电场作用下液滴的动力学特征

叶学民，赵盼盼，张润盘，李春曦

(1. 华北电力大学 电站设备状态监测与控制教育部重点实验室, 河北 保定 071003；2. 河北省电力勘测设计研究院，河北 石家庄 050031)



电场作用下液滴的动力学特征

叶学民1，赵盼盼1，张润盘2，李春曦1

(1. 华北电力大学 电站设备状态监测与控制教育部重点实验室, 河北 保定 071003；2. 河北省电力勘测设计研究院，河北 石家庄 050031)

基于漏电介质模型和润滑理论，建立了电场作用下两极板间液滴运动特征的理论模型，采用PDECOL数值模拟了不同底部电势下液滴的动力学特征及多种参数的影响，讨论了主要特征量的变化率。结果表明：线性底部电势的突出影响表现在促进液滴整体偏移现象上，具有减缓液滴铺展、抑制液膜破断的作用；非线性电势的影响体现在液滴自由界面呈波状形态，或液滴中心内陷，逐渐破裂为子液滴、并向两侧分离的特征，提高电毛细力数有助于分裂液滴、增大电极间距则可减缓液滴运动；交流电场作用下，液滴作周期性振荡运动、呈扁长外形，提高电压幅值加剧液滴破裂或重组特征。

电场；液滴；动力学特性；铺展；振荡

0　引　言

导电液滴在电场作用下，在其表面形成自由电荷，附加的麦克斯韦应力通过改变其电水动力学特性，进而影响其铺展，破裂和重组特征[1-3]， 由此可对液膜的运动过程进行有效控制。如镀膜、石油开采、静电喷雾、喷墨式打印、矿物浮选和湿式电除尘器的优化等都涉及电水动力学问题[4]。

电场对液滴运动过程的作用通常采用漏介电质模型，通过构造不同类型的电场进而研究液滴的运动特征。早期集中在理想导体(水银或水)或理想绝缘体(苯)，直到Allan和Mason[5]开始研究不完全导电的液体—漏介电质，研究方法才得以改变。描述外加均匀电场对导电率较小、且与周围粘性流体介电常数相差不大的液滴的作用时，采用漏介电质模型可合理地预测液滴的变形。Taylor首先提出利用该模型解释在稳定区域中液滴的变形问题，之后Melcher和Taylor[6]将该模型推广到导电液滴，在电水动力学的研究中得到广泛应用。多名学者通过在流动中引入漏介电质模型，得到液体薄膜铺展的定常解和二维平板与自由界面间周期性电渗流动的解析解，在考虑自由界面上电场引起的麦克斯韦应力和流体力学应力基础上，分析了液膜的流动特征[7-9]。

基于漏介电质模型，可研究液滴在自由界面处的形态及其线性稳定性。Conroy等[10]研究表明电场会降低临界雷诺数，加剧流动的失稳效应。Pease和Russel[11]提出了电场作用下由微观结构向纳米结构转化的定量模拟方法，并根据线性稳定分析探讨了液滴电导率和液膜厚度的演化过程。Taylor和McEwan[12]研究了高压直流电场对液/液界面处稳定性的影响，及气/液界面处自由界面的动力学特征。Schaffer等[13]发现液滴在施加电场后出现的电水动力学不稳定现象，初始形态为光滑的自由界面处逐渐演变为波浪状。

Shankar和Sharma[14]指出当外加电场施加在气/液界面处时，存在一临界压力，当压力超过该临界值时，界面出现自发的波动，从而导致自由界面不稳定现象。Matar和Lawrence[15]通过在涡流盘和液膜顶部电极间施加电势引入电场，研究了大电导率的薄液膜流经旋转涡流盘的铺展行为，表明增强电场强度或减小电极间距会使液膜表面有不同程度的大幅度界面波纹凸起。Yeo等[16]采用润滑理论分析了两平板电极间液滴的运动学特征，探讨了电极间距β、电毛细力数C对液膜厚度及铺展速率的影响。Yuan和Zhao[17]研究了交流电作用下液滴在柱形排列表面上的静力和动力学特性，发现了通过增大电场作用液滴被推挤的现象。另外，还有实验发现了高压交流电场中液滴的“扁长型”或“扁平型”变形或表面振荡现象[18-19]。蒋冬冬等[20]采用实验发现在不同交流电频率下，电润湿芯片上液滴的振荡特征，指出液滴在某些特定输入频率下出现的共振现象，液滴自由表面出现液瓣状变形。

