具有恒Lyapunov指数谱的新三维混沌系统分析与电路实现

张国山，胡雪兰

(天津大学 电气与自动化工程学院，天津　300072)



具有恒Lyapunov指数谱的新三维混沌系统分析与电路实现

张国山，胡雪兰

(天津大学 电气与自动化工程学院，天津300072)

构造一个新三维自治混沌系统,它是Lorenz系统、Chen系统和Lü系统的通式.通过其Lyapunov维数、Lyapunov指数谱、分岔图分析了当系统不同参数变化时的动力学特性.其Lyapunov指数谱说明该系统存在双恒Lyapunov指数混沌锁定;分岔图和状态变量幅值演变说明锁定后混沌系统的幅值与相位可以调节.最后,设计了该混沌系统的电路实现并用Multisim软件对该电路进行仿真,结果验证了理论分析与电路仿真具有一致性.

混沌系统;双恒Lyapunov指数谱;非线性调幅;倒相

混沌运动是1963年由美国气象学家Lorenz[1]在研究区域小气候、求解他所提出的模型方程时首次发现的.混沌运动作为复杂的非线性运动开始受到人们的关注,常见的混沌系统有Chen系统[2]、Lü系统[3,4]等,随后又有很多混沌系统被发现[5-8],有一些还具有恒Laypunov 指数谱的特性[9-12].新系统的一些性质,如调幅作用、倒相作用,可以省去工程应用中对混沌信号进行同相(反相)放大(缩小)时的硬件需求,也避免了许多由于增加硬件设备而增加的工程难度及成本.发现和研究具有新性质的混沌系统具有工程意义和实用价值.近年来,有关于Lorenz系统、Chen系统以及Lü系统之间的差异性和共同点的研究,引起了广泛的关注.文献[13-15]提出了3个系统的通式,分析了3种系统的差异性和共同点,但是均未考虑该通式本身动力学特性.本文提出了一种新的混沌系统通式,分析了参数变化对其动力学特性的影响.新系统具有双恒Lyapunov指数谱混沌锁定,锁定后的系统具有全局、局部非线性调幅参数和倒相参数.新系统在调幅参数和倒相参数的作用下,可分别实现系统的部分或者全部状态变量幅值可调以及对某个状态变量的倒相作用,同时系统保持相似的混沌吸引子.这些性质使新系统具有工程应用价值.

1　新混沌系统模型

新混沌系统的模型为

(1)

式(1)中x、y、z,均为系统的状态变量.当M=1,N=1,c=-1时,系统为Lorenz系统;当M=1,N=1,d=c-a时,系统为Chen系统;当M=1,N=1,d=0时,系统为Lü系统;因此,新系统为Lorenz系统、Chen系统和Lü系统的通式.除此之外,新系统具有以上3种系统不具有的性质,因此要对新系统进行一般化的研究.当a=25,b=3,c=15,d=8,M=5,N=5时,系统可作为一个一般的新三维自治系统进行研究.此时新系统的Lyapunov指数为:λ1=2.2454,λ2≈0,λ3=-15.2464,分形维数为:df=2.1473,系统为混沌系统.系统的奇怪吸引子在各个相平面上的投影如图1所示.下文对该混沌系统特性进行动力学分析,如未特殊说明,参数固定取值为：a=25,b=3,c=15,d=8,M=5,N=5.

2　新混沌系统动力学行为分析

2.1基本特性分析

2.1.1耗散性

2.1.2对称性

新系统(1)关于z轴对称,即通过坐标变换(x,y,z)→(-x,-y,z),系统模型未发生改变.

2.1.3平衡点及稳定性分析

令新系统等式左边等于零,可得新系统式(1)的平衡状态方程:

(2)

解方程组(2)可求得系统的3个平衡点:

S1=(0,0,0)

f(λ)=λ3+(a+b-c)λ2+(MNx02-bc+ab-ac+aMz0-ad)λ+[MNax02-abc+ab(Mz0-d)+MNax0y0]

平衡点处的多项式可简化成

f(λ)=λ3+(a+b-c)λ2+(bd+ab)λ+2ab(c+d)

S2和S3对应的特征根为:λ1=-17.452,λ2,3=2.225±13.883i,系统的3个平衡点处的特征值不全具有负实部,系统有不稳定平衡点.

2.2双恒Lyapunov指数锁定

当固定参数a=25,b=3,c=15,d=8,N=5,系统的Lyapunov指数随M变化图像如图2(a)所示.同理可得,当固定参数a=25,b=3,c=15,d=8,M=5,系统的Lyapunov指数随N变化图像如图2(b)所示.由图可看出系统的Lyapunov指数不随M或N取值的变化而改变,因此系统具有双恒Lyapunov指数谱.

将平衡点代入到特征多项式后可消除参数M和N,即特征值的大小与M和N取值无关,因此变量M和N不影响系统在平衡点上的动力学特征.在参数M和N变化时,系统的Lyapunov指数维持不变,实现恒Lyapunov指数谱混沌锁定.但实际计算由于受到计算精度的影响,Lyapunov指数围绕一个固定值会发生微小的波动,可以忽略不计.由于参数M和N对系统变化的独特影响,将对其进行进一步分析.

