找准“出发点”，突破“关键点”——在全国新课标卷中立体几何的考查及其复习

李文生（福建连城第一中学）

找准“出发点”，突破“关键点”
——在全国新课标卷中立体几何的考查及其复习

李文生
（福建连城第一中学）

一、考纲的要求

（一）立体几何初步

1.空间几何体

（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

（3）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。

2.点、直线、平面之间的位置关系

（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的4个公理和1个定理。

（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理（判定定理和性质定理各4个，其中性质定理要求能够证明）。

（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

（二）空间向量与立体几何（理科要求）

1.空间向量及其运算

（1）了解空间向量的概念和空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

2.空间向量的应用

（1）理解直线的方向向量与平面的法向量。

（2）能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。

（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理。

（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用。

二、考查的方向

1.突出三视图问题的考查

全国新课标卷每年都考查三视图问题，从考查形式来看，以选择题、填空题为主。对有关三视图试题进行分析，可以感受到全国新课标卷对空间想象能力的考查要求较高。

例1.（2014年高考全国新课标卷Ⅰ·理12）如图，网格

纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）

说明：由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、高均为4个单位，因此可考虑把四面体置于棱长为4个单位的正方体中（如下图），可求出最长的棱的长度。所以在解决问题的过程中，需要考生具备较强的空间想象能力。从全国新课标卷来看，这部分内容主要考查以下两个方面的内容：

一是几何体三视图的识别与判断；

二是简单几何体（包括简易组合体）的三视图与几何体的表面积、体积的求解问题。

2.突出球类问题的考查

球作为优美几何体的典型代表，在新课标全国卷中屡屡出现。近5年来，全国新课标Ⅰ卷只有2014年没有考查球的问题，其他年份都考，在以球为载体的问题中：一是考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算。二是考查球与多面体的相切接，较好地考查了学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

例2.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球球面面积的则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______。

说明：本题考查球内接圆锥问题，解题的关键是确定球心、圆锥底面圆心与两圆锥顶点之间的关系。

解析：本题考查球内接圆锥问题，属于较难的题目。

3.注重对平行、垂直特别是垂直关系的考查

（1）全国新课标Ⅰ卷文理科解答题将垂直关系作为考查的重点。

（2）近5年来，全国新课标Ⅰ卷在解答题中都考查垂直关系，未涉及平行问题，且5年中有3年都考查了直线与直线垂直的判定。全国新课标Ⅱ卷常考查平行问题。

4.突出对空间角的考查

（1）新课标卷对立体几何解答题的考查，一般分为两部分，前一部分主要考查空间中点、线面的位置关系，后一部分主要考查空间角的计算问题。

（2）对空间角问题，全国新课标Ⅰ卷特别青睐二面角的考查，2011-2015五年中有三年都考查了二面角问题。

例3.（2012年高考全国新课标卷Ⅰ·理19）.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中是棱AA1的中点，DC1⊥BD。

（Ⅰ）证明：DC1⊥BC。

（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1的大小。

三、试题特点

全国新课标卷将立体几何学科知识和能力融为一体，坚持守正出新，从不同角度诠释了立体几何教学的价值取向，形成了鲜明的立体几何命题风格和试题特点。

对近5年全国新课标Ⅰ卷的考点进行比较分析，不难发现，全国新课标卷对立体几何内容的考查具有如下特点：

1.结构稳定，难度适中

近5年来，全国新课标Ⅰ卷在题量上，除了2014年是“一小一大”，分值17分，其他年份的试题都是“两小一大”，分值22分；在考查两个小题的年份，文理科至少都有一个小题相同；解答题位置都在第18题或第19题，文理科试题大都成姊妹题，难度比较稳定。

