三视图常见问题分析

王瑞文

三视图是初中数学的一个重要知识点.由若干大小相同的小正方体搭成的几何体问题，是三视图中一个重要题型.

一、画出若干大小相同的小正方体搭成的几何体的三视图

例1如图1，该几何体是由6个同样大小的正方体搭成的，请画出这个几何体的三视图.

分析：从正面观察，能看到4列，第1、2、3、4列分别能看到1、2、1、1个正方形，所以主视图如图2；从左面观察，能看到2列，第1、2列分别能看到2、1个正方形，所以左视图如图3；从上面观察，第1行能看到4个正方形，第2行能看到1个正方形，再按照原来小正方体的摆列方式画出俯视图，如图4.

这是三视图最基本的题型，难度不大，只要具备一定的观察能力，即可解决问题.

二、推理若干大小相同的小正方体搭成的几何

体中小正方体的数目

例2一个由若干大小相同的小正方体搭成的几何体，它的三视图如图5.这个几何体是由多少个小正方体组成的？

分析：观察主视图，第1、2、3列能看到的正方形数目分别为1、2、2，再观察左视图，第1、2列能看到的正方形数目分别为1、2，在俯视图对应的位置标注上相应的数字，如图6.因为主视图第1列看到一个正方形，在俯视图中，主视图对应的第1列，每个位置都只能放1个小正方体.左视图第1列能看到1个正方形，

图6所以在俯视图中，左视图对应的第1列每个位置都只能放1个小正方体.主视图的第2、3列都能看到两个正方形，左视图的第2列能看到2个正方形，所以剩余的两个位置小正方体的个数都是2.所以这个几何体是由8个小正方体组成的.

遇到此类问题时，先确定方向，再确定每列的正方形数目，然后借助俯视图来分析小正方体的数目.当问题中没有给出俯视图时，根据主视图和左视图的列数来构造一个方格，然后考虑方格中每个位置摆放的小正方体数目.

三、求若干大小相同的小正方体搭成的几何体的表面积

例3如图7和如图8都是由若干个棱长为1的小正方体搭成的几何体，请分别求出这两个几何体的表面积.

分析：一个由若干大小相同的小正方体搭成的几何体一般有6个方向，正、反、左、右、上、下，而且相反方向看到的正方形数量是相同的，所以可以借助三视图来解决此类问题.如图7，正面有9个正方形，则反面一定也有9个正方形.左面有6个正方形，则右面也有6个正方形.上面有6个正方形，则下面一定也有6个正方形.因此，这个几何体的表面共有42个正方形.因为每个正方形的面积为1，所以图7的表面积为42.但是，图7的解题方法并不适合图8，因为图8的表面中有两个正方形是从6个方向看不到的.因此，把图8表面分成两部分，6个方向能看到的和看不到的.6个方向能看到的正方形可用图7的方法，从正面、左面、上面分别能看到8、6、6个正方形，所以这6个方向共有40个正方形.而看不到的面有2个正方形，所以这个几何体一共有42个正方形，所以图8表面积为42.

总之，对于由若干大小相同的小正方体搭成的几何体问题，虽然变化形式较多，但大致都可以分成画三视图、推理小正方体数目、求几何体表面积或体积等三种类型.在遇到此类问题时，先分析属于哪一类型，然后采用针对性解题思路解决问题.