时间策略下零担货物运输合作费用分配机制

曾银莲，李军

（1.香港中文大学 系统工程与工程管理系，沙田 香港；2.西南交通大学 经济管理学院，成都 610031）

随着人力资源成本的不断增加，企业降低运输成本的压力越来越大。对于零担货物运输，企业可以采用合并运输策略将随机到达的几个小订单合并为一次运输，降低运输成本，提高车辆的利用率，从而提高整体的竞争力[1]。例如，汽车组装商可将随机到达仓储中心的不同供应商零部件进行合并运输至组装工厂[2]。当然，使用合并运输策略会使运输提前期延长，因此，并不是每种产品或每个承运人都适合使用合并运输策略[1]。如对于易腐性产品及为just-in-time生产商运输原材料的零担运输承运人，这种策略并不适合。这种策略适合于对运输提前期要求不高及不具有易腐性的产品。对于这些产品，当随着运输量的增加单位运输成本不会明显增加时，通过合并运输可为每笔订单节约多达50%的运输成本[3]。同时，通过合并运输还能减少对环境的碳排放量，降低对环境的损害[4]。

虽然单个企业通过合并自己的运输订单可降低成本，但当单个企业的需求较小，即企业订单的平均到达率较小时，合并运输时运输提前期会较大，此时客户的服务水平会较低。为了能在降低成本的同时保证客户服务水平，越来越多的企业寻求与其他企业进行合作运输。国外已出现专门提供合作运输平台的 公 司，如 Nistevo（现 已 被IBM 收 购），Transplace等，企业通过在这些平台上实现合作来提高车辆利用率及客户服务水平[5]。文献[6]中指出，零担货运人之间的合作可以更好地实现协同效益（如充分利用车辆资源、需求的规模经济），降低运输成本和运输提前期，提高资源的利用率，提高总体的服务水平。

注意在这里提到了2个概念：合并运输与合作运输。合并运输是指企业将随机到达的几个小订单合并为一个大订单的一种运输策略，其对象是运输订单，可以理解为战术层面上的概念；合作运输则是指不同企业之间进行运输合作，其对象是企业，可以理解为战略层面上的概念。当企业单独进行运输时，合并运输策略合并的只是自己的运输订单；当企业之间进行合作运输时，合并运输策略合并的是所有参与合作的企业的运输订单。使用合并运输策略的企业可以通过合作运输将自己的订单与其他企业的订单进行合并运输，更好地发挥合并运输的优势，达到需求的规模经济效益，在降低成本的同时保证客户的服务水平。如从同一供应商处购买标准零部件（如轴承、紧固件及连结件等）的不同汽车组装商（在同一汽车工业园区或距离较近）之间可以进行合作运输，将自己的运输订单与其他企业的运输订单进行合并运输来降低成本。

与本文相关的研究主要包括两方面：①关于合并运输策略的研究；②关于合作运输费用分配的研究。合并运输策略方面，Cetinkaya等[2]利用更新理论对时间策略和数量策略下的合并运输进行了研究，并分别给出了在这两种策略下，订单到达率及每笔订单的需求量满足泊松分布时的最优时间周期T和最优运输量w的表现形式。Higgnson等[3]运用马尔科夫决策过程对最优合并运输策略的存在性进行了分析，但没有给出最优策略的一般表达形式。另外，还有一部分文献利用仿真方法来分析合并运输的最优策略[7-8]。目前，关于合作运输费用分配的研究对整车合作运输关注较多[9-11]。对于零担运输合作，Dai等[12-13]分别研究了零担运输承运人通过拍卖机制进行合作和零担运输承运人合作优化问题以及费用分配问题。Liu等[14]针对零担运输承运人合作提出了一种 WRSM （Weighted Relative Savings Model）费用分配机制。李军等[15]对易腐品零担运输合作的设施选择进行了研究。Hernández等[16]研究了在参与合作的资源是动态的情况下零担运输合作的优化算法。Krajewska等[17]以夏普利值作为零担运输承运人合作的费用分配方案。Yilmaz等[18]分析了随机需求环境下，零担运输托运人之间的合作，将该问题模型化为马尔科夫决策过程，并讨论了托运人合作的费用分配方案。但是，目前还很少有研究考虑合并运输策略下的合作运输费用分配问题，同时，目前关于合作运输的研究也没有考虑不完全信息情况下的费用分配机制设计。

