一类带时滞的非线性兰彻斯特战斗模型的分析*

谢英超，王　鹏，田宗浩

（陆军军官学院，合肥　230031）

一类带时滞的非线性兰彻斯特战斗模型的分析*

谢英超，王鹏，田宗浩

（陆军军官学院，合肥230031）

基于非线性兰彻斯特方程的一般形式和现代战争的特点，考虑到时间因素在现代战争中的巨大作用，建立并讨论了一类带时滞的非线性兰彻斯特战斗模型。通过定性分析，得到了模型的平衡点及其稳定性，证明了原模型解的存在唯一性，并给出了解的存在区域。战例分析结果表明该模型能用来描述现代战争。因此，该模型对研究现代战争的战斗进程、武器发展规划、现代军事练兵等都具有一定的参考价值。

现代战争，兰彻斯特战斗模型，非线性，时滞

0　引言

战争是一类典型的复杂巨系统［1］，要拨开战争迷雾，揭示出战争的内在规律，为打赢未来战争做准备，就必须深入研究战争系统的复杂特性。而找到相应的方法和手段是认识和掌握战争系统复杂特性的关键。作战模拟就是这样一种能对现实战争进行有效研究的方法与手段，尤其是在现在相对和平的时代，作战模拟已成为研究战争的重点发展方向［2］。而兰彻斯特战斗模型以其便于分析，适用于各种规模的作战模拟，并能对战场态势进行动态地定量描述等独特优点，成为作战模拟中应用最为广泛的方法之一［3］。

针对现代战争的特点与规律，许多专家学者在经典兰彻斯特方程的基础上，提出了多种形式的战斗模型。文献［4-6］从不同角度改进了兰彻斯特方程，分别建立了更适合描述现代战争特点和规律的战斗模型。然而，它们都忽略了时间因素对战斗进程的影响。随着大量高技术武器列装部队，武器系统杀伤力的极大提高，时间因素在现代战争要素中起着越来越重要的作用。时间因素已不容忽略，因为即使较短的反应滞后也可能遭到严重打击，导致战斗力急速下降。基于非线性兰彻斯特方程的一般形式和现代战争的特点，并考虑到时滞因素在现代战争中的巨大作用，本文建立并研究了一类带时滞的非线性兰彻斯特战斗模型。

1　带时滞的非线性兰彻斯特战斗模型的建立

近年来，随着以信息技术为核心的高新技术的迅猛发展，战争形态在不断地实现着由机械化时代向信息化时代的历史转变［7］。现代战争已由过去的单一武器、单一兵种的对抗发展成为作战体系与作战体系之间的攻防对抗［8］，作战空间也已从传统的物理域逐渐扩大到电磁域、信息域、认知域和社会域等［9］。从而，模拟现代战争需要考虑的各种作战因素在不断增加，导致非线性兰彻斯特方程的出现。

将交战双方分别称为红方、蓝方，则非线性兰彻斯特方程的一般形式［10］为：

式中：x（t）、y（t）分别为t时刻红、蓝方的兵力；f、g分别为红、蓝方的作战效能函数；δ、σ分别为红、蓝方的非战斗减员率；p（t）、q（t）分别为红、蓝方作战力量的增援速率。

假设红方的信息化程度更高、武器装备性能更佳、作战人员素质更高，在战场上始终占据着制信息权，这体现在兰彻斯特方程上是蓝方的损耗变化率前会出现正的无量纲小参数ε。并且，红方对蓝方发动主动突然袭击，蓝方在受到打击后个时间单位组织起有效反击，也称为蓝方的战斗反应时间。考虑到双方作战效能的较大差异与战斗反应时间，建立反映现代战争特点和规律的带时滞的非线性兰彻斯特战斗模型如下：

