重整化群在一个拟线性时滞奇摄动初边值问题中的应用

张艳妮

(吉林建筑大学城建学院，吉林长春 130112)



重整化群在一个拟线性时滞奇摄动初边值问题中的应用

张艳妮

(吉林建筑大学城建学院，吉林长春 130112)

[摘要]本文利用重整化群方法研究一类拟线性时滞奇摄动初边值问题，得到了其一阶渐近展开解，结果表明利用这种方法得到的结果是有效的。

[关键词]重整化群；奇异摄动；时滞方程

近年来,重正化群方法被成功地运用到各种奇异摄动问题[1].重正化群方法在处理奇异摄动问题时，比传统的方法更简单、有效：一方面，构造渐近展式时，不需要对摄动序列作特别的假设，也不用渐近匹配，就能生成自适用于问题的渐近序列；另一方面，可获得比传统方法更有效、更精确的解的全局信息.但是，对于时滞方程的奇摄动问题[2-3]，一直都是奇摄动问题的难点.本文通过分段考虑，将一个时滞方程的奇摄动问题转化为两个常微分方程的奇摄动问题，进而利用重整化群方法，得到原问题的一个渐近解.

本文考虑如下拟线性问题：

(1)

其中，1>>μ>0是小参数.

首先，将原问题等价化为下面两个左右问题：

左问题，0≤t≤1,

右问题，1≤t≤2,

假设问题(6)(7)有如下展开式

(8)

将(8)代入(6)中，并比较等式两端μ的同次幂的系数，得到

解(9)得到

(11)

其中，A0,A1是常数，由初值条件确定.将(11)代入(10)，易解得

(12)

则左问题的一阶近似解(实际上也是精确解)为

Y(-)=A0+A1e-τ+μτ.

(13)

由初值条件(7)可得A0+A1=1，这里为方便计算，我们取A0=2,A1=-1.

由(16)可得

(18)

其中，φ(s)=∫se-2τ-e-τdτ=e-e-s(e-s+1),B0,B1是待定常数.将(18)代入(17)，由Lagrange常数变异公式，得(17)的一个特解

=φ(s)∫se2τ+e-τ-B1τdτ-∫se2τ+eτ-B1τe-e-τ(e-τ+1)dτ.

从而右问题的一阶形式解为

(19)

(20)

然后，令B0=(1+b0μ)B0(σ),B1=(1+b1μ)B1(σ),只需取

于是，展开式(20)化为

从而，可得RG方程

进而，由方程(21)和(22)解得

从而，可得到原问题(1)的一阶渐近解：

本文通过重整化群方法给出了一个拟线性时滞奇摄动初边值问题的一阶渐近解，结果表明是可行的.不难注意到，在(14)中，当作尺度变换时出现了含“μs”的项，这也正是右问题计算繁琐的原因，能否有更简单的方法来处理这一项，是值得我们进一步讨论的问题.

[参考文献]

[1]奈弗.摄动方法[M].王辅俊,等,译,上海:上海科学技术出版社,1984.

[2]Hale.J.Theory of Functional Differentional Equations[M].Springer-Verlag,New York-Heidelberg,1977.

[3]汪娜.时滞奇摄动问题内部层现象研究[D].上海:华东师范大学,2012.

The Renormalization Group Method Applied in a Quasi-linear Singularly Perturbed Differential Equation with Initial Values and Boundary Values

ZHANG Yan-ni

(Jilin Architectural University Urban Construction College,Changchun Jilin 130112,China)

Abstract:This paper presents an uniformly valid asymptotic expansion for a quasi-linear singularly perturbed difference equation with initial values and boundary values via renormalization group method. And the results show that our method is effective.

Key words:renormalization group; singular perturbation; delayed differential equation

[收稿日期]2016-01-02

[作者简介]张艳妮(1982- )，女，助教，硕士，从事常微分方程研究。

[中图分类号]O175

[文献标识码]A

[文章编号]2095-7602(2016)06-0013-03