非线性粘弹性杆纵向激励下的混沌行为

赵平花, 崔　艳, 王龙飞

(1. 太原理工大学 体育学院， 山西 太原 030024； 2. 太原理工大学 力学学院， 山西 太原 030024)



非线性粘弹性杆纵向激励下的混沌行为

赵平花1, 崔艳2, 王龙飞2

(1. 太原理工大学 体育学院， 山西 太原 030024； 2. 太原理工大学 力学学院， 山西 太原 030024)

摘要:本文基于Melnikov法对非线性粘弹性杆纵向激励下的动力学行为进行研究. 首先， 利用Ritz-Galerkin原理将杆纵振时的动力控制方程转化为非线性微分方程—Duffing振子方程； 然后， 通过Melnikov函数得到系统进入混沌的阈值. 为了研究外部激励与混沌运动之间的关系， 进行了一系列的数值计算， 得到了以外激振幅为分岔参数的分岔图、X-T关系曲线图、相平面图、 庞加莱映射图以及对应的功率谱， 从而具体描述了系统的动力学行为. 研究表明： 非线性粘弹性杆在纵振时由定常运动通过倍周期分岔进入到了混沌运动， 其本构方程中的二次非线性项对系统的非线性动力响应影响较大； 系统的混沌阈值随外激振幅的不断增大而逐渐减小.

关键词:粘弹性直杆； 纵向激励； Melnikov法； 同宿轨道； 混沌运动

0引言

杆作为科学研究和工程实践中的基本构件， 可以衍生出更多复杂的耦合结构体， 在航天航空、 生物力学等诸多领域中都有广泛应用， 其动力学行为的研究自然也成为固体力学中比较基础和热门的研究课题， 国内外学者对其做了许多研究工作[1-4]. Tseng等[5]用实验和数值计算研究了屈曲梁的混沌行为； 张年梅等[6]用Melnikov法研究了在周期拉伸条件下非线性弹性直杆的混沌行为； 陈立群等[7]讨论了横向周期力作用下几何和物理非线性粘弹性梁的混沌运动； 吴晓等[8]讨论了纵振条件下非线性弹性直杆的混沌行为， 并着重研究产生这种行为的条件； 任九生[9]等研究了非线性粘弹性嵌岩桩在轴向周期力作用下发生纵向振动的混沌行为； 易壮鹏等[10-11]研究了外激下Kelvin-Voigt粘弹性浅拱和Leaderman粘弹性浅拱的动力行为， 考查了粘弹性材料参数、 几何参数、 外激参数对系统非线性动力学行为的影响； 唐谦[12]研究了混沌理论在生物模型如生物神经网络、 流行病模型、 肌型血管模型等高度复杂系统上的应用. 已有研究表明： 本构关系中二次非线性项对混沌行为的影响较少.

基于此， 本文研究了非线性粘弹性杆纵振时的混沌行为. 用Ritz-Galerkin原理将杆纵振时的动力控制方程转化为非线性微分方程， 即Duffing振子系统， 导出了Hamilton系统同宿轨道的参数方程， 用Melnikov法对其进一步计算得到了发生混沌的最小值. 数值计算给出了以外激振幅为分岔参数的分岔图， 并通过关系曲线图、 相平面图、 庞加莱映射图以及对应的功率谱描述了系统丰富的混沌运动行为， 分析了本构关系中二次非线性项对系统动力响应的影响.

1控制方程

图 1 是悬臂杆的模型， 受纵向激励的作用， 其纵振动力控制方程为

(1)

式中：ρ是材料密度；A是横截面面积.

设杆材料的本构关系[13-14]为

(2)

式中：E，E1是弹性系数；η是粘性系数.

式(1)满足边界条件

(3)

为了求解方程式(1)， 取满足边界条件的位移模态为

(4)

将式(4)代入式(1)， 用Ritz-Galerkin原理整理得

(5)

其中：

当ε=0时， 式(5)对应的无扰动方程组为

(6)

式(6)为Hamiton系统， 可在时域上进行积分.