2.贴近教材，推陈出新

（1）全国新课标卷坚持“在几何直观下立意，在贴近教材中设计”的命题特点，出现了许多贴近教材，活于课本，推陈出新的立体几何试题。

（2）近几年全国新课标卷的一些立体几何试题，其解题思路、思想方法都可以在教材中找到“影子”，是教材基础知识、例题及习题的加工、综合、类比、延伸和拓展的结果，比如2010年新课标卷Ⅰ·理18、2011年新课标卷Ⅰ·理18、2014年新课标卷Ⅱ·理18等高考全国新课标卷立体几何解答题均以四棱锥为背景命制，实际上是源自课本的例题（人教A版选修2-1第109页例4）。这些都充分体现了教材良好的示范作用。同时以教材作为“蓝本”的高考试题，也让考生感到熟悉亲切，很好地凸显了以教材为核心的导向作用，激发了学生对教材知识的学习热情。

3.能力立意，彰显选拔

全国新课标卷立体几何试题以知识为载体，以能力立意，《全国考试大纲》所规定的能力——空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识等在立体几何中都得到了体现，其中侧重考查了空间想象能力、推理论证能力与运算求解能力。

四、复习建议

立体几何是考查空间想象能力的重要载体，涉及的问题包括识图与画图、证明与计算等。因此，在高三复习教学中，我们必须先找准“出发点”——立足考纲，命题特点，再努力突破“关键点”——提高复习的有效性。

（一）把握考试要求，了解命题特点，提高备考实效性

1.吃透考纲，明确复习方向

《全国考试大纲》《全国考试说明》是指导高考命题与复习教学的权威性文件，要认真研读、仔细推敲，准确把握定位和要求，做到四个明确：

（1）明确各部分考查的知识点。

（2）明确各知识点的要求层次。

（3）明确哪些知识是重点要求的。

（4）明确其中隐含的数学思想、数学能力及其考查要求。

2.了解命题特点，找准复习“效”度

（1）有效的复习教学不仅要弄清高考考什么，还要明确怎么考，因此必须对近年来的全国新课标卷进行研究。

（2）通过研究，帮助教师了解立体几何的命题特点，有效指导立体几何教学中“度”的把握，提高复习教学的针对性和实效性。

（3）文理科通用的考点中，要重点复习的内容有：简单几何体的三视图与直观图；简单几何体的表面积与体积的计算；线线、线面、面面平行和垂直的判定与性质。

（4）理科选修内容要重点复习用空间向量证明平行与垂直关系、计算各类角等问题，还应兼顾“一题两法”，形成基本技能。

（二）立足基础，熟练掌握通性通法

（1）通性通法是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法，是解决问题的基本方法，是学生应该重点掌握的方法。

（2）我们要按《全国考试大纲》《全国高考考试说明》对立体几何内容的要求，从知识的内在联系出发，引导学生将立体几何知识点串联起来，促进知识的系统化、条理化、综合化，进而形成知识结构网络，这有助于提高学生灵活运用有关知识分析问题、解决问题的能力。

（三）激活课本，用足教材

“问渠那得清如许，为有源头活水来”，教材是思想之基，方法之源。立体几何复习要实现学生知识的系统化、思想和方法的强化、能力的提高，仅靠利用教辅资料进行题海强化是不够的，必须紧扣教材这一“基和源”。

首先，要准确理解教材，要上升到思想和方法的角度审视教材，对教材中所讲的基本知识、基本方法、例题和习题，要认真研究，准确把握。

其次，应通过对课本例（习）题的变式、拓展，挖掘教材例（习）题的潜在功能，从中提炼相应的思想方法，准确把握立体几何的本源和本质，提高复习效益。在复习过程中，教师要引导学生从最近发展区对例题进行深入挖掘，加工改造。挖掘教材例（习）题的潜在功能，通常包括：（1）一题多变、一题多解或多题归一，进行哲理的升华；（2）反思命题的逆命题是否成立；（3）改变命题的条件与结论等。

总之，立足教材、钻研理解教材、沟通对话教材，用学生的眼光看教材，从高考的角度品味教材，提高对教材的研究水平，也是提高复习有效性的前提。

张桂生.全国新课标卷理科立体几何考题评析［J］.数理化解题研究：高中版，2013（7）.

·编辑鲁翠红