如何在分数和百分数的比较中建构百分数的意义

任平

摘 要：让学生经历从实际问题中抽象出百分数的过程，理解百分数的意义；利用分数和百分数的差别，用大量生动具体的实例引发学生对百分数的进一步思考和质疑，分数和百分数的最大区别就在于百分数仅仅表示两个数量之间的倍数关系，不表示具体的数量。百分数表示一个数是另一个数的百分之几，也叫百分率或百分比。这种数学中的倍数关系是源于生活而高于生活的，从生活中提取和抽象出来的，使学生真正掌握百分数的数学价值。

关键词：分数；百分数；倍数关系

一、揭示研究百分数的必要性

百分数在工农业生产、科学技术及各种实验中有着十分广泛的应用，特别是在进行调查、分析比较时，经常要用到百分数，所以我们才有必要研究和学习百分数。这期间涉及百分数的意义，它看似容易理解，但在实际教学中百分数的意义并非教师想象的那样能让学生接受，而造成这一现象的原因是什么呢？究竟百分数的意义是什么？怎样给学生讲解清楚它表示两个数量之间的倍数关系？不妨我们做如下解释。

二、探讨问题，形成概念

（一）分数和百分数的差别

分数主要是表达出个体占总体的一个比例，区别于百分数，分数的分母是随意的，多用于日常生活中人们的习惯表达；分数有时候表示一个具体的数量，也可以表示一种关系，即两个数的比：××吃了1/2块蛋糕，××吃了这块蛋糕的1/2；××喝了1/3瓶的水，××喝了这瓶水的1/3；而百分数，它的分母固定为一百，是形容部分占总体的一个比例，但因为百分数可以很方便地转化为小数，也很容易相互之间比较大小（因为分母是相等的嘛），所以书面上即官方上表达个体占总体的比例时，在分数的基础上又以100做基数，发明了百分数。

所以百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。百分数通常不写成分数的形式，而采用符号“%”（叫做百分号）来表示：像90%、80%、75%、45%、100%、22%、117.5%等这样的数就是百分数。

（二）探索百分数的倍数关系

在教学中经常会遇到这样的问题：（1）某校五年级的100名学生中有三好学生17人，问三好学生人数占五年级的百分之几？（2）一个工人从一批产品中抽出100件，经过检验有49件合格，问这批产品中合格产品占产品总数的百分之几？结合例1、例2，利用我们所学知识很容易解决像17%，49%应该注意它的读法和写法，写的时候先写数，再写百分数；读的时候先读%再读数。但是我们有时也会遇到这类问题：（3）你爸爸的年龄是36岁，你的年龄是12岁，爸爸的年龄是你的年龄的几倍？学生很容易做出答案：36÷12=3（倍一般不作單位名称）这个问题不难；试着再问：（4）爸爸的年龄是你年龄的百分之几？学生思考后，仍然列出算式：36÷12=3=300%。那这里，怎么理解这个得数300%呢？它仅仅表示一种关系，这种关系首先要求教师对新旧知识融会贯通，结合3倍和300%倍，教师把这两者的迁移、变通明确后，再循序渐进地建立“关系”的概念，切不可采用“填鸭式”教学方法，需要慢慢渗透这种关系。“我和××是师生关系”“××和××是朋友关系”“你和××是母子关系”等，这种关系看得见吗？摸得到吗？学生回答：看不见，摸不到。教师需要解释这种似乎离我们挺遥远的，但实际上离我们又那么近的问题。这种数学中的倍数关系是源于生活而高于生活的，从生活中提取和抽象出来的。可以理解为：一堆煤，运走了50%，还有50%没有卸；一盘水果，同学们吃了它的30%，还有70%没有吃；花园里有盛开的鲜花，有40%是红色的，有60%是黄色的；姚明投篮的命中率是46.8%；一件衣服的棉材料的含量是80%；一个班级的出勤率是90%等等。教师在教学中可以通过生动具体的事例向学生讲解，一点一点灌输这种关系的必要性和重要性，教师要用自己的理解，自己的感悟，自己的语言把百分数的意义讲得透彻，讲得灵活，因为生活需要数学的眼光去发现，数学的思维模式去始终贯穿于生活。教师在教给学生具体、抽象的数学知识的同时，更要大胆尝试和引导，引导孩子们爱数学，学数学，用数学；用一颗激情和火热的心去迎接数学中的种种问题，克服数学中的困难；教给他们知识，带他们在数学王国里自由遨游，乐此不疲地投身于数学的研究与探讨中，真正地理解并热爱这门学科。“传道，授业，解惑也”，这是一种追求，更是一种境界。

而分数和百分数的最大区别就在于百分数仅仅表示一种关系，不表示具体的数量。如果我们通常讲：一段绳子长29%米，这堆煤有70%吨，有70%个苹果等都是错误的，在教给学生做选择或判断的时候，必须明确百分数是一种关系，它不能带表示计量的单位名称。如果这样说是正确的：陆地的面积占地球表面积的21%，我国发射人造卫星的成功率是100%。在这里我想稍做一点解释：语文中常提到倍数和分数。表示数目减少，一般用分数，表示数目增加，一般用倍数。可我们数学中，我认为有些区别，表示数目减少，也可以用分数，也可以用百分数。如：今天看节目的人数比昨天减少了1/5（20%），减少了——不包括单位“1”的量即昨天看节目的人数，意味着今天看节目的人数减少了，减少到单位“1”的量，即昨天看节目的人数的4/5（80%）。今天看节目的人数比昨天增加了100%，——增加了不包括单位（“1”）的量，昨天看节目的人数。如果改为：今天看节目的人数是昨天的200%，这意味着今天看节目的人数增加了，增加到单位“1”的量即昨天看节目的人数的200%，也就是今天看节目的人数是昨天的2倍。而这里的2倍恰恰就是200%倍，由上面的例子更容易得出结论：百分数表示一个数是另一个数的百分之几，百分数表示两个数量之间的倍数关系。

三、浅谈“1”的问题

1.如果另一个数是单位“1”，一个数是另一个数的百分之几，实际就是求一个数占单位“1”的百分之几，或几分之几。

2.生活中的百分数有时小于100%或等于100%，比如说：种子的发芽率，产品的合格率，班级的出勤率，小麦的出粉率，可能小于100%或等于100%；生活中的百分数有时大于100%，比如说：老师布置了10道题，小明完成了15道题，小明完成题目占布置题目的150%，就大于100%；小麦比去年增加20%，今年是去年的120%，大于100%；棉材料占衣服材料的80%，涤纶材料占衣服材料的20%，果汁的质量占总质量的100%。教师在解决这些问题要有意识地强调“1”的重要性和如何选择“1”。

在百分数的认识中，学生学习了百分数的意义和读写，百分数和分数，小数的互相转化，百分数的简单应用，运用方程解决简单的百分数问题。理解了百分数的意义，对于今后的百分数应用题有很大帮助，对以后涉及的利息、成数及折扣的问题都有很好的辅助作用。学生会用数学的眼光看待生活问题，体会数学价值这也是我们教学的真正目的。

参考文献：

[1]权松爱.百分数的应用教学设计[J].数学教学与研究，2011（17）.

[2]邱爱渠.感知、理解与应用：“百分数的应用（一）”之教学谈[J].学园，2013（16）.

编辑 谢尾合