象是具有特殊性的，它们是抽象的“思想事物”，所以数学的思维反映在认识数学的概念、法则、定理甚至符号之中。数学知识综合复杂、千差万别，但仔细分析，大体有以下四种数学思维模式。

1.数学思维的操作模式：数学方法。数学思维的最初级模式是法则和方法以及公式等的直接应用。如加减乘除的四则运算法则，三角形、梯形、圆的面积公式等，表现为有章可循、可以操作的一种程序，这里讲的操作，当然是思维操作。例如，用两块三角板过直线外一点画已知直线的平行线，教师总结的“一放、二靠、三移、四画”的程序，就是便于学生掌握“过直线外一点画已知直线的平行线”的方法。

2.数学思维的机理模式：数学原理。机理模式的数学思维，表现为一种适应范围广、高层次的方法。它充满着理性与逻辑性，常以数学原理的形式出现，有时虽然也有操作，但操作只是从属地位。如果说操作模式的数学思维常表现为“一定要这样”，那么机理模式的数学思维突出的是“为什么是这样”。机理模式的数学思维表现有：分析和综合原理、等价原理、对称原理、分类原理、抽屉原理等，如式的恒等变形，根据的是等式的性质。

3.数学思维的动态模式：数学思想。学习数学的基本要求是理解，要将数学知识广泛地融会贯通，这就是动态模式的数学思维，表现为数学思想是一种辩证性、运动性、总体性的思维形式，即从普遍联系的视角来数学思维。如转化思想、运动思想、数形结合思想、优化思想、集合思想、极限思想、对应思想、变换思想、普通性与特殊性思想等都属动态思维模式。

4.数学思想的工具模式：数学意识。数学家如何创造了数学？数学家在处理似乎与数学无关的问题时，他们的技巧为何如此高超？这种创造，这种处理，就是工具模式的数学思维：数学意识。作为数学意识，最深刻、本质的认识是：数学是科学的仆人，数学是科学的语言，甚至数学是宇宙的语言，数学是思维的工具。例如，笛卡儿提出过的“万能方法”（把任何问题化归用代数方程解的数学问题），虽然“万能模式”的设想最后并未成功，但仍不失为一种伟大的思想，它从本质上肯定了数学思维对认识世界的工具作用。正如马克思所说：“一门科学，只有当它成功地运用数学时，才算达到真正完善的地步。”这即所谓的数学意识。也就是说数学的对象是一种逻辑的建构，一般的科学对象可以说是“数学建构”。

二、对一道例题几种解法的思维模式层次剖析

苏教版小学数学五年级上册（2014版）第96页编排了如下一道例题。

南山中心小学举行小学生足球赛，有4支球队参加，分别是红队、黄队、绿队和蓝队。如果每两支球队比赛一场，一共要比赛多少场？

教学中，教师在学生认真审题、理解题意的基础上，让学生尝试寻找解决问题的方法后交流。

第一种方法，在纸上写了红、黄、绿、蓝4支队的名字，然后两两配对，一个一个地数，得到的结果为6场（如图1）。

显然，这种方法是这一比赛法则的操作思维。此思维法则，显示了对经验的总结，这种思维操作模式的直接结果是熟悉数学知识与形成数学技能，掌握基本的数学方法。

第二种方法，把这4支比赛球队列成一个表，即比赛的场次表（如下表），得到的结果是6场。

这种方法主要是分类或分解原理的机理思维，在这里我们会感悟到：如果没有经过法则和方法的认真操作，就不能形成扎实的基本功；如果不能上升到数学的原理去思维、思考法则和方法的机理，势必是机械的数学学习。反过来，如果仅仅是从原理上学习数学，而不是在法则训练的基础上去提炼，则数学原理就成为无源之水、无本之木。因此法则的操练与原理的领悟二者紧密联系，不可偏废。

第三种方法，先分析2支球队比赛的场数，3支球队比赛的场数，再分析得到4支球队比赛的场数为1+2+3=6（场）。教学时有些教师还会作适当的延伸，提问5支球队、6支球队……要比多少场呢？找出球队数增加与比赛场数增加的规律，从而解决问题。这是一种运动思想的动态数学思维。这种动态思维是沟通数学知识之间、数学知识与实践之间内在联系的思维形式，是具有深刻的居高临下的理解知识的思维模式。学习知识就是一个不断地由薄到厚和由厚到薄的过程，这里由厚到“薄”不是知识少了，而是精了，是对知识理解达到了融会贯通。

第四种方法，把每支球队抽象为一个点，两队比赛是两点连线，比赛的场数是四边形的边数与对角线数的和（如图2）。

这种解法是抽象化、模型意识的工具思维。数学意识是人类用数学思维处理问题的方式。解法四其反映的思维包含着较高的抽象化意识、模型化意识和符号化意识的成分。它将具有数学再生与创造的品格和用来解决挑战性问题的能力的品格。

可见，数学思维的四种模式反映了由低到高发展的四个层次。最基础的思维材料是数学知识，操作模式思维的数学方法是数学知识的积累模块；机理模式思维的数学原理是对数学知识的消化、理解与系统化；动态模式思维的数学思想是对数学知识的掌握；工具模式思维的数学意识是对数学知识的运用。

三、给小学数学教学的启示

形成数学意识是数学思维的最高境界。它是学习者走出校门若干年后，什么法则都可能忘记了，什么概念都可能淡忘了，什么公式都模糊了而保留下来的终身受益的东西。学会了自觉地用“数学的思维方式”去思考问题，才算是真正学会了“数学的思维方式”。

1.数学教学应重视让学生数学思维模式的有序发展。低层次的数学知识，只能为数学方法、数学原理、数学思想、数学意识提供较为狭小的阵地，但随着数学知识领域的扩大，也为数学思维的发展提供了广阔的空间。应让数学思维模式随着数学知识的深入而滚动发展，循序渐进，螺旋上升。

2.数学教学要让学生掌握初步的建构数学模型的本领。解决实际问题时，要善于引导学生建立（或选择）一个较好的（既反映问题的本质又相当简单）数学模型。建立数学模型的过程，就是一个数学化的抽象的过程，其实质就是通过抽象找出当前问题与某种数学结构的联系，把一个实际问题转化为一个数学问题的过程。学生掌握了这样的本领，也是学生形成数学意识的坚实基础和有利条件。

3.数学教学中教师应具有让学生走向“理性思维”的智慧。要善于透过数学知识的层面去审视教材，发掘和把握教材资源中含有的数学理性思维因素，发挥其应有的作用；同时还要善于研究数学思维模式的层次，能带着培养学生“数学意识”的眼光，去寻找适切的途径，优化学生思维的发展，让学生的理性精神逐步丰满起来。

许光新，男，1956年生，中学高级教师，江苏省小学数学特级教师，无锡新区实验小学校长。曾主持的江苏省教育规划重点课题“为每一个儿童设计课程—个性化教学的探索与实践”获江苏省基础教育成果一等奖。现主持研究江苏省首批基础教育前瞻性教学改革实验项目“为每一个儿童设计课程—丰富学生的学习方式”。曾出版专著3本，有100多篇教育教学文章在《人民教育》、中国人民大学复印报刊资料等刊物发表或转载。