一类特殊球面螺旋线的高阶求导

严李健，庞珊珊，牟金平

(台州学院数学与信息工程学院，浙江临海317000)

YAN Lijian，PANG Shanshan，MOU Jinping

(School of Mathematics and Information Engineering，Taizhou University，Linhai 317000)



一类特殊球面螺旋线的高阶求导

严李健，庞珊珊，牟金平

(台州学院数学与信息工程学院，浙江临海317000)

根据微分几何基本理论，定义一类特殊的球面螺旋线。利用三角函数系，给出三角函数列中任何两个不同函数乘积的高阶求导公式，并对其高阶导数的求解及其性质进行研究，从而得出高阶导数一般性的结论及公式表达。

球面螺旋线；三角函数列；高阶求导

YAN Lijian，PANG Shanshan，MOU Jinping

(School of Mathematics and Information Engineering，Taizhou University，Linhai 317000)

球面螺旋线是常见的空间曲线，如动点沿球面的子午线作等速圆弧运动，同时该子午线绕其轴线作等角速回转运动，动点的轨迹就是球面螺旋线。其在机械工程、电子科学与技术和化学工程与技术等领域都有广泛的应用。冯凯、顾立志在《球面螺旋曲面在加紧机构中的应用》[1]一文中根据球面螺旋曲面的成形与运动特性,运用微分几何相关理论，设计了一种运用球面螺旋面副的夹紧机构；王汝林在《球面螺旋线盘梯的设计计算》[2]中提出球面螺旋线盘梯的优势，并探讨了如何在球面上确定螺旋线的位置和计算球面螺旋线长度等相关问题。

目前，人们对一般螺旋线的研究已经相当成熟，然而对球面螺旋线的研究却是少之又少。特别地，对球面螺旋线的高阶导数求法的研究还不成熟,这给球面螺旋线的深入探讨带来很大的不便。为此，本文根据微分几何基本理论，定义一类特殊的球面螺旋线，并结合三角函数列对其高阶导数的求解方法及性质进行研究。

1　预备知识

三角函数列(也称三角函数系)：1，cosx，sinx，cos 2x，sin 2x，…，cosnx，sinnx，…中，任何两个不同函数的乘积可表示为函数

H(x)=k1sinnxsinmx+k2sinnxcosmx+k3cosnxsinmx+k4cosnxcosmx

记H(x)的系数为K=[k1,k2,k3,k4]T。

容易发现，对H(x)多次求导形式不变，即

(sinnxsinmx)′=ncosnxsinmx+msinnxcosmx,m1=[0,m,n,0]T

(sinnxcosmx)′=ncosnxcosmx-msinnxsinmx,m2=[-m,0,0,n]T

(cosnxsinmx)′=-nsinnxsinmx+mcosnxcosmx,m3=[-n,0,0,m]T

(cosnxcosmx)′=-nsinnxcosmx-mcosnxsinmx,m4=[0,-n,-m,0]T

(1)

(2)

对式(2)进行t次迭代[3]，得K(t)=M(t)·K(0)，其中

矩阵M是反对称矩阵[4]，求矩阵M的t次幂，得：

当t为偶数时,

(3)

当t为奇数时,

(4)

2　问题解决

球面的参数方程[5]为

式中R为球面半径。令φ=x,θ=2px(p为螺旋圈数)，得到球面螺旋线的参数方程：

(5)

对式(5)高阶求导，得：

当t为偶数时,

当t为奇数时,

当t为偶数时,

当t为奇数时,

式中，P=[sinnxsinmx,sinnxcosmx,cosnxsinmx,cosnxcosmx]

同理，当n=0,m=1时，令

K(0)=[000-R]T

3　结语

本文讨论了一类特殊球面螺旋线的高阶导数求法,得出三角函数列中任何两个不同函数乘积的高阶求导公式和反对称矩阵的高次幂方程等结论。此外，还得到两个结论：反对称矩阵高阶求幂若是奇数次，则该矩阵仍是反对称矩阵；若是偶数次，则该矩阵是对称矩阵。本文研究告一段落，但球面螺旋线还有更多的奥秘值得我们去探索。

[1]冯凯,顾立志.球面螺旋曲面在加紧机构中的应用[J].华侨大学学报(自然科学版),2016(4):416-421.

[2]王汝林.球面螺旋线盘梯的设计计算[J].齐鲁石油化工,1986(3):56-59.

[3]宋彩芹.矩阵方程的迭代算法与四元数矩阵方程的解[D].上海：华东师范大学,2012.

[4]张海山.反对称矩阵的若干性质[J].甘肃教育学院学报(自然科学版),2003(3):14-17.

[5]梅向明,黄敬之.微分几何[M].4版.北京:高等教育出版社,2008.

责任编辑：陈亮

A New Method for Higher Order Derivative of Special Spherical Helix

A special spherical helix was defined by applying the relevant theory of differential geometry.According to trigonometric function system,the higher order derivative formula for product of any two different functions was proposed.The solution and properties of the higher order derivative were studied.General conclusion and formula expression of the higher order derivative were drawn.

spherical helix;trigonometric function system;higher order derivative

10.3969/j.issn.1671-0436.2016.04.011

2016- 07-29

严李健(1995—)，男，本科生。

O13

A

1671- 0436(2016)04- 0047- 03