非线性Dirichlet型三点边值问题正解的存在性

郭 海 杰

(南京财经大学 应用数学学院, 江苏 南京　210023)



非线性Dirichlet型三点边值问题正解的存在性

郭 海 杰

(南京财经大学 应用数学学院, 江苏 南京210023)

利用锥拉伸与锥压缩不动点定理,得到了非线性Dirichlet型三点边值问题正解存在性的条件.

不动点定理; 正解; 存在性; 二阶三点边值问题

非线性常微分方程边值问题正解的存在性问题有着丰富的实际应用背景,在整个常微分方程领域的研究也显得十分重要.近几十年,在泛函分析理论和实际应用问题的推动下,非线性常微分方程非局部问题的研究得到迅速发展,并取得了重大的进展与成果,而且随着新问题的产生,也形成了许多新的研究方向.

首先,研究领域由线性常微分方程推广到非线性常微分方程.另外,常微分方程研究由整数阶多点边值问题推广到分数阶多点边值问题,例如一类时间分数阶延迟微分方程的数值解法[1],变系数空间分数阶对流扩散方程的有限差分解法[2].还有,边值条件也由齐次推广到非齐次[3-4].

1999年,马如云[5]率先研究三点边值问题

(1)

(2)

正解的存在性,提出了研究这类问题的关键条件

并在非线性项满足超线性或次线性条件的前提下,研究出了正解的存在性成果.此后,多位数学研究者将上述结果推广和发展到更加广泛的边界条件和更加一般的线性微分算子的情形.

1　常用定义和定理

定义2[6]设E是实Banach空间,P是E中的非空凸闭集.如果P满足

① x∈P,λ≥0⟹λx∈P;

② x∈P,-x∈P⟹x=θ.

则称P是E中的一个锥.

满足:

① ‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩∂Ω1且‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩∂Ω2(即范数锥拉伸)或

② ‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩∂Ω1且‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩∂Ω2(即范数锥压缩),

2　预备知识

本文是在马如云[5,8-9]的基础上进行了研究与创新.

本节假定:

(H1)f∈C([0,∞),[0,∞));

(H2)a∈C([0,1],[0,∞))且存在t0∈[ξ,1]使得a(t0)>0.

定义3[7]若u(·)∈C2[0,1]满足方程(1)及边界条件(2),并且对t∈(0,1),有u(t)>0,则称u(t)是(1)、(2)的正解.

引理1[3]设αξ≠1,则对a∈C[0,1],问题

(3)

(4)

有唯一解

引理3[7]设αξ>1.若a∈C[0,1]且a≥0,则问题(3)、(4)没有正解.

3　主要定理及证明

定理2设0<ξ<1,0<α<1/ξ,并且设(H1),(H2)成立.假设f满足下列条件之一:

① ∃H1>0,00,u≥H2,f(u)≥Mu;

② ∃H3>0,00,u≥H4,f(u)≤εu.

其中ε>0,M>0,H2>2H1,H4>2H3,且满足:

则问题(1)、(2)至少有一个正解.

证明u=u(t)是(1)、(2)的解重要条件是u是算子方程

的解.

定义

且K是C[0,1]中的一个锥.AK⊂K且A:K→K是全连续算子.

先证第一种情形:

令

显然θ∈Ω1.

则当u∈K∩∂Ω1时,有

即可得到‖Au‖≤‖u‖.

令

则当u∈K∩∂Ω2时,有

‖u‖,

即可得到‖Au‖≥‖u‖.

即问题(3)、(4)至少有一个正解.

再证第二种情形:

令

显然θ⊂Ω3.

则当u∈K∩∂Ω3时,有

‖u‖,

即可得到‖Au‖≥‖u‖.

① f有界.即∃N>0,使得对∀u∈[0,+∞),都有f(u)≤N.这时取

即有‖Au‖≤‖u‖.

即有‖Au‖≤‖u‖.

由上可知,无论f属于哪种情况,只要令

所以由范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理可知,问题(1)～(2)至少有一个正解.

例

(5)

(6)

考察上述二阶三点边值问题正解的存在性.

综上,由定理2可知问题(5)～(6)至少有一个正解.

4　结　　语

对于非线性Dirichlet型三点边值问题正解存在性的研究表明,不管超线性或者次线性的极限存在与否,在更一般的不等式条件下二阶多点边值问题仍然具有正解.

[1] 张艳敏,郭萍,段素芳. 一类时间分数阶延迟微分方程的数值解法[J]. 沈阳大学学报(自然科学版), 2014:26 (4):342-344.

(ZHANGYM,GUOP,DUANSF.Numericalsolutionofaclassoffractionaltimedelaydifferentialequation[J].JournalofShenyangUniversity(NaturalScience), 2014,26(4):342-344.)

[2] 马亮亮. 变系数空间分数阶对流扩散方程的有限差分解法[J]. 沈阳大学学报(自然科学版), 2013,25(4):341-344.

(MA L L. Finite difference method for fractional convection diffusion equation with variable coefficients[J]. Journal of Shenyang University(Natural Science), 2013,25(4):341-344.)

[3] MA R Y. Positive solutions for second-order three-point boundary value problems[J]. Applied Mathematics Letters, 2001,14(1):1-5.

[4] MA R Y. Positive solutions for nonhomogeneous m -point boundary value problems[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2004,47(4):689-698.

[5] Ma R Y. Positive solutions for a nonlinear three-point boundary value problem[J]. Electronic Journal of Differential Equations,1999,132(1):1-8.

[6] 孙经先. 非线性泛函分析及其应用[M]. 北京:科学出版社, 2008:4,73.

(SUN J X. Nonlinear functional analysis and its application[M]. Beijing:Science Press, 2008:4,73.)

[7] 马如云. 非线性常微分方程非局部问题[M]. 北京:科学出版社, 2004:19,128-129.

(MA R Y. The nonlocal problem of nonlinear ordinary differential equations[M]. Beijing: Science Press, 2004:19,128-129.)

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[9] LI Z X,ZHANG Z X. Positive solutions of a second-order three-point boundary value problem[J]. Northeastern Mathematical Journal, 2002(2):130-136.

【责任编辑: 肖景魁】

Existence of Positive Solutions for Nonlinear Dirichlet Type Three Point Boundary Value Problems

GuoHaijie

(School of Mathematics, Nanjing University of Finance and Economics, Nanjing 210023, China)

By using the Krasnoselskii’s fixed point theorem of cone expansion-compression type, some existence results for positive solutions of a nonlinear Dirichlet three-point boundary value problem are obtained.

fixed point theorem; positive solution; existence; second-order three-point boundary value problem

2016-01-11

郭海杰(1991-),女,山东济宁人,南京财经大学硕士研究生.

2095-5456(2016)04-0340-05

O 175.14

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