具有发酵期的舆情传播与控制模型

赵俊 ，霍良安，刘霞

（1.上海交通大学 安泰经济与管理学院，上海 200030；2.上海理工大学 管理学院，上海 200093）

网络舆情是现代社交网络生活的一部分，网络舆情在互联网、社交媒介中滋生并在线上与线下传播，特别是在突发事件以及热点事件发生后，大量相关帖子在网络媒体上出现，经过网民的转载、扭曲，在极短的时间内引起大量关注，形成针对性和扩散性的网络舆情。个体通过互联网以及社交媒体获知舆情信息，在线上与线下进行传播。

由2012年网络舆情报告[1]可以看出，博客和微博的使用持续升温，作为社会舆论传播源头的地位越来越明显，个体通过新型传播载体传播信息。复杂网络理论技术的采用为人们继续研究网络舆情传播模型提供了新的思路，对于网络舆情的研究主要分为2个方向，即网络舆情传播趋势与网络舆情传播模型[2-3]。网络舆情传播趋势主要从舆情产生、传播和消亡的过程出发，对网络舆情进行研究，这种研究能够对网络舆情的挖掘、控制和研究方向提供宏观指导[2]。对于网络舆情传播模型的研究，从信息传播的角度分为两类：①有争议的意见传播模型研究[4]；②谣言传播模型的研究[5-6]。无论网络环境多么复杂多变，终究还是由人来操作的，只要理顺网络环境中的人脉关系，就可以追踪网络舆论的传播轨迹及规律[7]。而网络舆情传播规律的分析，必将为网络舆情传播模型的研究提供重要的理论基础。动力学中的细胞自动机理论也是研究舆情传播的一个重要方法，利用动力学方程找出影响网络舆情传播的关键参数及其对网络舆情传播的影响[8]。也有学者从数学模型、网络传播以及社会群体事件的相互关系出发，研究了网络舆情与群体事件的相互关系，找出了参与率与退化率对网络舆情传播的影响规律[9]。文献[10]中将博弈论引入舆情传播模型，对网络社区中的舆论传播规律进行了深入分析，研究了社区中网友对社区舆论传播的兴趣问题，文献[11]中将网络舆情分为民间舆论场与官方舆论场共同作用的结果，分析应急管理者如何通过有效的引导。随着动力学研究的深入，基于动力学的谣言传播受到越来越多的关注，借鉴经典的疾病传播模型研究舆情的传播问题，分析两者在传播过程中关于时间相关的演化过程[12-13]。个体心理行为影响突发事件中个体的行为，从心理阈值的角度，对主体行为识别过程进行建模也是研究应急管理的另一个重要板块[14-15]。也有学者将舆情传播与应急管理的交互过程进行了研究，描述舆情与应急事态发展的相互影响，提出舆情传播对应急事件的发展可能存在正的效用，为应急事件中谣言管理提供了相应的建议[16-17]。从已有的研究来看，大多是从信息传播的角度，改进基于经典的谣言等信息传播模型，考虑信息传播中的影响因素，研究其在信息传播过程中扮演的角色。

本文基于病毒传播与信息传播机理之间的相似之处，借鉴动力学的思想，探讨舆情信息的传播过程，考虑舆情在接受传播之间的发酵期，个体在接受到信息后，会有一个自己的思考过程，然后选择是否告知他接触的个体，将个体这种思考过程称为信息发酵期，而在已有关于信息传播的研究中没有考虑个体对于信息的理解与思考的过程，本文考虑具有发酵期的舆情传播问题，假设个体在获知信息后，一般不会直接变为信息传播者，需要经过一个思考与理解的过程，建立舆情传播的动力学模型，分析模型的平衡点及其全局稳定性。为了适应应急决策的动态过程，基于最优控制理论的方法，构建了社会效用最大化的控制模型，利用庞特里亚金最大值原理，进一步得出了舆情传播的动态最优控制策略。最后，基于模型推导结论和数据模拟，说明了最优控制的优势所在，提出了在应急管理中舆情的控制建议与思考，为应急管理奠定了理论基础和决策依据。

