光波的多普勒效应*

张子珍

(山西大同大学物理与电子科学学院　山西 大同　037009)



光波的多普勒效应*

张子珍①

(山西大同大学物理与电子科学学院山西 大同037009)

光波的多普勒效应属狭义相对论的范畴，本文用几何语言和非几何语言的狭义相对论知识推导了光波的多普勒效应公式，并且将两种方法作了比较分析.

狭义相对论几何语言多普勒效应

1　非几何语言中狭义相对论的多普勒效应

1.14波矢的引入

按照洛伦兹变换下的变换性质，物理量分为3类：洛伦兹标量、矢量、张量[1].电磁波的相位因子φ是洛伦兹标量，即由∑系变到∑′系时

φ=φ′

(1)

电磁波传播因子为eiφ,其中φ在∑系的表达式为

φ=k·x-ωt

在∑′系的表达式为

φ′=k′·x′-ω′t′

因相位是洛伦兹标量，故

k·x-ωt=k′·x′-ω′t′

(2)

(3)

且

1.2kμ在洛伦兹变换下的变换关系

(4)

其中aμν为洛伦兹变换矩阵.

(5)

(6)

其中ω′为光源的静止参考系∑′测得的光源的频率，即固有频率ω0，k1为∑系的波矢量k的1分量，设k与x轴夹角为θ，则k1=kcosθ，在∑系测得光源的频率ω为

(7)

式(7)即为多普勒效应.

当θ=0时，得

当θ=π时，得

2　几何语言中狭义相对论的多普勒效应

2.14势Aa的引入

在四维几何语言中，电磁场张量Fab是2形式场，由麦克斯韦方程组∂[aFbc]=0，可知Fab是闭的，又因为背景流形为IR4,IR4是单连通流形，单连通流形上闭的微分形式必是恰当的，故F是恰当的.即IR4存在1形式场Aa,使F=dA, 或Fab=∂aAb-∂bAa,Aa就是电磁场的4势[2].

2.2 4势的微分方程及洛伦兹规范条件

四维几何语言中的麦克斯韦方程组

∂aFab=-4πJb

(8)

用4势表达为

∂a∂aAb-∂a∂bAa=

∂a∂aAb-∂b∂aAa=-4πJb

(9)

洛伦兹规范条件

∂aAa=0

(10)

将式(10)代入式(9)，得

∂a∂aAb=-4πJb

(11)

式(11) 就是4势满足的微分方程，即达朗贝尔方程.

无源电磁场的波动方程

∂a∂aAb=0

(12)

2.3波动方程的解及光子的4波矢Ka

对波动方程式(12)取形式为

Ab=Cbcosθ

(13)

的解，将式(13)代入到式(12)中，得

∂a∂aAb=∂a∂a(Cbcosθ)=Cb∂a(sinθ∂aθ)=

-Cb(cosθ)∂aθ∂aθ-Cbsinθ∂a∂aθ=0

故满足

∂aθ∂aθ=0

(14)

∂a∂aθ=0

(15)

的式(13)则为式(12)的解.令Ka=∂aθ,由式(14)，有

KaKa=0

(16)

又根据式(16)

∂b(KaKa)=2Ka∂bKa=2Ka∂b∂aθ=

2Ka∂a∂bθ=2Ka∂aKb=0

Ka是躺在类光超曲面上的类光测地线，由Ka=∂aθ，得

(dθ)a=Ka=Kμ(dxμ)a

(17)

由式(15)得∂aKa=0,Ka是常矢量，积分式(17)，得

θ=Kμxμ+θ0

(18)

将式(18)代入式(13)，得

Ab=Cbcos(Kμxμ+θ0)

(19)

Ka在惯性系{t,xi} 中的3+1分解：取K0=ω，得

(20)

取θ0=0，得

Ab=Cbcos(-ωt+kixi)

Ka就是光子的4波矢.

2.4多普勒效应

如图1，设光源和观者有任意的运动状态，其世界线为任意的类时线，4速分别为Va，Ua.设光子的4波矢为Ka

θ=-ωt+kixiKa=ωZa+ka

图1　光波的多普勒效应

光源在p点发出的光线被观者在q点接收.发光时Va测得的角频率为

接收光时Ua测得的角频率为

Ka=ωVa+ka

γ=-VaUa

Ua=γVa+γua

则

-(ωVa+ka)(γVa+γua)=

γ(ω-kaua)

设空间矢量ka和ua的夹角为θ，则

ω′=γω(1-ucosθ)

若θ=0,则

红移.

若θ=π，则

蓝移.

ω′=γω

即横向多普勒效应.

3　两种方法的比较

通过非几何语言与几何语言狭义相对论对多普勒效应的推导，可以看出：非几何语言简单、明了，仅通过四维矢量的洛伦兹变换关系就可推出多普勒效应[3,4].但不足之处是人为地引入了相位不变性，即设定相位是洛伦兹标量.在几何语言的狭义相对论中，从微分几何的二形式场出发，引入4 势Aa，代入麦克斯韦方程组，得出4 势Aa的波动方程，解无源电磁波的波动方程，自然地引入4波矢Ka，并且Ka的物理意义非常明确，它是类光矢量，而且是由θ=c给出类光超曲面的法矢量，Ka是躺在类光超曲面上的类光测地线.通过Ka在惯性系{t,xi}的3+1分解，很自然得出多普勒效应.但几何语言所用的数学知识深奥，理论性强，比较难懂，对狭义相对论的理解可以上一个很高的台阶，而且为后续广义相对论的学习打下了扎实的基础.但对没有接触微分几何的学者来说，普通电动力学教材狭义相对论的讲法不失为一种通俗、易懂的方法.

1郭硕鸿.电动力学(第3版)．北京：高等教育出版社,2008.06

2梁灿彬.微分几何入门与广义相对论(上册). 北京：北京师范大学出版社,2002.06

3章敏. 大学物理中多普勒效应的教学体会.数理与化学研究,2013(06)

4姚晓玲,宋世军.多普勒效应及其应用探讨. 漯河职业技术学院学报,2014,13(5):87～88

The Doppler Effect of Light Wave

Zhang Zizhen

(College of Physics and Electric Science, Datong University, Datong, Shanxi037009)

The doppler effect of light belong to the category of special relativity. We derived the formula for light wave doppler effect using geometry and non-geometry languages of special relativity , and made a comparative analysis of two kinds of methods.

special relativity; geometry language ; doppler effect

张子珍(1965-)，女，教授，研究方向为物理教学与理论物理.

2016-02-03)

①*高等学校数学物理方法课程教学研究项目,项目编号：JZW-14-SL-14