图2　参数变化时系统的Lyapunov指数谱

2.3调幅特性

图3　固定a=25,b=3,c=15,d=8,N=5,　M变化时的分岔图

2.4倒相作用

调幅参数M和N同时变化符号时,具有倒相作用.对新系统进行变换: (x,y,z,a,b,c,d,M,N)→(x,y,-z,a,b,c,d,-M,-N)发现系统具有不变性,即新系统的输出信号z将随着调幅参数M和N的极性的改变而改变,调幅参数对系统输出信号z具有倒相作用.如图5所示,图中新系统的吸引子与图1相比,正好沿z方向颠倒,即M、N具有改变输出信号z极性的作用,可以将M、N定义为倒相参数.

图5　a=25,b=3,c=15,d=8,M=-5,N=-5,奇怪吸引子在各相平面上的投影

3　电路实现

混沌电路设计[16]主要有个性化设计、模块化设计和改进型模块化设计3种方法.其中,改进型混沌电路模块化设计不需要将微分方程(状态方程)转换成积分方程,而是通过直接比较混沌系统的状态方程与电路实现的状态方程的对应项系数来确定各个元器件的参数值.该方法的仿真和实验结果精度高,需要的元器件的数量最少.本文采用改进型混沌电路模块化设计的方法.对(1)式作时间尺度变换并改写成标准形式,即：令τ=τ0t,τ0=100,有

(3)

根据式(3)设计相应的模块电路并将输入、输出对应项对应连接,可得新系统的电路实现,如图6所示.其中,模拟乘法器表示电路方程中的非线性项,运算放大器、电阻和电容以及与之相关系的电路完成了相应的加、减和微分运算[17].图中的U1B表示状态变量x,U2C表示状态变量y,U3B表示状态变量z.

由图6可得该电路实现的状态方程为

(4)

图6　系统电路原理图

式(4)中:C1=C2=C3=10 μF,R3=R8=R9=R13=R14=R16=100 kΩ,R2=R4=R5=R7=R17=R18=10 kΩ,对比式(3)和式(4)可得：R1=R6=4 kΩ,R10=12.5 kΩ,R11=R15=2 kΩ,R12=33.3 kΩ,R19=6.67 kΩ.

采用Multisim软件对电路进行仿真,仿真结果如图7所示.其中: (a)和(b)的横坐标均为x,(c)的横坐标为y.其中的x、y、z均代表电压值,可以看出电路仿真与数值仿真结果是一致的.下面对混沌电路仿真结果进行分析,在电路中,改变R11的大小,即相应的改变了M系统中的取值,输出信号x、y、z的幅值会进行相同比例的放大或缩小,即改变吸引子大小,但同时保持其形状不变,验证了M的全局非线性调幅特性.同理改变R15的大小,即相应的改变了系统中N的取值,会同比例的改变输出信号x、y的幅值大小,即对应的图7中(a)将放大或缩小,(b)和(c)将横向拉伸或者压缩,验证了N的局部非线性调幅特性.同时只改变两个乘法器A1和A2的X或Y输入端的输入信号的极性,即可验证M、N的倒相作用.例如,将A1中X端输入信号变为x即连接U1B端,A2中的X输入端信号变为z即连接U3B端，发现吸引子形状和大小都不发生改变,只是z信号极性改变,即系统的吸引子沿z方向颠倒一下,验证了M、N同时改变极性对z信号的倒相作用.

图7　奇怪吸引子在相平面上的投影(其中:x为200 mV/diV,y为200 mV/diV,z为500 mV/diV)

4　结论

本文构造了新三维自治混沌系统,新系统含有6个参数,通过理论推导、数值仿真、Lyapunov维数、Lyapunov指数谱和分岔图研究了系统的动力学特性.分析了不同参数变化对系统动力学行为的影响,得到该新三维系统具有以下几个典型特征: 双参数恒Lyapunov指数谱、全局非线性调幅参数、局部非线性调幅参数、倒相参数.理论分析和电路仿真验证了新混沌系统的动力学特性和可实现性.

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A novel three-dimensional chaotic system analysis with invariable Lyapunov exponent spectrum and its circuit implementation

ZHANG Guo-shan, HU Xue-lan

(School of Electrical Engineering & Automation, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

A novel three-dimensional autonomous chaotic system is constructed, which is the general structure of the Lorenz system, Chen system and Lü system.The dynamic properties of the new system are analyzed via Lyapunov dimension, Lyapunov exponent spectrum, bifurcation diagrams when system parameters vary.The Lyapunov exponent spectrum is locked when the parameters of the quadratic cross-product terms vary.The bifurcation diagrams and state variable evolutions of the locked chaotic systems show that the amplitude evolvement and the phase of the chaos signals can be modulated.Finally, the circuit of the new chaotic system is designed and realized by Multisim software, and results show a good agreement between theory analysis and circuit simulations.

chaotic system; double invariable Lyapunov exponent spectrum; nonlinear modulation; phase reversal

2015-08-05；

2015-10-15

国家自然科学基金(61473202)资助

张国山(1961—)，男，吉林农安人，天津大学电气与自动化工程学院教授，博士生导师，主要从事系统控制与智能控制研究工作.

物理实验

O 415.5

A

1000- 0712(2016)03- 0034- 06