1 经典的舆情传播模型

Daley等[18]提出了谣言传播的数学模型，他们将受众按照谣言传播效果分为3类：X为易染类个体总量，相当于传染病模型中的S，个体从未听过谣言；Y为感染类个体，相当于传染病模型中的I，个体知道谣言并传播谣言；Z为移出类个体，相当于传染病模型中的R，个体知道谣言不传播谣言。疾病传播与信息扩散在传播机理上有很大的相似性，主要都是人与人之间的接触引起了传播。具体传播规律与传染病传播有相似之处，当易染个体X与感染个体Y接触时，易染个体X在单位时间内以一定的概率获知信息，变成信息传播者；当感染个体Y与移出类个体Z接触时，后者已经知道了相关信息，进而传播者失去了继续传播的兴趣，感染类个体Y以一定的概率变为移出类个体Z；传染病传播与信息传播的最大区别在于移出机制不同，信息传播是传播者的一种主观能动性的活动，传播者可以自己选择是否继续传播或不相信。如2个感染个体Y接触时，2个传播者Y有可能会觉得原来对方已经知道信息，传播信息的动力不大，进而也会失去对信息的传播兴趣。Cintrón[19]在经典的D-K 模型的基础上，提出了确定性的动力学模型，即

式中：X为易染个体数量；Y为感染个体数量；Z为移出类个体数量；N为总人口数，并满足X+Y+Z=N。根据调查显示，突发事件发生后，舆情传播主要是通过人与人之间的接触传播信息，成员接触次数称为接触率，它通常依赖于环境中总成员数N，记作C（N）。如果被接触者为易染者，就有可能被传播信息，设每次接触传染的概率为，将赋有传染概率的接触率称为有效接触率，即。它表示一个舆情传播者传染他人的能力，反映了信息传播者对于信息的辨识能力、环境条件以及舆情本身的吸引力等因素。应当注意，一般而言，总成员中除了该信息传播者外，还有其他信息传播者、信息免疫者和潜伏者，当信息传播者与这些成员接触时不会发生信息传播，只有与易染者接触时可能传播信息，而易染者X在总成员中所占比例为X/N。因此，每一信息传播者对易染者的平均有效接触率应为，它就是每一个信息传播者平均对易染者的传播率，简称传染率。从而t时刻在单位时间内被所有信息传播者中传播的新成员数为，称其为舆情传播发生率。

2 具有发酵期的舆情传播模型

在已有信息传播模型的基础上，重点探讨在舆情传播的过程中，信息的描述与实际情况有一定的出入，在获得舆情后，民众不会直接相信或者传播舆情，特别是对于网络信息，可靠性度低，在网络上获得信息后，会在网下进行传播与扩散。在这种应用背景下，考虑信息获得者在获知信息后会有一个思考过程，称为信息传播发酵期W，易染类个体X在获知舆情后首先会经历一个发酵期W，随后一部分人选择相信舆情，变为传播者；一部分不相信所谓的舆情，变为信息免疫者。

模型假设及说明：

（1）按照经典的谣言传播模型，假设信息在一个所谓的虚拟社区内传播，社区总人口为N，根据个体对于信息的认识以及传播状态将个体分为不同类：X（t）、W（t）、Y（t）、Z（t），其中：X（t）为不知道舆情的个体，W（t）为知道舆情，但是在对舆情理解辨识的个体；Y（t）为通过自己的理解选择相信并积极传播的个体；Z（t）为知道了舆情，或者通过自己的理解与辨识不相信舆情，或者由于传播失去兴趣选择不相信舆情的个体。整个虚拟社区人口总数是动态的，其中，Λ为单位时间内进入虚拟社区人数，μ为不同类型的个体移出虚拟社区比例，当时间t→∞时，虚拟社区总体人数N→Λ/μ。

