等差数列及等比数列的性质运用

宋国强

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【摘要】针对等差数列的性质与运用，等比数列的性质与运用两个方面进行分析，在简单分析概念与性质的基础上，提出一些相关教学建议，以期能够不断提升等比数列与等差数列教学的质量，保证各项数学知识教学的效果。

【关键词】等差数列 等比数列 性质运用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）21-0110-02

等差数列与等比数列是当前中学数学教学中的主要课程内容之一，对学生数学逻辑思维的培养与学生数学综合学习能力的提升能够产生重要的影响。在课堂教学活动中，教师可以通过多样化的课堂教学方式为学生进行等差数列与等比数列的知识引导，提升学生各项数学知识的掌握能力，保证课堂教学的质量。文章将基于等差数列及等比数列的性质进行分析，提出一些相关教学建议，希望能够对各项知识与技能的指导带来一定的借鉴意义。

一、等差数列的性质与运用分析

如果从一个数列的第二项开始，每一项与其前面的差，等于一个常数，那么这个数列则可以称之为等差数列，这个常数则可以称之为等差数列的公差，可以采用d予以表示[1]。等差数列是当前高中数学教学中的重要内容之一，学生的等差数列通项公式掌握情况能够直接影响学生的知识学习质量，加强对等差数列的相关性质与运用策略研究十分必要。

等差数据教学活动中，教师需要明确课堂教学的思维，在详细讲解数列的定义基础上，通过数列与自然集的关系、通项公式的推理方式等等流程，为学生循序渐进的指导等差数列相关知识与内容（详见图1）。

以“等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120，则2a9-a10的值为（）”题为例，由于a1+3a8+a15=120，故而a8为24。所以2a9-a10=a10+a8-a10为24。

等差数列的通项公式为a（n）=a（1）+（n-1）×d，n为项数。基于通项公式可以看出，a（n）是n的一次函数（d≠0）或常数函数（d=0），如果（n，an）处于同一条直线上，那么S（n）是n的二次函数（d≠0）或一次函数（d=0，a1≠0），且常数项为0。结合等差数列的通项公式以及等差数列的内涵可以得出，前n项公式还可以推出a（1）+a（n）=a（2）+a（n-1）=a（3）+a（n-2）=…=a（k）+a（n-k+1）等公式。在课堂教学活动中，教师可以采用小组讨论的方式，在为学生介绍完成等差数列的通项公式以及内涵的基础上，组织学生结合定义进行小组合作研究，通过等差数列的公式等深入研究能够根据通项公式或者是定义推导出其他的可能性。

在学生小组合作讨论的过程中，教师需要走到学生身边给与学生适当的思维引导，在小组合作的教学方式下发挥学生的主观能动性与创造性，发现更多的可能性[2]。适当减少教师在课堂教学中的话语量，能够增加学生的课堂话语量，真正展现学生在高中数学课堂教学中的主体地位。

二、等比数列的性质与运用分析

等比数列是从第二项开始，每一项和它前一项的比与同一个常数相等，那么这个数列则可以称之为等比数列[3]。这个常数，也可以作为等比数列的公比，则可以采用q来表达，即为当q=1的时候，an是常数列。

等比数列通项公式中，如果变形为an=a1/q*q^n（n∈N*），在q大于0的时候，则可以将an作为自变量n的函数，那么（n，an）则可以看做曲线y=a1/q*q^x中一项孤独存在的点。

在教学实践研究中，等比数列的通项公式是：an=a1×q^（n-1）【（a1≠0，q≠0）】。结合求和公式：Sn=na1（q=1）能够得出等比数列中各项之间的关系。性质：数列{an}公差为a1等差数列的充分条件为an=，（n≥2）。

证明的过程中，可以首先证明必要性，这个时候的前n项公式和为Sn=a1，根据公差可以得出（n+1）Sn-1=（n-1）Sn，可以看出n大于等于2的时候，可以将带入上式综合分析得出Sn=a1，这是之前已经得出的前n项公式和，必要性能够得到论证。通过实践研究的方式能够明确等比数列公式的性质，根据数学归纳的原则，可以得出{an}是公式为a1的等差数列。

教师在指导学生学习完成等比数列的性质之后，可以通过适当问题的方式，为学生布置实践探究任务。教师可以结合等比数列的性质进行综合分析，提出一些相关案例：

比如等比数列{an}的首项a1=-1，前n项和为Sn，若S10/S5=31/32，则公比q为（）。在这道问题中，因为S10/S5=31/32，a1=-1.可以得出公比q≠1，故而S10-S5/S5=-32/1，根据等比数列前n项和公式的性质能够得出，S5，S10-S5，S15-S10成比数列，且公比为q5，故而得出q5=-32/1，q=-2/1。答案为-2/1。

以2012年北京高考数学题为例，已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（）

这一道习题考察的是学生的等比数列性质掌握情况，属于探究型习题，在课堂教学活动中，教师可以组织学生进行综合分析，为学生布置学习的任务。学生可以通过自主探究或者与其他学生进行讨论的方式解答问题。

在a1+a3=+a2q，同时在a2，q同在正时，a1+a3≥2a2成立，结合等比数列的性质，能够根据正负q的符号而明确答案。设等比数列公比为q，那么则可以结合公式求得结果，答案最后选择B。学生需要在明确掌握等比数列性质的基础上，深入分析各个选项的可行性，得出最后的答案。在任务输出的过程中，如果学生存在一定的疑虑，教师则可以结合学生的问题，给与适当的思维引导，比如教师可以通过“当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2是否成立？”等话语，启发学生的思维，使学生能够明确逻辑思维的方式，通过等比数列的公比与等比数列的性质解答问题。

在高中数学课堂教学活动中，教师需要明确学生在课堂学习中的主体地位，结合学生的实际学习能力进行教学设计，关注学生综合知识的掌握情况。

三、结束语

等差数列与等比数列均为当前高中数学教学中的重要内容，在各类高考数学例题中普遍存在。通过等差数列的性质与运用分析与等比数列的性质与运用分析，能够结合高中学生的实际学习能力与性格特点进行教学设计，提升高中数学课堂教学的质量，为高中学生营造一个良好的学习与发展平台，提升学生的各项知识掌握能力，为学生数学知识的深入学习与全面发展奠定良好的基础。

参考文献：

[1]张秀萍.从函数角度来进一步认识数列和利用函数解决数列问题[J].广西师范学院学报（哲学社会科学版），2011，S1（23）：134-136