为便于后文的分析与研究，不考虑双方的增援和相对影响较小的非战斗减员，则式（2）变为如下形式：

式（3）描述了红方占据制信息权并取得战斗先机的双方战斗动态变化过程。为方便讨论，假定式（3）满足如下初始条件：

式中：φ（t）为连续可微的函数，为红方初始兵力集，y0为蓝方初始兵力。为后文讨论的简便，记，即x0为红方初始兵力集中的最大值。

为研究问题的方便，特作如下假设：

假设条件［H］说明：双方各自的作战效能函数，当己方无作战力量时取值为零，且随着己方作战力量增加而增加，这是符合军事学意义和实际情况的。

2　模型的定性分析

考虑到问题研究的实际意义，有

定义战斗截止时间为交战双方中有一方作战力量先消耗殆尽时所需的时间，记为T，则有

由假设条件［H］的第1、第2个条件可得，当时，有

令I=［0，T］，由式（3）、式（5）及式（6）结合初始条件式（4）可得，当t∈I时，有

从而，本文将仅在区域Ω内研究初始值式（3）～式（4）。

定理1在假设条件［H］下，初始值式（3）～式（4）在区间I=［0，T］上存在唯一的解（x（t），y（t）），且有（x（t），y（t））∈Ω。

证明 假设初始值式（3）～式（4）在区间I=［0，T］上存在解（x（t），y（t）），则由上述分析可得，（t，x（t），y（t））∈Ω，从而，定理1只要证明原问题解的存在唯一性。结合作战效能函数f、g的光滑性和不等式（7），由时滞微分方程解的局部存在唯一性定理与解的延展定理［11］可得，初始值式（3）～式（4）在区间I=［0，T］上存在唯一解。证毕。

在一定条件下，定理1证明了初始值式（3）～式（4），问题解的存在唯一性，并给出了解的存在区域，为下一步仿真分析求解模型的数值解作好了准备。

3　战例分析

假定战斗背景如下：红方的信息化程度高于蓝方，且军事人员素质和武器装备等优于蓝方，并且红方发起主动攻击，重点打击蓝方作战的体系核心目标，蓝方在经过一定时间后组织起有效反击，双方都有正规部队和游击队。依据战斗背景，不考虑增援和忽略微乎其微的非战斗减员，建立带时滞的非线性兰彻斯特战斗模型如下：

式中x（t）、y（t）分别为第t天红、蓝方的兵力。容易验证，双方的作战效能函数满足假设条件［H］，故式（8）～式（9）存在唯一解。为对式（8）～式（9）进行仿真分析与研究，假定模型参数取值如表1，其中小参数ε的取值与双方的信息化程度、武器装备系统先进程度、作战人员素质高低、战场先机取得方的打击效果等因素密切相关。

表1　模型式（8）的参数描述

模型式（8）～式（9）是依赖于小参数的非线性时滞微分方程初始值问题，其解析解难以求得，故采用隐式Runge-Kutta法求其数值解。图1是ε=0.01时的双方兵力变化。由图1可见，红方虽然初始作战力量处于劣势，在占据制信息权、武器系统杀伤力大和取得战场先机的情况下，仅以不到300人的伤亡就取得了战争胜利，战斗截止时间为T1=10.8 d，体现了现代战争的作战节奏强度高、战斗进程加快、破坏程度更大的特点。

图1　ε=0.01时的双方兵力变化

图2　ε=0.05且无时滞时的双方兵力变化

图3　蓝方初始兵力增加一倍时的双方兵力变化

假设红方未发起主动突然袭击，作战开始时蓝方作战体系完整，则小参数ε要增大，假定其增大到原来的5倍，此时双方兵力变化如图2。分析图2可得，红方要以约600人的伤亡才能消灭蓝方，战斗截止时间延长为T2=60.1 d。比较图1与图2可得，若红方未取得战场先机，战斗持续时间会增长，红方的伤亡也会更大。由此可得，时间因素在现代战争中的作用越来越大，掌握先机能加速战斗进程，削弱敌方的作战效能，从而更好地保存自己、消灭敌人。

