一类函数的单调性研究*

张晓霞，李云霞

(楚雄师范学院数学与统计学院，云南 楚雄 675000)



一类函数的单调性研究*

张晓霞，李云霞

(楚雄师范学院数学与统计学院，云南 楚雄 675000)

本文讨论了一类一般的幂指函数的单调性，获得了三个一般性结果，同时得到了与之对应的数列的单调性。

幂指函数；幂指数列；单调性

1.主要引理

(i) 若α>0，则

(ii)若α0，则在区间上，g(x)>0.

则

(1)

(2)

所以当α-1<0，即0<α<1时，由洛必达法则得

(3)

于是

(4)

若α-1>0，即α>1时，由(3)式同理可得

(5)

由洛必达法则得

(6)

所以

(7)

(8)

综上所述, 引理中的(i)得证.

(9)

由洛必达法则得

又由(6)式可得

(10)

综上所述，故引理中的(ii)得证.

2.主要结论

(ii)当α0时，函数f(x)在上均为严格递增函数.

(11)

① 当0<α<1时，g(x)>0，f′(x)>0，从而f(x)在该区间上为严格递增函数；

② 当α>1时，g(x)<0，f′(x)<0，从而f(x)在该区间上为严格递减函数.

(ii)若α0时，由(11)式及(ii)，均有g(x)>0，则(x)>0，从而f(x)在区间均为严格递增函数.

综上所述，定理得证.

由定理可知，当x取自然数n时有

[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)(第四版)[M].北京：高等教育出版社，2010:23-60,165——166.

[2]朱匀华.微积分入门指导与思考方法[M].广东：中山大学出版社，1987：270—280.

[3]张全新，郭世平.一类数列单调性的探究[J].合肥师范学院学报，2009.27(03)：29—31.

(责任编辑 李艳梅)

The Monotonicity of a Kind of Function

ZHANG Xiaoxia & LI Yunxia

(SchoolofMathematics&Statistics,ChuxiongNormalUniversity,Chuxiong, 675000,YunnanProvince)

In this paper, we first discuss the monotonicity of a kind of power exponential function and prove three general results of it. Secondly, we obtain the monotone property of the corresponding sequence.

The power exponent function；The power exponent sequence；Monotonicity

2016 - 04 - 12通讯作者：李云霞(1970—)，女，教授，研究方向：函数论。

O174.3

A

1671 - 7406(2016)06 - 0001 - 04