以上研究主要集中在直流电场为恒定底部电势下的液滴运动，或采用实验捕获交流电场作用下的液滴振荡形态，而对于液滴运动过程中的主要特征参数和铺展速率的变化尚未全面分析。另外，对非线性电场或交流电场作用下液滴形态变化的理论研究尚不完善，尤其是运动细节特征。为此，本文针对底部电势为线性和非线性直流电场以及交流电场等情形，通过建立液滴演化模型，借助数值模拟获得不同底部电势下液滴的运动形态，进而分析不同电场对液滴运动过程的影响。

1　理论模型和演化方程组

1.1物理模型

如图1所示，采用共面电极结构，液滴位于两电极板间，通过电极板引入电势来形成电场。基底上预置一层厚度均匀为Hb*的液膜，初始时，在此液膜上面放有一导电液滴，且液滴与预置液膜为相切状态，液滴受电场作用开始运动；液滴底部液膜厚度急剧降低，形成超薄液膜区，液膜与预置液膜交界处，形成铺展前沿，铺展半径Xd和铺展前沿Xf是描述其运动过程的重要参数。假设导电液滴为不可压缩牛顿流体，动力粘度μ*和密度ρ*为常数，壁面为无滑移、无渗透界面，液膜自由表面外为无粘性气体。液滴初始最大厚度H*与流动方向尺度L*相比非常小(上标“*”代表有量纲量)，即*=H*/L*《1，适用润滑理论[21-22]。其中各参数的数量级为H*～10-5m，L*～10-3m，μ*～10-3Pa·s，ρ*～103kg·m-3。

图1　液滴运动示意图Fig.1　Diagram of the droplet

1.2演化方程组

为避免铺展前沿处的奇异性，引入分离压模型[16]

无特殊说明m=3，n=4，h∞=0.005。

不可压缩牛顿流体的控制方程组为

(1)

(2)

式中：u*=(u*，w*)为速度矢量，p*为压强。

在固体壁面处，满足无滑移、无渗透条件

(3)

气液界面上，满足法向和切向应力平衡方程

(4)

(5)

式中：n*和t*为界面处单位法向和切向矢量；λ*为界面平均曲率；γ*为表面张力；T*为液体的应力张量。

式中：M*为麦克斯韦张量；Θ*为粘性张量；I*为单位张量。

气液界面上的运动学条件为

(6)

描述界面电荷密度q*的方程[23]为

(7)

采用下列无量纲变换对上述方程及边界条件进行无量纲化

依据润滑理论、保留数量级为≥O(∈)的项，可得无量纲化控制方程组

(8)

(9)

(10)

边界条件为

z=0，u2=w2=0；z=b，u1=w1=0

(11)

z=h，uz=0

(12)

(13)

z=h，ht+ushx=ws

(14)

结合式(8)～式(14)，通过积分运算可得液膜厚度和界面电荷密度的演化方程组

(15)

(16)

2　数值模拟

采用PDECOL程序模拟演化方程式(15)和式(16)。选取-15

研究表明，电极间距β和电毛细数C的大小对液滴运动具有显著的影响[22]。β值过小则液滴在电场引力作用下呈回缩运动，电极间距β值过大和电毛细数C值过小又均无法呈现电场对液滴运动的影响，也难以与已有结果[16，19，20]进行对比。鉴于本文致力于研究电场作用下的液滴铺展过程及其特征，在综合考虑液滴运动形态和便于分析其他参数影响的前提下，如无特殊说明，下述计算中选取电毛细数C=1，电极板间距β=5。

程序中的初始条件为

(17)

(18)