合并运输主要有3种策略：基于时间的合并运输策略（以下简称时间策略）；基于数量的合并运输策略（以下简称数量策略）以及基于时间和数量的合并运输策略（以下简称时间数量策略）[19]。时间策略是指承运人预先设定一个时间运输周期T，每隔时间T合并一次运输订单；数量策略是指承运人预先设定一个运输量临界点w，当随机到达的订单总运输量首次超过该临界点时合并订单进行运输；时间数量策略是指预先设定一个时间周期T和运输量临界点w，当订单总运输量超过临界点或订单最长等待时间达到T时，合并订单进行运输。本文基于时间策略考虑企业的合作运输，分别讨论在完全信息条件下和不完全信息条件下基于时间策略的合作运输费用分配问题，对其他两种策略下的合作运输问题将在未来的研究中进行讨论。

1 问题定义

考虑某个区域（如汽车工业园区）有N=｛1，2，…，n｝个企业，对于企业i∈N，设其运输需求订单满足均值为λi的泊松分布，且每笔订单的运输量满足均值为μi的泊松分布。运输订单到达满足泊松分布的假设在文献中很常见，如文献[3，18]；订单运输量满足泊松分布的假设见文献[2]。

基于时间的合并运输策略与运作管理中EOQ模型的周期补货策略类似，关键问题就是要确定最优运输周期T，使得单位时间库存持有成本与运输成本之和最小。若企业进行单独运输，其在一个周期内的成本包括运输成本和库存持有成本。设KD和KO分别为每次运输的固定成本和每笔运输订单的处理成本，c为每单位运输量的变动成本，hi为企业i∈N单位时间单位运输量货物的库存持有成本。企业i∈N的目标是决定运输周期Ti，使得总期望成本最小。根据文献[2]中的研究，利用更新理论可得在时间策略下，企业i∈N在一个周期内的期望总运输成本为

其期望总库存持有成本为

故企业i∈N单独运输时的单位时间总期望成本为

根据式（3）的一阶条件，可得

将式（4）代入式（3），可得企业i∈N单独运输时的单位时间最优总期望成本为

2 完全信息下零担运输合作费用分配

本节考虑完全信息情况下（即此时各企业的参数都是公共信息）基于时间策略的零担运输合作费用分配问题。在这种情况下主要关注2 个问题：①企业是否应该合作，即合作能否带来好处？②如果合作是有益的，合作后产生的总费用应该如何分配才能保证联盟的稳定性？ 要回答这2 个问题，本文应用合作博弈理论，将时间策略下的零担运输合作问题构造为时间策略下的合作运输博弈。首先介绍合作博弈的基本概念。

2.1 合作博弈基础

一个合作博弈可以定义为一个二元组（N，c），其中，N=｛1，2，…，n｝为n个承运人的集合，称为全联盟。函数c：2N→R为分派给任意非空联盟S⊆N的特征函数，且c（∅）=0。如果对于博弈（N，c），对任意的S，R⊆N，S∩R=∅，有c（S）+c（R）≥c（S∪R），则博弈（N，c）满足次加性。博弈满足次加性时表示合作是有益的，可以带来成本的节约。博弈（N，c）的核心定义：

核心是所有满足预算平衡性和稳定性的费用分配方案的集合，它是合作博弈中最重要的解概念。当核心非空时，博弈满足平衡性；在核心中的费用分配方案下，没有参与者愿意脱离大联盟单干或组成小联盟，也即大联盟是稳定的[20]。博弈（N，c）是凹博弈，若其满足对任意的

凹博弈具有一些好的性质，如核心非空、边际向量是核心的极点、核心是边际向量的凸组合及夏普利值是核心极点的重心；稳定集、讨价还价集与核心重合以及内核与核仁重合[20-21]。

2.2 时间策略下的零担货物运输合作博弈

对于任意的企业集合S⊆N，当它们进行合作运输时，由于泊松分布之和仍然是泊松分布，故合作后总订单到达率满足参数为Σi∈Sλi的泊松分布。在使用时间策略的情况下，它们共同决定服务周期TS，使得总期望成本最小。类似文献[2]中的研究，利用更新理论可得在时间策略下，企业集合S在一个周期内的期望总运输成本为

其期望总库存持有成本为

故企业S合作运输时的单位时间总期望成本为

将式（9）代入式（8），可得企业S合作运输时的单位时间最优总期望成本为

定义1时间策略下合作运输博弈可以定义为二元组（N，c），其中，N=｛1，2，…，n｝为企业集合，特征函数c定义为c（∅）=0，对任意的非空集合S⊆N，

命题1时间策略下合作运输博弈（N，c）满足次加性，即对任意的S，R⊆N，S∩R=∅，有

c（S）+c（R）≥c（S∪R）

证明由式（11）知，

从而有

从而可得c（S）+c（R）-c（S∪R）≥0。 证毕

（N，c）具有次加性意味着“整体小于部分之和”，即合作是有益的，合作可以带来成本的节约。由（N，c）的次可加性可知，对大联盟的任意划分｛S1，S2，…，Sk｝，有。特别地，，也即合作运输时的联盟总期望费用少于各企业独立运输时的期望费用之和，各企业之间应该合作。

