试论数学探究性问题设计的方法、原则与策略

张鹏

摘 要：好的数学探究性问题对有效提升学生的探究兴趣、探究能力至关重要。试从方法、原则与策略三个方面对探究性问题设计进行一些探讨。

关键词：探究性问题；方法；原则；策略

近来数学探究性问题一直是广大数学教育研究者所关注的热点之一。在课堂教学中，好的数学探究性问题对有效提升学生的探究兴趣、探究能力至关重要。本文试从方法、原则与策略三个方面对探究性问题设计进行一些探讨。

一、探究题背景设计方法

（一）问题运用背景

从探究的必要性角度出发，以解决某个问题或者研究某个数学规律为目的而设置，这样对探究问题的背景的设定本身就是一个问题，这样的问题背景从实际学习需求出发，一般还能联系实际应用，能较好地激发学生对主动探究的热情，它一般是作为如对数学规律、方法建构等探究问题的背景，特别是在新的知识系统构建的授课教学中最常用的背景设置方式。

（二）旧知识、旧方法背景

利用旧知识、旧方法，通过延伸、类比等方法发现新的探究问题。如一元一次不等式性质及解法一般容易的通常在等式性质及一元一次方程的背景下进行探究，分式的基本性质及其基本运算通常以分数基本知识为背景进行探究。因为这类问题容易激活原有的认知基础，所以能较好地引起不同学生个体的探究兴趣。

（三）特例背景

从特殊的角度入手，把众多的例子作为背景进行观察分析，从而探索出一般规律，而其本身也是一些小的问题。由于这样的背景问题有起点低，易观察，规律性强，感性和理性易结合等特点，更容易引起每个学生的兴趣，因此在七年级的问题探究中应该加大其使用力度。

（四）矛盾背景

写出一段具有一定认知冲突的材料作为背景来引出需要讨论的探究问题。因为学生自身的知识是在不断的认知冲突过程中不断同化而形成的，所以学生的困惑之处、争论之处以及错误多发之处一般是学生学习的难点，同时也是设计探究问题背景之源。此外，学生容易犯以偏概全的错误，例如“数轴上任意两点间的距离”，学生根据数形结合的有限例子，会认为表示点的数值差或两数和的绝对值即为两点间的距离，假设不进行有意识的探究，學生就很难达成一般共识；学生还容易将充分条件作为充要条件使用，例如，已知解均为正数，求k的取值范围，学生会认为x、y大于0，则x+y>0，即k>0；另外，直觉思维和抽象思维之间也会引起冲突，例如，解关于x的方程ax=-2，其中a<0，学生得出的结果是x=■，其理由是a是负数，a与-2负负得正。在实践中，笔者将这些问题设计成探究问题，就很好地解决了学生的困惑。

（五）迁移背景

这种情况下，有的是提供解决问题思路的背景材料，学习材料之后模仿解决问题或者自主提出问题并将其解决；有的是将问题解决的一般步骤作为背景，之后解释探究其原理及思路。如求解一个一元一次方程，同时为方程的每个步骤命名并解释其原理；或者给出两个在平行线间同底等高的三角形面积相等的原理，并且提供一个问题解决的例子，再模仿解决其他类似应用型问题。此类背景的探究问题均适合学生自主学习。

（六）应用背景

提供应用背景，从而抽象出探究问题，经济社会和文化生活的繁荣为数学教师带来了广阔范围的数学问题源，如出租车、电讯、房屋按揭、存款、股票、工资待遇、打折销售、彩票、博彩、运输费用、物价、税收、投资回报、文物保护、工程造价、旅游价格、最短路径、紧急避险、最经济的设计以及包含美学的几何图案等。

二、探究题设计原则

（一）知识构建原则

数学概念是我们课堂教学的重要知识内容，初中数学涉及更多的是形成性概念，它们一般按照这样的认知顺序形成：背景材料—概念形成—概念特征—特征的简单运用，而从具体到抽象的概念归纳、形成过程以及多个特征的发现，一般是实际教学的重难点，也决定了它们是学习探究过程中的重点，因此概念的形成及其特征是问题的重要设计点所在。一般做出如下问题设计：观察分析材料，找寻其共性—把这些共性用符号语言或文字语言加以概括总结—按概念要求举出相关例子—明确探究的方向，找寻概念中具备的特点，认真思考如何指明它的正确性。

（二）方法构建原则

其中一种是解决问题方法方面的建构，也就是说通过收集整理相同类型的问题并形成方法探索专题，在后来当学习了某种问题的处理方法后，就会想到还有哪些新方法，有哪些问题可以用类似的方法解决。例如：两条线段之和与第三条线段相等之类的问题，或者代数求值问题，图形面积等分的问题，以及建立方程、函数模型、不等式的问题等。教师将这些探究问题适时抛给学生，不仅能强化学生对课本知识的掌握，还有助于对其探究能力的培养以及数学方法的形成。还有一类是对探究问题提出方法的建构。具体来说，通过对一般问题的集中思考、类比、发散联想等创造性思维，发现数学新问题，并且从有限的或特殊的例子解决出发，联想到延伸到无限的问题或者一般性结论的探究，以及从简单图形性质延伸到复杂图形性质的探究。比如，学生在学习四边形之后，会联想到三角形全等的判定，也自然会产生对判定四边形全等方法的探究。比如，学习了平行四边形，就会类推到什么是平行六边形，以及它具有什么性质。再比如，学生在探究了正方体各种截面的形状之后，自然也会想到对其他几何体截面，如矩形的折叠问题的探究。

