射影定理在2016年高考中应用例析

高丰平

高考题目不少都是来源于课本的，回归教材是高考复习中要注意的一个问题.下面以“射影定理”为例，说明高考中试题“源自课本，而又高于课本”.

人教A版必修5第18页练习3

在△ABC中，求证：a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.

证明一（教师用书）右边=bcosC+ccosB=b×a2+b2-c22ab+c×a2+c2-b22ac

=a2+b2-c22a+a2+c2-b22a=2a22a=a=左边.类似可以证明另外两个等式.

特别注明本题结论称为射影定理.

证明二在△ABC中，A+B+C=π，A=π-B-C，sinA=sin（π-B-C）=sin（B+C），展开得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，由正弦定理得a=bcosC+ccosB，同理可得b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.

证明三分角A为锐角、直角、钝角作图讨论，过程略.

下面来看2016年的几道高考题.

例1（2016年全国卷1理科17题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c=7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长.

解（Ⅰ）由射影定理得acosB+bcosA=c，又2cosC（acosB+bcosA）=c，

故2ccosC=c，cosC=12，因为C∈0，π所以C=π3.

（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，7=a2+b2-2ab·12，a+b2-3ab=7.

S=12absinC=34ab=332，所以ab=6，所以a+b2-18=7，所以a+b=5，

所以△ABC周长为a+b+c=5+7.

评注本题难度不大，但运用射影定理无疑会给解题带来方便，省去推导与转化的麻烦，可以节约篇幅和时间，充分享受数学简约之美.

例2（2016年四川卷文科18题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosAa+cosBb=sinCc.

（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；

（Ⅱ）若b2+c2-a2=65bc，求tanB.

证明（Ⅰ）由cosAa+cosBb=sinCc变形得，c（bcosA+acosB）=absinC，又由射影定理得bcosA+acosB=c，即c2=absinC，又由正弦定理得sin2C=（sinAsinB）sinC，C∈（0，π），sinC≠0，

故有sinAsinB=sinC成立.

解（Ⅱ）由已知b2+c2-a2=65bc，根据余弦定理，有cosA=b2+c2-a22bc=35，

所以sinA=1-cos2A=45.由（Ⅰ）

sinAsinB=sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

所以45sinB=45cosB+35sinB，故tanB=sinBcosB=4.

评注问题（Ⅰ）应用射影定理求证，简洁明了.

例3（2016年山东卷理科16题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=tanAcosB+tanBcosA.

（Ⅰ）证明：a+b=2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值.

证明（Ⅰ）由2（tanA+tanB）=tanAcosB+tanBcosA化切为弦得

2（sinAcosA+sinBcosB）=sinAcosAcosB+sinBcosAcosB，化简得2（sinAcosB+sinBcosA）=sinA+sinB，由正弦定理得2（acosB+bcosA）=a+b，又由射影定理知acosB+bcosA=c，故a+b=2c成立.

解（Ⅱ）由（Ⅰ）知c=a+b2，所以cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-（a+b2）22ab=

38（ba+ab）-14≥12，当且仅当a=b时，等号成立.故cosC的最小值为12.

评注虽然所给式子较为复杂，但通过化切割为弦的处理，为射影定理的使用奠定了基础，而射影定理的使用大大简化了解题过程.