命题2时间策略下合作运输博弈（N，c）是凹博弈，即对任意的S⊆R⊆N｛l｝，有

证明由式（11）可知，

令函数

其一阶导数

故f（x）为在（0，+∞）上的减函数。由于对任意的

时间策略下合作运输博弈（N，c）的凹性意味着企业对某个联盟的边际费用随着联盟规模的增大而减小，即任意一个企业或联盟加入另一不相连联盟的动机随着联盟成员的增多而增大，对单个参与者具有滚雪球效应，对一个联盟具有从众效应[21]。另外，由命题2还可得如下推论：

推论1时间策略下的合作运输博弈（N，c）满足平衡性，其核心非空。

2.3 核心中的一个费用分配方案

核心非空说明存在使得大联盟稳定的费用分配方案。由于时间策略下的合作运输博弈（N，c）是凹博弈，故其夏普利值、内核和核仁等经典的费用分配解都在核心中[21]。但是，当联盟的参与人增加时，这些解的计算复杂度成指数增加。因此，本文提出一个即在核心中又直观且便于计算的比例分配解。

命题3令

i∈N，则β=（β1，β2，…，βn）∈core（c），即该分配方案属于时间策略下的合作运输博弈（N，c）的核心。

证明首先，很显然，Σi∈Nβi=c（N），其满足预算平衡性。另外，对于任意的S⊆N，

故β又满足稳定性。 证毕

由于β在时间策略下的合作运输博弈的核心中，故在该分配方案下，大联盟是稳定的，没有企业愿意脱离大联盟单干或组成小联盟。而且该分配方案按照各企业单位时间的库存成本比例进行成本分配，订单到达率越大，或每笔订单的运输量越大以及单位库存成本越大的企业，其分配的成本也越大，这样不仅直观、易于理解，又反映了公平性，因此，在实际应用中具有可行性。

3 不完全信息下零担运输合作的费用分配

本节考虑不完全信息情况下（即企业的某些信息为私有信息）基于时间策略的零担运输合作费用分配问题。具体地，假设各企业运输订单的平均到达率λi和每笔订单的平均运输量μi依然是公共信息，但其库存成本hi为私有信息。该假设的合理性体现在企业订单到达率以及每笔订单的运输量一般能被第三方验证，因此可以视为公共信息；但其库存成本一般不能够被第三方验证，因此可视为私有信息。在完全信息情况下，本文主要关注费用分配方案是否在其相应合作博弈的核心中；与完全信息情况下不同，在不完全信息情况下，本文主要关注能够让各企业“讲真话”即满足激励相容性和个体理性的费用分配机制。

首先分析上节定义的费用分配方案β是否满足激励相容性。由β的定义可以看出，企业i所承担的费用与其私有信息hi有关，且是关于hi的增函数。因此，在该费用分配方案下，各企业有动力提供虚假信息，从而其不满足激励相容性。

推论2给定费用分配方案β，各企业没有动力“讲真话”，即该费用分配方案不满足激励相容性。

下面设计能够使各企业“讲真话”即满足激励相容性的费用分配机制。首先假设存在一个第三方（可以是第三方物流供应商也可以是供应商，以下简称3P）对各企业的合作进行协调。符号介绍：令表示企业i∈N向3P提供的信息（有可能为虚假信息）；表示除企业i之外其他企业向3P提供的信息；3P根据各企业提供的信息确定最优运输周期；令表示3P优化选择后，企业i∈N表面上的单位时间库存成本，即

合作过程的事件顺序：

（3）3P在各企业之间进行成本转移，转移给托运人的成本为

命题4给定费用分配方案γ，对于任意的企业i∈N，“讲真话”是其占优策略，即

也即费用分配方案γ满足激励相容性。

证明由 于的取值与无关，故在γ费用分配方案下，企业i要使其所分配的费用γi最小即要向3P提供适当的私有信息，使

最小，由式（9）知，该式取最小值时，

而该最优解只有在企业i讲真话即时才有可能达到，因此，。 证毕

γ费用分配机制的思想是让各企业分担的费用与总费用正相关，使个体利益与集体利益一致，从而让各企业有动力“讲真话”，这类费用分配机制也被称为Groves机制[22-23]。由于γ费用分配机制满足激励相容性，故其也可以写为如下形式：