（三）综合能力构建原则

第一类是应用性问题，它是对综合能力的集中体现，能够充分体现数学建模的特点及过程，并具有较强的探索性、挑战性、实用性，可以运用多种模型在不同水平上进行分析和求解；还有一类是综合运用知识的构建性问题，能使知识信息化、系统化、模块化的综合探究问题，一般出现在二次函数与一元二次方程结合的问题中，以及几何图形与函数模型、方程结合并体现其运动变化特点的问题。

三、探究题设计策略

（一）命题要素、思想方法及解决策略应具有开放性

传统上，问题答案唯一，解法模式化的问题被称为“封闭问题”。相反，开放性问题中构成命题的要素、思想方法及解决策略具有不确定性，这种不确定可能是：问题背景的多样性，条件的不断变换，使用的数学思想方法多渠道，解决问题的策略多途径，讨论的多渠道，结论的发散性或者问题条件与结论的自由组合最终是可能不成立的命题等。对于这种开放，一定程度上对问题解决的时间和空间的开放起到了决定性作用，也就是说课堂中不能完成的探究问题也可以考虑放到课外完成，当然也可以放到今后的学习之中，与此同时思维上更加大对各种认知的参与和各类思维的全方位能力的发展。

而问题提问方式有：你得到了怎样的结论？发现了什么？其共同特点是什么？原因是什么？改变条件后可以得到什么结论？有哪些可能性？你有什么样的思考？又是怎样思考的？你将怎么办？依据材料你能提出哪些问题？怎样解决？

由于问题指向的不确定或不唯一，方法也不唯一，这就促使学生在不依赖教师和书本的情况下，能够独立地去探索并挖掘问题各种各样的答案，这样可无形地造就学生在解题中积极探索和勇于创新的心理状态，对数学内涵得出新的感悟，进而积极主动地参与到“学数学，做数学，用数学”的进程中去，让学生的认知结构在最后获得更为有效的发展。这既能使各类学生在探究中取得各不相同的认识，又能较好地顾及学生的个体差异和数学方面的个性特点，还能非常有效地激发学生对参与探究、挑战、创新的想法，有利于学生在学习方法和能力提升方面的培养。

（二）逻辑上需要符合认知规律

学生自身的认识规律应该建立在符合问题的内部构造的前提上，也就是由易到难，由简到繁，由具体到抽象，逐级而上。为了使探究教学能正常开展，绝大部分问题设计并不是为了为难、甄别学生为出发点，而是希望让大部分学生从可以处理的问题中获得必须的经验和成就动机，这必须要与新课程标准理念相符合，也与学生的“就近发展区”相吻合，更符合学生面临的数学现实。

这就对我们设计的问题要求具备一般的认识基础，容易吸引学生，并且它的表述要求简明，综合性也要具有控制力，问题解决所相关的知识与之前有关联，而不可以有需要许多应用学生不会的知识的状况，此外，由于初中阶段孩子的近情性动机比较大，题目中一定要加入许多容易理解的相关材料。如：使用方面的情况跟理化知识使用及和实际生活内容相关联的背景。此外，构成性疑问中应多使用感性的素材或非普遍性例子，运用可猜测的直观的结论并验证一般结论，再运用已有的说理性知识进行推理证明，最后将证明的结论运用到由简到繁的问题。

实践教学证明，探究式问题的学习，既能关注到学生的个体差异，又能在一步步的挑战中使学生获得成就动机，还能让学生在一步步的体验中获得探究后的崇高与愉悦，从而有利于学习内部动机的激发。

（三）注意思维的实践价值

设计数学探究问题的目的是锻炼数学思维，数学思维的实践锻炼是数学探究最为基本的任务，其对象是腦和手。如，几何及函数的应用问题应着力体现在运动变化和实践动手，其中大多数能用几何画板软件模拟其变化过程，让学生在数学实践活动中能够获得亲身体验，感受空间变化，从而有利于学生对图形规律的归纳概括和对几何方法的清楚认识，并能使学生的抽象思维及应用实践能力得到较好的发展。在几何图形性质探究问题或代数规律中，要提供一定量的对比、类比数据及图形材料，并利用计算器、几何软件或通过剪、拼、折等几何实验，进行动手思维及动手实践，将思维实践的重点放在对数据的观察、对比、类比及归纳概括一般规律上，最后在提供运用规律的练习实践材料的情况下，发展学生的符号感、数感、空间感以及归纳概括和实践认知能力。这样的探究不但能激发学生进行动手实践，还能引起学生的后续思考及再发现。

参考文献：

[1]张大均.教育心理学[M].北京：人民教育出版社，1999：203-204.

[2]刘长春，张文娣.中学数学变式教学与能力培养[M].济南：山东教育出版社，2001：26-27.

编辑 谢尾合