由一道高考题引出的圆锥曲线切线的性质

王丽爽

随着素质教育的施行，高中教育中对学生能力的培养比较重视。尤其是在高中数学的学习过程中，受到高中数学逻辑思维与形象思维要求较多的影响，一些学生在几何图形的学习中比较困难。比如，关于圆锥曲线方面的知识掌握不够扎实，特别是对圆锥曲线切线性质的理解方面存在一定误区。主要针对一道高考题中对圆锥曲线切线性质的涉及进行探讨，以此为高中生的数学学习提供积极的意见与建议，促进学生数学的学习与发展。

近些年来，高考数学中对圆锥曲线切线性质题型比较多，主要集中在圆锥曲线的切线问题与定点定直线问题上，这也使高考专家对圆锥曲线的研究更加注重。圆锥曲线是高考中的重要题型，这需要学生对其的掌握必须熟练。当前的高中数学教材中，一些对圆锥曲线问题的研究仅仅局限于简单的几何性质上，而且与切线问题相关的仅仅是位置关系的研究。但是，到目前为止，关于圆锥曲线切线性质的问题多种多样。而且高考中关于圆锥曲线的切线问题出现频率比较高，这就引起了广大数学老师与学生的普遍关注。

作为平面解析几何中的核心内容，圆锥曲线是高中数学的重点与难点。因此在高考中对其的考查也比较突出。其中，关于圆锥曲线问题的主要内容是切线问题，这一问题往往会造成学生解题的困难，大部分学生一旦遇到关于切线问题的圆锥曲线图形，就会在解题过程中出现错误，而且在解题过程中往往会力不从心。因此，为了让高中生能够摆脱切线问题的困境，提高学生学习圆锥曲线问题的兴趣与积极性，能够让学生深入了解圆锥几何问题的解法，本文主要针对高考中的一道具体问题，对圆锥曲线的切线性质进行研究与分析，以此为高中生的圆锥曲线学习提供宝贵的意见。

圆锥曲线与很多知识都相互联系，学生学好圆锥曲线方面的知识，不仅能够有效培养自身的数学素质，同时也会深刻地将数学知识相互联系，最终提升自身的学习质量以及思维判断能力。所谓圆锥曲线，即利用一个平面去截一个圆锥面，其中得到的曲线就是圆锥曲线。这是从几何观念出发的。而从代数角度考虑，二元二次方程中Ax2+Bxy+Cy2+Dx+F=0的图像表示的是圆锥曲线。对于不同的判别式，也具有不同的椭圆、双曲线以及抛物线等。圆锥曲线是光滑的，所以有切线与法线之分。1822年的比利时数学家得出的冰淇淋定理，对圆锥曲线的几何定义与焦点进行了说明。这一定理在当前的高中数学教学中得到了积极的运用。在圆锥曲线的研究中，阿波罗对前人的工作进行了总结，特别是欧几里得的工作，对前人的成果通过加工、归纳与提炼使其成为一项系统的工作，并且在此基础上，还进行了自身的创新。书中共8篇，包括487篇命题，而且已经容纳了圆锥曲线的性质与内容，后来的学者已经没有任何余地进行钻研。

圆锥曲线的切线一直是高考、自主招生、各类竞赛的热点问题，圆锥曲线切线的性质频繁出现在各级各类考试中，更多的圆锥曲线的切线性质可以参看。笔者以一道高考题为载体，研究圆锥曲线的切线，得到一些结论，现整理成下文，以供参考。

（2013安徽）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的焦距为4，且过点P（，）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E。取点A（0，2），连接AE，过点作的垂线交x轴于点D。点D是点关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由。

答案：（1）+=1。

（2）由题意可知，QG的直线方程：=，化简得x0y0x-（x02-8）y-8y0=0，又因为x02+2y02=8，所以x0x+2y0y-8=0代入+=1。

最后求得Δ=0，所以直线QG与椭圆只有一个公共点。

本题以椭圆为载体，考查了椭圆的标准方程、直线方程、直线与椭圆的位置关系等知识，考查解析几何的基本思想，综合运算能力、探究能力。本题难度适中，但笔者觉得本题还有很多工作可以做，因为我们自然会提出以下问题。

问题1：QG为什么偏偏就是椭圆的切线？一般的椭圆有这种性质吗？

问题2：在仿射变换下，我们可以把椭圆变换成圆，圆的切线也会有类似的性质吗？

对于以上两个问题，我们作了探究，得到以下结论：

结论1.已知椭圆C：+=1（a>b>0），设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E。取点A（0，a），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D。点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，则QG是椭圆的切线。

结论2.已知椭C：+=1（a>b>0），直线l1∶y=k1x，l2∶y=k2x，且k1k2=-，Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆D上一点，过点Q作直线y-y0=k2（x-x0）交l1于点E，l1交椭圆于点A。l1上点D满足x2A=xExD，则QD是椭圆的切线。

通过以上例题可以充分发现圆锥曲线知识的重要性，这就需要教师在数学知识的教学中，要结合学生的实际情况，充分采取科学合理的措施，以此来提升学生的学习质量，让学生对圆锥曲线知识有一个深入的了解，同时也能够与其他知识相互联系，应用到解题中，充分培养学生对数学知识的运用能力。总之，本文主要针对圆锥曲线切线性质的定义、概念以及前人的研究成果等进行分析，并且以此为基础对高中生在圆锥双曲线的性质学习、掌握与运用中遇到的问题，提出合理的解决举措，以此为高中数学老师与学生提供合理的意见与建议，从而使高中生在高考中获得成功。

参考文献：

廖永明.由一道2013年高考题引出的圆锥曲线的一个性质[J].中学数学月刊，2014（1）.

编辑 薛直艳