一类非线性振动系统的周期运动

余晓娟

（汉江师范学院 数学与财经系, 湖北 十堰 442000）

一类非线性振动系统的周期运动

余晓娟

（汉江师范学院 数学与财经系, 湖北 十堰 442000）

在非线性振动系统中，周期运动至关重要。该文研究了一类两自由度非线性振动系统的周期运动，这个系统由两个相互耦合的二阶非线性微分方程表示，运用Liapunov函数方法和特殊技巧，得到了该类系统的周期解。

振动系统；周期运动；周期解

1　预备知识

在非线性振动系统中，周期运动具有非常重要的作用，但周期解的存在性问题一直都是研究的重点。

对于多自由度系统的周期解，在理论与应用上都有着十分重要的作用,文献[1]研究了如下一类两自由度系统的周期解：

其中a1，a2，b1，b2是大于0的常数，f1，f2是关于x，y，sint，cost的连续函数。

本文在此基础上，研究比较复杂的一类两自由度非线性系统，它由两个相互耦合的二阶非线性微分方程组成：

系统（1）能够描述许多的物理现象，广泛存在于动力机械、弹性结构的动力屈曲、航空航天设备（火箭或绳系卫星）、船舶在海洋中的航行、流固耦合系统等工程实际问题中，在理论与应用方面都有很重要的地位和作用[1-5]。

2　周期解

将二阶方程组（1）转化为等价的一阶微分方程组：

对其中一些项作处理，设

为方便，我们设

定理设系统（2）满足下列条件：

（i）系数矩阵（3）的特征方程的特征根λi均有负实部，即

其中 δ是一个正常数；

证明为书写简捷方便，我们将a(t), b(t), c(t), d(t) 分别用a, b, c, d表示，则系数矩阵（3）的广义特征方程为：

特征矩阵（3）的所有特征根λi(t)具有负实部，即Re λi≤- δ < 0（i=1, 2, 3,4）。δ是一个正常数，于是有

我们构造Liapunov 函数为：

其中B=min(6δ2,1),故V是正定的。a(t), b(t), c(t), a(t)是正有界的，界为M>1。

类似地，我们有

于是，V有一个无穷小上界。

沿系统（2）对V求全导数，得到

则系统（2）的解是一致最终有界的，其有界域为：

因此，系统（2）至少存在一个周期为ω的周期解。本结果推广了文献[1,6]的相关结果。

[1] 刘俊. 一类周期系统的周期解[J]. 四川师范大学学报（自然科学版），1999（3）：289-294.

[2] Liang Zai-Zhong . A study of the construction of Liapunov function for a class of fourth order nonlinear systems[J].Appl. Math.and Mech.(English Ed), 1995(2):195-202.

[3] Hara T. Onthe uniform ultimateboundedness of the solutions of certain third order differential equations[J]. J. Math.Anal.Appl., 1981(5): 533-544.

[4] Liu Jun, Luo Hongying, Liu Xi. Oscillation Criteria for Half-Linear Functional Differential Equation with Damping[J]. Thermal Science, 2014(5):1537-1542.

[5] Luo Hongying, Liu Jun, Liu Xi, Zhu Chunyan. Oscillation Behavior of a Class of New Generallzed Emden-Fowler Equations[J]. Thermal Science, 2014(5): 1559-1564.

[6] Ji Jinchen，Chen Yushu. Bifurcation in a Parametrically Excited Two-Degree-of Freedom Nonlinear Oscillating System with 1:2 Internal Resonance[J]. Applied mathematics and mechanics, 1999(4)：350-359.

Periodic Motion of a Class of Nonlinear Oscillating Systems

YU Xiaojuan
(School of Mathematics and Finance, Hanjiang Normal University, Shiyan Hubei 442000, China)

In the system of nonlinear oscillating, periodic motion is of prime importance. The paper studies the periodic motion for a class of two-degree-of-freedom nonlinear oscillating systems. This model can be expressed by two mutual coupling second-order nonlinear differential equations. By using the method of Liapunov function and special techniques, periodic solution to the system are obtained.

oscillation system; periodic motion; periodic solution

O175.14

A

1674 - 9200（2016）03 - 0039 - 03

（责任编辑刘常福）

2016 - 03 - 16

国家自然科学基金项目“非线性波的时空复杂性研究”（11361048）。

余晓娟，女，湖北十堰人，汉江师范学院数学与财经系讲师，硕士，主要从事函数论、微分方程、数学教育研究。