算子Dunkl-Williams型不等式

阮杰昌，胡志军

(1.宜宾职业技术学院,四川宜宾 644003；2.广西师范大学数学与统计学院,广西桂林 541004)



算子Dunkl-Williams型不等式

阮杰昌1，胡志军2

(1.宜宾职业技术学院,四川宜宾 644003；2.广西师范大学数学与统计学院,广西桂林 541004)

[摘要]本文的目的在于讨论和经典Dunkl-Williams型不等式相类似的算子不等式，经过分析我们得到了几个算子Dunkl-Williams型不等式，并将其与现有的不等式进行了比较，所得结果是前期结果的推广和改进。

[关键词]Dunkl-Williams不等式；算子不等式；算子绝对值

1算子Dunkl-Williams简介

(1.1)

|A|A|p-1-B|B|p-1|2≤|A|p-1(r|A-B|2+s(|B|p|A|1-p-|B|)2)|A|p-1.

(1.2)

不等式(1.2)是下面算子不等式的推广：

|A|A|-1-B|B|-1|2≤|A|-1(p|A-B|2+q(|A|-|B|)2)|A|-1.

首先给出不等式(1.2)的一个改进，同时，也得到了算子p-角距离|A|A|p-1-B|B|p-1|2的一些下界估计.

2主要结果

首先给出不等式(1.2)的一个改进.

定理2.1设A,B∈B(H)且|A|,|B|可逆，λ∈[0,1].若1

(2.1)

若r>2,则

(2.2)

证明由文献[7]中的定理2.1可知，当λ∈[0,1]时，若1

|A-B|2≤r|A|2+s|B|2-((s-1)(1-λ)+λ)|(1-r)A-B|2.

(2.3)

注意到

将不等式(2.3)作用到算子(A-B)|A|p-1和B(|A|p-1-|B|p-1)上，可得

=r|A|p-1|A-B|2|A|p-1+s(|B|p-1-|A|p-1)|B|2(|B|p-1-|A|p-1)

=|A|p-1(r|A-B|2)|A|p-1+s(|A|1-p|B|p-|B|)(|B|p|A|1-p-|B|))|A|p-1

=|A|p-1(r|A-B|2|A|p-1+s(|A|1-p|B|p-|B|)(|B|p|A|1-p-|B|))|A|p-1

同时，由文献[7]中的定理2.1可知，当λ∈[0,1]时，若r>2，则对于任意的A,B∈B(H)，有

|A-B|2≤r|A|2+s|B|2-((r-1)λ+1-λ)|A-(1-s)B|2.

(2.4)

将不等式(2.4)作用到(A-B)|A|p-1和B(|B|p-1-|A|p-1)上，可得

注2.1在不等式(2.1)中，若令λ=1，则有

这显然是不等式(1.2)的一个改进.同样地，在不等式(2.2)中，若令λ=0，则有

同时，这也是不等式(1.2)的一个改进.

定理2.2设A,B∈B(H)且|A|,|B|可逆，λ∈[0,1].若1

(2.5)

若r>2，则

(2.6)

证明由文献[7]中的定理2.1可知，当λ∈[0,1]时，若1

r|A|2+s|B|2-((r-1)λ+1-λ)|A-(1-s)B|2≤|A-B|2.

(2.7)

将不等式(2.7)作用到(A-B)|A|p-1和B(|B|p-1-|A|p-1)上，可得

同时，由文献[7]中的定理2.1可知，当λ∈[0,1]时，若r>2，则对于任意的A,B∈B(H)，有

r|A|2+s|B|2-((s-1)(1-λ)+λ)|(1-r)A-B|2≤|A-B|2.

(2.8)

将不等式(2.4)作用到(A-B)|A|p-1和B(|B|p-1-|A|p-1)上，可得

注2.2在不等式(2.5)中，若令λ=0，则有

同样地，在不等式(2.6)中，若令λ=1，则有

注2.3由注2.1和2.2，有如下双向不等式：

若1

若r>2，则

[参考文献]

[1]C.F.Dunkl,K.S.Williams.A simple norm inequality[J].Amer.Math.Monthly,1964(71):53-54.

[2]L.Maligranda.Simple norm inequalities[J].Amer.Math.Monthly,2006(113):256-260.

[4]F.Dadipour,M.S.Moslehian.Dunkl-Williams inequality for operators associated with p-angular distance[J].Nihonkai Math.J.,2010(21):11-20.

[5]F.Dadipour,M.S.Moslehian.An approach to operator Dunkl-Williams inequalities Publ[J].Math.Debrecen, 2011(79):109-118.

[7]L.Zou,C.He.On operator Bohr type inequalities[J].Math.Inequal,2014(17):1161-1169.

Dunkl-Williams Type Inequalities for Operators

RUAN Jie-chang1,HU Zhi-jun2

(1.Basic Education Department,Yibin Vocational and Technical College,Yibin Sichuan 644003,China;2.College of Mathematics and Statistics,Guangxi Normal University,Guilin Guangxi 541004,China)

Abstract:The purpose of this paper is to discuss inequalities related to operator versions of theclassical Dunkl-Williams inequality. We obtain some Dunkl-Williams type inequalities for operator. Our results are generalizations and refinements of some existing ones.

Key words:Dunkl-Williams inequality; operator inequality; operator absolute value

[收稿日期]2016-04-07

[作者简介]阮杰昌(1982- ),男，讲师，硕士研究生，从事计算数学研究。

[中图分类号]O178；O177.1

[文献标识码]A

[文章编号]2095-7602(2016)06-0026-03