（2）传染病模型与信息传播模型的最大区别在于其传播的机理不同，对于舆情或者说谣言的传播，区别于疾病传播在于，信息传播受个体主观性影响更为明显，个体差异、掌握信息量的多少以及所处环境等都是信息传播的影响因素。特别是在面对网路的海量信息时，个体在获知信息后会有自己的一个理解过程，有一部分人选择相信舆情并积极传播信息，也有部分人不相信谣言甚至会主动辟谣。所以本项目结合传染病的传播动态理论，拓展了经典的谣言传播模型，考虑从获知舆情到传播的过程，个体会经历一个思考的状态，称为发酵期状态，即个体理解信息的过程，选择是否继续传播舆情的阶段。

当未知舆情个体X与舆情传播者Y接触后，获知舆情，由于个体自身有一个思考过程，称为发酵期，在发酵期内的个体对于舆情将信将疑，有可能相信舆情，积极传播舆情，进入传播类个体Y的行列，成为舆情传播者。即个体X不会立即相信或不相信舆情，成为潜伏状态个体W，其中β0为传播概率；个体经历了自己的理解与思考；另一种可能就是不相信舆情，进入免疫类个体Z的行列，成为舆情免疫者。对于发酵期内的个体，一部分人直接移出了系统，另一部分人选择相信或不相信舆情，其中相信不实信息的比例为θ，成为舆情的传播者；对于选择相信舆情的个体Y继续扩散舆情，当Y遇到的个体还未获知舆情，Y将传播舆情；当Y遇到的个体已经获知舆情，Y随之对于传播失去兴趣，不再传播舆情，特别是2个传播者相遇时，同时选择不再传播舆情。具体动态过程如图1所示。

图1 舆情传播示意图

按照系统动力学的思想建立微分方程数学模型：

式中：Λ为移入率，个体以恒定的比率进入特定的虚拟社区；β0为易染个体X与传播者Y接触，接受并传播的概率；β0XY/N为单位时间内一部分易染者接收到舆情传播者Y的信息，对于舆情将信将疑，进入到发酵期W的人群，实际上是舆情传播的发生率；β0也称为传播率系数；μ为移出率，每一类个体由于某种原因移出该类人群；α0为离开发酵期个体的比率；α0W为将信将疑人群W变为舆情传播者或信息免疫者Z的转化率。其中，一部分人选择相信舆情变为信息传播者，假设变为舆情传播者的比例为θ；另一部分个体不相信舆情，变为舆情免疫者，假设变为舆情免疫者的比例为1-θ；λ0为舆情传播者Y与免疫者Z相遇，传播者失去继续传播动力的概率；为单位时间内舆情传播者Y与免疫者Z相遇后，由于对方已知所谓的信息，舆情传播者Y失去继续传播舆情的动力，是舆情免疫的发生率；λ0也称为传播率系数；另一种免疫发生在2个舆情传播者Y相遇后，彼此都向对方传播信息，但是对方已知舆情，进而双方同时失去继续传播的动力，变为舆情免疫者，为了模型处理方便，本文假设个体对于这两种情况免疫的发生率均为λ0。

不失一般性，假设所有参数Λ、β0、μ、α0、λ0等均为非负变量，参数0≤θ≤1。总人口N满足方程：

考虑到模型式（1）的实际意义，只需在可行域

令式（4）中3个方程的右边等于0，可得：

由式（5）～（7），可得：

按照动力学相关性质，在t→∞时对于微分方程的求解，为简化方程，重点考虑系统的极限解，即式（4）的稳定点。式（4）与式（3）实际上是同构的，分析式（5）的相关性质，即为对式（3）的分析。t→∞时，虚拟社区总体人数N→Λ/μ，则式（4）的平衡点P0=（1，0，0），若