现考虑如何构造函数pi（h-i），使得γ满足预算平衡性，即

由式（11）知，

式中，f＇、f″分别为的一阶和二阶导数。对于a点的选择，在3P已知hi的分布或范围时，如已知对于任意的i∈N，3P 可以选择，此时式（16）的近似效果很好，即预算覆盖率较高。通过对进行拆分得到如下命题：

命题5当n＞2时，存在函数pi（h-i），使得费用分配机制γ满足近似预算平衡性，此时的费用分配方案称为，即，且此时函数

当n=2时，不存在这种函数，使得γ满足近似预算平衡性。

证明要构造函数pi（h-i），使其满足

其他部分很显然。

当n=2时，根据式（18）可知，构造函数需满足

对式（19）两边对h1求导，可得

因此，由式（20）可以看出，函数

由式（21）可以看出，函数q2（h1）与h2有关，这与q2（h1）的定义相矛盾，因此，在n=2时不存在这种函数，使得费用分配方案γ满足近似预算平衡性，即不存在同时满足激励相容性与近似预算平衡性的分配方案。当n＞2时，有

机制设计中另一个重要的性质是个体理性，即对于每一个参与者而言，其合作后所分担的成本要小于其单独运输时的成本。要直接证明费用分配机制是否满足个体理性比较困难，本文将在下节的仿真分析中对其该性质进行分析。

一个满足个体理性的费用分配机制是令pi（h-i）=c（N-i），其中c（N-i）为除i之外其他企业合作时产生的最优总成本，称此时的费用分配方案为，即

命题6费用分配方案满足激励相容性与个体理性。

证明激励相容性可以从命题4得到。因为博弈（N，c）满足次加性，所以，有c（N）≤c（N-i）+c（｛i｝），即c（N）-c（N-i）≤c（｛i｝），故其满足个体理性。 证毕

但该分配方案不一定满足预算平衡性（如仿真分析中所示），事实上，在机制设计中，很多情况下都不存在同时满足激励相容性、预算平衡性和个体理性的费用分配机制[24-25]。

4 仿真分析

利用Matlab仿真来分析合作带来的成本节约及费用分配机制（以下简称机制1）和费用分配机制（以下简称机制2）的效率。在仿真分析中，考虑企业个数n=3～10，对每一个n，随机产生104个算例，其中，相关参数分别根据λi∈[0.2，0.8]（单位：个/天），hi∈[400，700]（单位：¥/（t˙d）），μi∈[2，6]（单位：t），KD∈[1 000，2 000]（单位：¥）的均匀分布产生，对于每个算例取在点a=700Σi∈Nλiμi，对进行泰勒展开并取前3项。仿真首先分析成本节约的平均比例即计算

的平均值；对于机制1，从两方面来分析其效率：①是否满足个体理性；②在多大程度上覆盖了总预算。对于机制2，由于已经证明其满足个体理性，故主要考察其在多大程度上覆盖了预算。利用Matlab软件进行仿真分析的结果如表1所示。

表1 仿真分析结果

通过表1可以发现：

（1）企业之间通过合作运输可以节约高达将近70%的成本，因此合作是非常有利的，各企业应该积极寻求机会与其他企业进行合作运输来降低运输成本，从而提高竞争力。

5 结语

零担合作运输的一个核心问题就是产生的总费用应该如何在参与者之间进行公平地分配。本文分别考虑完全信息和不完全信息情况下基于时间策略的零担运输合作的费用分配问题。对于完全信息情况下的零担运输合作，利用合作博弈理论将其构造成时间策略下的零担运输合作博弈。首先证明了相应的合作博弈满足次加性，说明合作是有益的；然后证明了相应的博弈满足凹性，表明博弈的核心非空，并设计了属于博弈核心中的分配方案。对于不完全信息情况下的零担运输合作，利用机制设计理论设计能够使各企业“讲真话”（即满足激励相容性）的费用分配机制，同时在激励相容机制的基础上，设计满足个体理性和近似预算平衡性的费用分配机制。最后，本文通过仿真分析验证了合作能够带来成本的节约，同时验证了在不完全信息下本文提出的费用分配机制不仅满足激励相容性，同时满足个体理性以及几乎满足预算平衡性，说明该机制在现实生活中具有参考价值。

另外，本文考虑的是时间策略下的零担运输合作费用分配问题，在未来的研究中可以进一步考虑数量策略下和时间-数量策略下零担运输合作的费用分配问题。同时，考虑具有价格折扣的零担运输合作费用分配也是未来进一步研究的方向。合作联盟是一个复杂的系统，其状态会动态演变[26]，更进一步，可以从动态的角度来分析合作联明斩均衡状态以及不同费用分配方案对联盟均衡状态的影响。