式中：F(x)=0.5[1+tanh(100x)]为海氏阶跃函数；其中，无量纲预置液膜厚度Hb=0.1。初始时的液滴形状如图2所示。

程序中的边界条件为

图2　初始时刻的液滴形状Fig.2　Initial profile of droplet

3　结果及分析

为分析不同电场对液滴运动过程及其特征量的影响，下文分别对不同形式的直流电和交流电加以讨论。

3.1线性电势Φ=1+Sx

图3为施加底部电势为Φ=1+Sx时液滴的运动过程。当S=0时，即恒定电势下，如图3(a)所示，随时间t增加，液滴保持抛物线形状并向两侧铺展，液滴中心最大厚度hmax逐渐降低，铺展半径Xd和铺展前沿Xf逐渐增大。当t>50，hmax降低速率明显减小，但液滴形状始终保持中心对称；其原因是S=0时，液滴中心两侧所受到电场力对称且大小相同。

图3　Φ=1+Sx时液滴的演化历程Fig.3　Evolutions of the droplet under Φ=1+Sx

改变电势参数，令S=-1时，此时电势沿x方向线性减小。如图3(b)所示，随t增加，最大液膜厚度逐渐降低，液滴仍呈对称分布，但液滴整体向右偏移，该结果与文献[16]一致。液滴中心最大厚度hmax对应Xhmax的右移速率为t1/1.5(图4所示)，研究表明，当S=1时，液滴左移，移动速率相同。

图4　最大液膜厚度对应横坐标的变化曲线Fig.4　Evolution of horizontal coordinates of the maximum film thickness

式(15)中第1项为底部电势作用项，第2项为毛细压和分离压共同作用项，可通过这两项的变化来分析其对液滴运动过程的影响。图5为t=3时各作用力的变化。当S=0时，π=0，即底部电势作用力为0，此时毛细压和分离压为控制液滴运动的因素，液滴左右两侧受力相同，因此液滴对称铺展。当S=-1时，液滴中心左侧底部电势作用项高于右侧，由式(15)知，此时左侧底部电势起减小液膜厚度、而右侧起增大液膜厚度的作用；且毛细压项呈现右侧值高于左侧，进一步增加液膜厚度；上述共同作用促使液滴右移。比较S=0和S=-1时可知，液滴铺展过程的厚度变化仍然主要由毛细压和分离压项所控制。

图5　不同作用力在液滴运动过程中的影响 Fig.5　Effects of different forces in Eq.(15)

为进一步研究电场对液滴铺展速率的影响，图6给出了铺展前沿Xf和铺展半径Xd的变化。无电场作用Φ=0时，铺展前沿符合Xf～t1/3，铺展半径符合Xd～t1/7，且液滴始终以该速率铺展。为验证本文模型的可靠性，在图6中进一步比较了图3(a)中恒定电势S=0时演化过程中的特征参数变化。由图可知，在铺展前期，Xd变化率减小为t1/8，Xf变化率略低于t1/3，这与文献[16]所得结果一致。在线性电势作用S=-1下，初始时铺展前沿仍符合Xf～t1/3，后期则减小为Xf～t1/6。对于铺展半径，在10-1

图6　不同电势下铺展前沿和铺展半径的变化速率Fig.6　Evolutions of advancing front and spreading radius in droplet spreading under different electric potential

图7　不同电势下最大和最小液膜厚度的变化Fig.7　Evolutions of the maximum and minimum film thicknesses under different electric potential

3.2非线性电势

3.2.1底部电势为Φ=Acos(kx)

当极板间施加非线性余弦电势Φ=Acos(kx)时，其中A为幅值，k为波数，液滴铺展过程如图8所示(A=1，k=1)。此时，液滴仍对称向两侧铺展，初始时hmax迅速降低，当t>10时，铺展过程中液滴中心出现凹陷特征，铺展前沿界面呈现与底部电势变化一致的波状形态。