除了平衡点P0，系统还存在另一个非负平衡点P*，P*=（x*，w*，y*），其中：

3 最优控制模型

基于前一节的分析，仅探讨舆情在t→∞时的演化状态对于应急管理而言是不够的，需要进一步分析舆情的最优控制策略。本节将基于最优控制理论和数据模拟的方法进一步扩展模型。应急事件发生后，官方媒体会有大量的报道进行舆情澄清，帮助民众了解事实真相，减少由于舆情带来的恐慌，或者衍生新的应急事件。在日常，政府也会将一般的科普知识尽量广泛传播，提高民众对于舆情的辨识能力，在遇到将信将疑的舆情信息时，如何辨识真假。

在实际模型中，选取参数uη（η=（1-θ）），uγ分别为科普教育和官方报道影响的控制变量，进而，模型式（3）可重新写为

最优控制的目的是尽量减少由于舆情传播带来的负面影响，最大化正的社会效用。本文选取三方面来考虑舆情传播的社会效用问题：①尽量使易染个体X和免疫个体Z的数量最大；②尽量使舆情传播者Y的数量最小；③尽量使过程中对变量控制产生的费用最小。

构造目标函数：

式中：B0、B1、B2分别为非感染类人群、感染类人群及过程控制的权重系数，也可以视为在时间T内，不同变量之间的平衡系数，将所有的社会效用转化为以费用为目标的函数；uη=uγ=1分别为最大化科普教育和媒体报道的强度，使其对系统的影响最大；、分别为科普教育和媒体报道所产生的费用。

为控制集；uθ、um为可测变量，时间t∈[t0，tf]。

根据最优控制解存在性的结论[20]，定理1论证了最优控制解的存在性问题。

定理1在式（8）的限制条件下，式（9）存在最优控制，即

证明为证明定理的结论，按照Fleming等[20]，式（9）存在最优控制，必须满足以下性质：

（1）控制集合U相关变量集合非空。

（2）控制集合U是凸性的闭集。

（3）式（8）的解的上界是线性函数。

（4）式（9）的积分在控制集合U是凹函数，c2-c1（|uη|k+|uγ|k）为积分函数的上界，其中，c2＞0，c1＞0，k＞1。

根据Lukes[21]中的定理9.2.1，式（8）边界上的点在控制集合内；由定义可知，控制集合U是凸性的闭集；由定理1 可知，式（8）的解有上确界，条件（3）满足；目标函数中

在控制集合U上是凹函数，存在系数c2＞0，c1＞0，k＞1，使得

定理1证明了maxW（uη，uγ）在式（9）限制条件下的最优控制存在性问题，本文利用庞特里亚金最大值原理探讨最优控制的必要条件。

庞特里亚金最大值原理需要利用辅助函数探讨最优值问题，本文以微分方程式（8）作为目标函数W（uη，uγ）的约束条件，在探讨最优控制存在性后，利用庞特里亚金最大值求解微分方程的辅助变量，相应的有界性条件以及控制变量uη、uγ的性质。

构造拉格朗日函数：

式中，惩罚乘子ω11（t）＞0，ω12（t）＞0。在时，满足

在t=tf时，ρi（tf）=0，i=1，2，3；为了求解拉格朗日函数的最大值，函数L分别对控制变量uη、uγ求偏导数，即

分别让∂L/∂uη=0，∂L/∂uγ=0，进一步求解最优控制变量uη、uγ。以下用特例说明最优控制的求解。

情形1最优值。

由于ω12（t）≥0，故

由于ω11（t）≥0，故

情形2最优值。

由于ω22（t）≥0，故

由于ω21（t）≥0，故

最优控制系统实际上是由式（8）、（9）、初始条件以及横截条件共同构成的。其中，分别由式（14）、（15）给出；初始条件：x（0）=x0，w（0）=w0，y（0）=y0，z（0）=z0；ρi（tf）=0，i=1，2，3；显然，微分方程系统满足利普希茨条件，进而得到唯一的最优控制变量。