Hamiton函数h为动、 势能之和， 且在同一轨道上能量是守恒的， 即

(7)

故相轨迹方程可以写为

(8)

由式(7)和式(8)知，β取值对杆纵振的相轨迹有明显的影响.

2混沌阈值求解

同宿轨道参数方程为

(9)

定义Melnikov函数为[15]

(10)

对式(10)中第一和第二项积分得

(11)

(12)

当M(t0)=0时， 系统的稳定流形和不稳定流形必然横截相交而形成同宿点， 混沌运动发生， 其阈值为

(13)

该条件下的同宿轨道参数方程为

(14)

系统发生混沌的临界条件为

(15)

由式(13)和式(15)知，E>0，E1>0和E>0，E1<0的系统具有相同形式的混沌阈值.

3数值分析

当E1>0时， 无量纲化式(5)得

(16)

其中：

于是， 式(13)变为

(17)

图 4 是混沌运动区域图， 曲线上方的半无限大区域是混沌区域， 说明系统处于混沌状态； 随着Ω的逐渐增大， 曲线为单调递增的二次曲线， 混沌运动区域也减小.

图 5 表明， 随着外激励的变化， 在g∈(0,0.8) 区域内， 系统由定常运动倍周期分岔进入到了混沌状态， 且发生混沌运动的区间约为g∈[0.67,0.73].

当E1<0时， 对式(5)进行无量纲化， 此时用-β代替β， 整理得

(18)

其中：

式(16)和式(18)表明：E1的正负影响动力系统.

于是式(15)变为如下形式

(19)

式(19)和式(17)具有相同的形式,这表明混沌运动区域图与图 4 相同.

图 8 表明： 在Melnikov函数确定的混沌区域内随着外激励的变化， 系统由定常运动倍周期分岔进入到了混沌状态， 混沌发生的区间约为g∈[0.68,0.75]. 图 5 和图 8 也表明：E1的正负直接影响发生混沌的区间和分岔图.

4结论

理论分析和数值计算结果表明：

1) 研究系统的混沌行为时， 材料本构关系中的二次非线性项对其影响是必须考虑的， 因它对动力行为的影响是很大的；E1的正负直接影响无扰动系统鞍点的正负， 如图2和图3所示.

2) 混沌运动发生的阀值随着纵向激励振幅的增大而逐渐减小.

3)E1的正负使得系统同宿轨道的参数方程不一样， 而用Melnikov方法获得的系统发生混沌临界条件的表达形式是一样的， 但其动力行为又不一样， 如图7和图10所示.

参考文献:

[1]Ott E, Grebogi C, Yorke J A. Controlling chaos[J]. Phys. Rev. Lett., 1990, 64: 1196-1199.

[2]Bai L, Weng J Q, Jin-Qing. Control of beam halo-chaos by Soliton[J]. Chinese Physics Letters, 2005, 22(9)： 2180-2182.

[3]Liu Q, Fang J Q, Li Y. Synchronization and control of halo-chaos in beam transport network with small world topology[J]. Communications in Theoretical Physics, 2007(4)： 752-758.

[4]Wei M H, Xiao Y Q, Liu H T. Bifurcation and chaos of a cable-beam coupled system under simultaneous internal and external resonances[J]. Nonlinear Dynamics, 2012, 67(3)： 1969-1984.

[5]Tseng J G, Huang B W, Mao L S, et al. Buckling characteristics of microdrills by using finite element method[J]. Advanced Materials Research, 2013, 785-786： 1143-1146.

[6]张年梅, 杨桂通. 非线性弹性杆中的混沌带现象[J]. 应用数学和力学, 2003, 24(5)： 450-454.

Zhang Nianmei, Yang Guitong. Chaotic belt phenomena in nonlinear elastic beam[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2003, 24(5)： 450-454.(in Chinese)

[7]陈立群, 程昌钧, 张能辉. 具有几何和物理非线性粘弹性杆的混沌运动[J]. 工程力学, 2010, 1(1)： 1-6.

