整除的常见问题

杨桂军

一、数的整除概念、性质

（一）整除的定义

设任意两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商

为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫 a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或 b不整除a。

（二）数的整除性质

1.对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。

记作：a|b，b|a，则a=b。

2.传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

记作：若a|b，b|c，则a|c。

3.若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能该自然数整除。

记作：若a|b，a|c，则a|（b c）。

4.几个数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。

5.若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能分别被这两个互质数的积整除。

记作：若a|b，c|b，（a，c）=1， 则ac|b。

6.若一个数能被两个互质数的积整除，那么，这个数也能分别被这两个互质数整除。

记作：若ac|b，（a，c）=1， 则a|b，c|b。

7.若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

8. 若a|b，m≠0，则am|bm。

9.若am|bm，m≠0，则a|b。

10.若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）

二、常见数的整除特征

1.1與0的特性：

1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a。

0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则a|0。

2.若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

3.若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

4.若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

5.若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

6.若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

7.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2

倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

8.若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

9.若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

10.若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

11.若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则 能被11整除。

12.若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

13.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍， 如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

三、整除的常见问题

（一）数与数的整除问题

1.直接判断法

2.填空整除法

例2.四位数7a2b能被2，3，5整除，这样的四位数有几个？分别是多少？