4 算例与数据模拟

如图2所示，分别在4种情形下对系统进行仿真模拟：①uη=1，uγ=0；②uη≠1，uγ=0；③uη=1，uγ≠0；④uη≠1，uγ≠0。由模拟结果得出：

（1）动态的最优控制是有效的。由舆情传播者y的变化来看，无论涉及哪种控制都比没有任何控制的情形①要好，如果不涉及任何控制，舆情传播者y峰值将达到月总数的80%，这与经典文献研究结果有相同之处；一旦涉及最优控制，舆情传播者y峰值急剧下降，表明在涉及最优控制时舆情影响范围变小，而且舆情更容易得到控制。由控制效果来看，显然，当同时实施两种控制方案时效果最佳，即在uη≠1，uγ≠0的情形下，舆情的肆意扩散大约在5天得到控制；而且最终获知舆情，但是个体本身又有免疫的人群体比例明显上升，如图2（c）所示。

（2）应急管理初期媒体报道作用明显。在应急管理初期，民众对于信息的渴求异于平常，给舆情传播创造了空间，此时只有媒体及时报道，将突发事件的真实状况告知民众，而不是无所作为，甚至是隐瞒事实真相。以日本大地震为例，纷传“盐荒”舆情在媒体的干预下很快成为了一场“谣盐”闹剧。政府的科学普及使得民众对于舆情有自己的认识和理解，进而虚假信息的影响相对较小，一部分人能够从中辨识信息，所以舆情传播的波及范围相对较小，传播的峰值也相应滞后于没有涉及控制时的情形。由此可见，突发事件媒体报道使得信息公开是舆情控制的关键，以日本大地震为例，信息公开不及时是大地震舆情泛滥最主要的原因，平时对于核知识的积累欠缺，自然会感到恐慌，相信舆情。

图2 系统中变量随时间演化图

曾发生在河南杞县的“钴60泄漏”的传谣事件引发的巨大效应，造成的恐慌，信息公开的不及时是重要原因。放射物污染当然可怕，然而比污染更加可怕的是信息的不对称，人们只能生活在污染不知何时出现的恐惧中。长期以来，在突发事件发生后，保持沉默、回避媒体已成为一些基层党委政府条件反射似的“自觉行为”。但在传播手段多样化、传播对象大众化的情况下，这种紧要关头的“失语”必然丧失引导舆论的主动权，给舆情传播留出了时间和空间，增大了处置公共事件的难度。如日本福岛核事故中，日本官方媒体就被指出有多次瞒报事故和修改数据的劣迹，这对国民的信任无疑是致命的伤害。

5 结论

由数据模拟来看，当突发事件发生后，各种舆情肆意传播与扩散，易染者x的比例迅速下降，舆情传播者y的比例迅速上升，达到一个最大值。这段时间内是舆情和谣言等信息爆发的一个重要时期，最大的一个原因是突发事件发生后，人们由于对实际情况的不了解，很容易相信各种小道消息等舆情来填补信息的空白，很多人更是恶意传播舆情，人为地造成混乱和衍生灾害。或者从网络上获得信息后不管真实与否，在实际中扮演着传播者的角色。随着应急救援的进一步深入，政府作为应急管理者对应急事件采取的一系列应急措施，对于信息的进一步透明化，舆情逐渐失去了传播空间，舆情传播者比例逐渐趋向0；反之，如果应急处理不当，特别是对于信息的处理不当，虽然经过了舆情传播的峰值，舆情逐渐减少，但是舆情始终在系统中长期存在，并与各种状态的人群并存。

由研究的结果来看，突发事件发生后，为了控制舆情，仅仅是静态的决策与控制是不够的，必须根据应急的实际情况，动态调整应急决策，本文引入了科普知识控制变量uη≠1，提高国民素质，使其对于舆情有一种自身的免疫力，不轻易相信或者散布舆情；对舆情传播者进行教育，使其认识事实真相，相信科学。引入政府媒体传播控制变量uγ≠0，在应急事件发生后，及时公布应急信息，澄清模糊信息，引导公众舆论导向。