图8　液滴演化历程(A=1,k=1)Fig.8　Evolutions of the droplet under A=1，k=1

为探讨非线性电势参数幅值A和波数k的影响，图9给出了铺展后期t=50时的液滴铺展过程。如图9(a)所示，当k=1、A=0.25,1,3时，随幅值A增大，不仅铺展前沿处的波状特征更加明显，而且进一步减小了hmin，增大了液膜破断的可能性；另外，液滴中心附近界面处也呈现明显的波状特征，增加A有加剧液滴出现分裂的作用。如图9(b)所示，当A=0.25、k=0.01,1,10,100时，即增大底部电势波数k对液滴铺展几乎没有影响。由此表明，余弦电势对液滴铺展的影响体现在幅值的影响上。

图10为A=1、k=1时，最大液膜厚度hmax、铺展前沿Xf和铺展半径Xd的变化率。该图表明，hmax仍呈t-1/7变化，表明该电势并未对液滴中心高度的变化起促进或减缓作用，而是促使液滴表面出现波状变形；铺展前沿符合Xf～t1/5，铺展半径符合Xd～t1/6，总体上低于恒定电场下的变化率，表明该电势在一定程度上抑制了液滴向两侧的铺展速率。

图9　不同幅值和波数下液滴的演化历程Fig.9　Evolution of the droplet under different amplitudes and wave numbers

图10　最大液膜厚度、铺展前沿和铺展半径的变化速率Fig.10　Evolutions of the maximum film thickness, advancing front and spreading radius

3.2.2底部电势为Φ=1+e-x2/2

施加指数形式Φ=1+e-x2/2电势时的液滴铺展过程如图11所示。液滴在铺展过程中始终保持对称状态，随t增加，hmax值迅速减小，液滴呈现由最初抛物线形状，逐渐破裂为左右两对称的子液滴、并向两侧分离的现象。

图11　液滴演化历程Fig.11　Evolutions of the droplet

电毛细力数C对液滴铺展过程的影响如图12所示。C=1时，t=10时液滴中心开始有内凹趋势；而当C=10时，t=1时就已经出现明显凹陷特征，随t的增加，凹陷特征进一步加剧，t=5时液滴已破裂为两子液滴，并向两侧运动。上述分析表明，通过改变电毛细力数可改变液滴自身状态，达到破裂液滴的作用。

图12　不同C值下液滴的演化历程Fig.12　Evolutions of the droplet under different C

图13　电毛细力数C对铺展特征量的影响Fig.13　Effects of electric caplliary number C on spreading parameters

电极间距β的影响如图14和图15。图14表明，在t=1～10时，β=3对应的hmax显著减小，且t=10时液滴中心呈凹陷特征，而β=10时的hmax则降低缓慢，且液滴外形仍呈抛物线分布；表明减小电极间距β，将增大液滴表面电荷密度，由此强化电场对液滴运动的影响。由图15可知，当β由3增至10时，最大液膜厚度hmax的变化率hmax～t-1/5减至t-1/7，铺展前沿Xf由t1/4减至t1/5，铺展半径Xd由t1/5减至t1/6；表明增大电极间距β具有减缓液滴运动的作用。

图14　不同β值下液滴的演化历程Fig.14　Evolutions of the droplet under different β

图15　电极间距β对铺展特征量的影响Fig.15　Effects of electrode distance β on spreading parameters

3.3交流电势Φ=Acos(ωt)

以上研究均为直流电作用下液滴的铺展特性，而实际中常常对液滴施加交流电以实现原油脱水、油包水乳化液分离等过程[17-20]。液滴在交流电场作用下，其与周围介质的物理属性会出现差异，导致液滴表面自由电荷再分配，进而影响液滴运动过程。

图16为不同频率下的液滴运动过程，由图可知，总体上，交流电场作用下液滴运动过程呈现明显的振荡特征。以图16(a)为例，A=100、周期T=0.628，在0

图16　液滴的振荡特性Fig.16　The oscillation characteristics of droplet

图17　最大液膜厚度演化过程Fig.17　Evolution of the maximum film thickness

改变交流电压幅值将影响液滴自由界面上的电荷密度分布，进而改变其振荡特征。图18对比了电压幅值变化对在一个周期内振荡特征的影响，参数C=3、β=10、ω=33。图18(a)表明，当A=100时，随t增加，液滴中心处衍生出明显的波峰，当一个周期结束时，液滴又恢复如初，该特征与文献[20]捕捉到的实验现象一致。图18(b)表明，将电压幅值提高至A=200时，液滴表面振荡幅度加大，并不断出现明显的液滴破裂和重组的现象。这表明提高电压幅值，将增大电毛细力数，由此电场力对液滴运动的影响越大，进而使得液滴的振荡变形程度更加突出。