Chen Liqun, Cheng Changjun, Zhang Nenghui. Chaotic motion of viscoelastic beams with geometric and physical nonlineararities[J]. Engineering Mechanics, 2010, 1(1)： 1-6. (in Chinese)

[8]吴晓, 邓科涛, 罗烈雷. 弹性直杆纵振时的混沌运动研究[J]. 振动与冲击, 2002： 65-66.

Wu Xiao, Deng Ketao, Luo Lielei. Study on chaotic motion of elastic straight bar during longitudinal vibration[J]. Journal of Vibration and Shock, 2002： 65-66.(in Chinese)

[9]任九生, 程昌钧. 粘弹性桩的混沌运动分析[J]. 力学季刊, 2014： 349-354.

Ren Jiusheng, Cheng Changjun. Analysis of chaotic motion on piles with nonlinear viscoelastic materials[J].Chinese Quarterly of Mechanics, 2014： 349-354.(in Chinese)

[10]易壮鹏, 王连华, 赵跃宇. 粘弹性浅拱的非线性动力学行为[J]. 应用数学和力学, 2009, 6(6)： 719-724.

Yi Zhuangpeng, Wang Lianhua, Zhao Yueyu. Nonlinear dynamic behaviors of viscoelastic shallow arches[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2009, 6(6)： 719-724. (in Chinese)

[11]易壮鹏, 康厚军, 王连华. 基于Kelvin模型的粘弹性浅拱的动力稳定性[J]. 动力学与控制学报, 2009(7)： 212-216.

Yi Zhuangpeng, Kang Houjun, Wang Lianhua. The dynamic behaviors of viscoelastic shallow arches based on Kelvin model[J]. Journal of Dynamics and Control, 2009(7)： 212-216. (in Chinese)

[12]唐谦. 混沌理论在生物模型中的若干应用研究[D]. 大连： 大连理工大学, 2013.

[13]李欣业, 刘波, 崔锦华. 二次非线性粘弹性圆板的2/1超谐解[J]. 工程力学, 2013： 74-77.

Li Xinye, Liu Bo, Cui Jinhua. 2/1 superharmonic solution of a circular plate with quadratic nonlinear viscoelasticity[J]. Engineering Mechanics, 2013： 74-77.(in Chinese)

[14]Guo J G, Zhou L J, Zhang S Y. Geometrical nonlinear waves in finite deformation elastic rods[J]. Applied Mathematics & Mechanics, 2005, 26(5)： 667-674.

[15]刘延柱, 陈立群. 非线性动力学[M]. 上海： 上海交通大学出版社, 2000.

Chaotic Behavior of Nonlinear Viscoelastic Straight Bar During Longitudinal Vibration

ZHAO Ping-hua1, CUI Yan2, WANG Long-fei2

(1. School of Physical Education, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China;2. Institute of Mechanics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

Key words:viscoelastic straight rod; longitudinal vibration; Melnikov function; homoclinic orbit; chaotic behavior

Abstract:Dynamic motion of nonlinear viscoelastic straight bar during longitudinal vibration was investigated based on the method of Melnikov. The dynamic governing equation of bar during longitudinal vibration was changed into differential dynamic system-Duffing oscillator equation by Ritz-Galerkin principle. By the Melnikov function, chaotic threshold of the system was given. The influences of external loading frequency upon chaotic motion were analyzed by numerical calculation and the motion behavior of system was described through the bifurcation diagrams which bifurcation parameter was amplitude, the time-history curve, phase portrait, Poincaré map and power spectrum. The results were given as follows. Steady motion of the system of nonlinear viscoelastic straight bar during longitudinal vibration may be translated into chaotic motion through period doubling bifurcation and the quadric nonlinear item in constitutive relation had great effect on the dynamic behavior. The chaotic threshold value of the system would decrease with increase of external loading frequency.

文章编号:1673-3193(2016)03-0245-07

收稿日期:2015-12-01

作者简介：赵平花(1968-)， 女， 副教授， 硕士， 主要从事运动生物力学研究.

中图分类号:O322

文献标识码:A

doi:10.3969/j.issn.1673-3193.2016.03.008