假设蓝方为取得胜利，初始兵力增加到原来的两倍，此时双方兵力变化如图3所示。由图3可见，红方要以将近1 200人的伤亡才能消灭蓝方，战斗截止时间延长为T3=22.3 d。比较图1与图3可得，当蓝方兵力增加一倍时，蓝方虽然延缓了失败，并给红方造成了更大的伤亡，但依然不能取得战争的胜利。由此可得，所谓的“人海战术”在现代战争中能取得的实效并不大，而且增加大量伤亡，是与“低耗高效”的战略目标相违背的。进一步对模型进行仿真分析可得，蓝方要想通过增加兵力真正达到取得战争胜利的目的，就必须投入约为原来4.5倍的兵力，即5倍于红方的兵力，并且蓝方要损失惨重才能将红方消灭，这其实很难实现，也是不可取的。蓝方唯有不断推进部队信息化建设，加强高素质军事人才的培养，才能在现代战争中占据一席之地。由图1～图3可见，所得结果与定性分析一致，从而证实了模型定性分析的正确性。综合比较图1～图3可得，在现代战争中，提高部队信息化程度尤为重要。在现在相对和平的时代，对潜在的威胁要加强监视与侦察，并不断深化快速反应部队的建设，防护好自身作战体系的关键部位，加强部队实战化训练，争取发挥出最佳作战效能，以最小的伤亡谋取最大的战略利益。

4　结论

本文充分考虑时间因素在现代战争中的作用，建立并讨论了适合现代战争的非线性时滞兰彻斯特战斗模型。在模型定性分析的基础上，研究了一个具体战例。仿真分析结果表明该模型用来描述现代战争是行之有效的，符合现代战争呈现出的信息作用巨大、作战节奏强度高、战斗持续时间短、时效性高等发展趋势。因此，本文提出的模型能用来深入研究现代战争，从而，能为作战决策、预测战斗进程、武器发展规划以及现代军事练兵等提供具备一定参考价值的信息。

［1］胡晓峰，司光亚，罗批，等.战争模拟：复杂性的问题与思考［J］.系统仿真学报，2003，15（12）：1659-1666.

［2］王书敏，董树军，张庆捷.作战运筹学［M］.北京：解放军出版社，2007：576-598.

［3］罗小明，杨娟，闵华侨等.非对称作战数学建模与仿真分析［M］.北京：国防工业出版社，2012.

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［5］吴俊，杨峰，梁彦，等.面向信息化战争的广义兰切斯特作战模型［J］.火力与指挥控制，2010，35（2）：50-53.

［6］占栋辉，陈刚，张宏军，等.现代化战争条件下的兰切斯特战斗模型［J］.计算机工程与应用，2013，49（15）：246-248.

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［8］张克，刘永才，关世义.面向效能评估辅助决策支持系统的导弹攻防对抗仿真研究［J］.战术导弹技术，2004，（3）：54-60.

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Analysis of a Class of Nonlinear Lanchester Combat Model with Time Delay

XIE Ying-chao，WANG Peng，TIAN Zong-hao
（Army Officer Academy，Hefei 230031，China）

Based on the general form of the nonlinear Lanchester equation and the characteristics of modern warfare，taking the time factor into account，a class of nonlinear Lanchester combat model with time delay is established and investigated.Through the qualitative analysis，the model's equilibrium and its stability are obtained.Moreover，the existence and uniqueness of the original model's solutions is proved，and the existent region is given.The analysis results of an example battle show that the model can describe the modern warfare effectively.Consequently，the proposed model may provide a theoretical reference for analyzing the combat process of modern warfare，weapon development plan and the modern military training.

modern warfare，lanchester combat model，nonlinear，time delay

E911

A

1002-0640（2016）07-0085-04

2015-05-05

2015-07-28
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安徽省自然科学基金资助项目（1408085MA06）

谢英超（1989-），男，湖南安仁人，硕士研究生。研究方向：应用数学。