图18　液滴的振荡特性Fig.18　The oscillation characteristics of droplet

4　结　论

(1) 在文中所取参数条件下，施加恒定直流电场对液滴运动的影响并不明显，仅表现在铺展前期，铺展半径变化满足Xd～t1/8，低于无电场作用时的t1/7。当施加线性电势时，液滴铺展中仍保持对称外形，但底部电势促使液滴向右偏移，速率为t1/1.5；且在铺展后期，Xf和Xd变化率分别减至t1/6和t1/11，最小液膜厚度的变化符合hmin～t1/2，表明线性电势有减缓液滴铺展、抑制液膜破断的作用。

(2) 当Φ=Acos(kx)时，液滴铺展中自由界面呈现波状形态，尤其是铺展前沿界面更为显著，增大了出现液膜破断现象的可能性；提高幅值A，液滴中心波动幅度加大，并有加剧液滴出现分裂的作用，但波数k的变化不会影响液滴的形态；hmax仍呈t-1/7变化，铺展前沿符合Xf～t1/5，铺展半径符合Xd～t1/6。

(3) 当Φ=1+e-x2/2时，液滴沿中心对称铺展，随t增加，液滴中心凹陷，逐渐破裂为两对称子液滴、并向两侧分离。提高电毛细力数C可达到破裂液滴的作用，当C=1提高至10时，hmax由t-1/7变为t-1/3，Xf由t1/5增至t1/2，Xd由t1/6增至t1/3；增大电极间距β具有减缓液滴运动的作用，当β=3增大至10时，hmax由t-1/5减至t-1/7，Xf由t1/4减至t1/5，Xd由t1/5减至t1/6。

(4) 在交流电场Φ=Acos(ωt)作用下，液滴运动作周期性振荡，液滴外形呈现“拉伸-压缩-拉伸”的扁长外形。提高交流电频率将降低液滴的变形幅度，而增大电压幅值加剧液滴表面振荡幅度，并使液滴周期性地呈现破裂或重组的特征。

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Dynamic Characteristics of Droplet in Presence of Electric Field

YE Xuemin1, ZHAO Panpan1, ZHANG Runpan2, LI Chunxi1

(1. Key Laboratory of Condition Monitoring and Control for Power Plant Equipment, North China Electric Power University, Baoding 071003, China；2. Hebei Electric Power Design & Research Institute, Shijiazhuang 050031, China)

Theoretical model was established based on the leaky dielectric model and lubrication theory to analyze the dynamic characteristics of a droplet between two electrode plates in the presence of electric field. The PDECOL code was used to perform numerical simulation and investigate the dynamic characteristics of a droplet under different types of bottom electric potential and the effects of important parameters, and the change rate of main characteristic quantity was discussed. The results show that the obvious effect of linear bottom electric potential is to promote the droplet deviation, to slow down spreading rate and to inhibit film rupture. The nonlinear electric potential leads to the wavy feature on the free interface, or the invagination of droplet center and then the droplet splits into small droplets and moves toward two sides. Increasing electric capillary force can promote the split of droplet, while expanding the distance between electrodes can slow down the droplet movement. Under the AC electric field, the droplet oscillates periodically, and presents as long flat shape; the droplet rupture or recombination can be intensified by the increase of voltage.

electric field; droplet; dynamic characteristics; spreading; oscillation

10.3969/j.ISSN.1007-2691.2016.04.15

2015-10-08.

国家自然科学基金资助项目(11202079)；河北省自然科学基金资助项目(A2015502058)；中央高校基本科研业务资助项目(13MS97).

叶学民(1973-)，男，教授，主要从事流体动力学理论及应用、强化传热传质技术等方面的研究工作。

O363; TQ021

A

1007-2691(2016)04-0094-10