浅谈利用功能关系求做功题型

周晓强

（甘肃省敦煌市敦煌中学）

浅谈利用功能关系求做功题型

周晓强

（甘肃省敦煌市敦煌中学）

一个物体能对外做功，我们认为这个物体具有能量。功和能是两个密切相关的物理量，做了多少功就有多少能量转化，功是能量转化的量度。在能量转化过程中，功扮演了重要的角色，利用功能关系求做功是高中物理教学的重点和难点之一。各种能量的转化过程必然对应某种力在做功。高中阶段常见的功能关系有：

1.合力做功与动能关系；

2.重力做功与重力势能关系；

3.弹力做功与弹性势能关系；

4.除重力、弹力以外其他力做功与机械能关系；

5.摩擦力做功与内能的关系；

6.电场力做功与电势能关系；

7.利用热力学第一定律求系统与外界之间的做功问题；

8.感应电流所受安培力做功与回路中产生电能的关系问题等等。

下面以例题的形式介绍利用功能关系求功：

一、利用动能定理求功

动能定理：合外力做功与物体动能的变化量相等，即W合=ΔEK。

动能定理与一个过程相对应，首先确定对象分析受力，其次针对过程求总功，确定初、末动能，按照定理列方程。功求解过程中涉及的位移参照物和初、末动能中速度的参照物是一致的，一般都是地面。

例1.一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂在O点。小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图所示，求力F做的功为（）

解析：对缓慢移动要抓住两层意思：（1）物体动能不变（2）物体时刻处于平衡态。由受力分析知F=mgtanθ，F随θ角变化，F为变力，不能用恒力做功公式。由动能定理总功为零，因此WF+WG=0，将变力做功转化为恒力做功，WF=mgL（1-cosθ），故B正确，可见动能定理可以求变力做功问题。

说明：动能定理是一个适用面非常广的定理，凡是涉及力对物体做功引起物体动能变化的过程几乎都能用，既能解决恒力做功问题，又能解决变力做功问题。

二、利用重力势能变化求重力做功

重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增加。重力做功与路径无关，只与初末位置的高度有关，重力做功等于重力势能的改变量，即WG=-ΔEP。重力势能是相对量，必须选参考面，默认地面。

例2.如图所示，长度为L，质量为m的均匀绳，半段置于水平的光滑桌面上，另半段垂于桌面下，当绳下滑全部离开桌面时，则重力所做的功为多少？

三、利用弹性势能的变化求弹力做功

弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加。弹力做功等于弹性势能的改变量，即W弹=ΔEp弹。

例3.如图所示，质量为m的物体从固定的光滑斜面上的A点由静止滑下，与固连在斜面上并且沿斜面方向的轻质弹簧接触，并将弹簧压缩至最低点B，试求弹簧对物体做的功。（已知AB=x，斜面倾角为θ，弹簧原长在A点）

解析：以弹簧、物体为系统，由机械能守恒定律：初末位置动能为零，重力势能转化为弹性势能，即：ΔEP重减=ΔEP弹增=mgxsinθ，由弹簧弹力做功与弹性势能的关系得：W弹-ΔEP弹=-mgxsinθ，弹力做了等量负功。

说明：此题也可以应用动能定理求得。

四、除重力、弹力以外其他力做功与机械能的关系

由动能定理W合=ΔEK将总功一分为二，将重力（或弹力）做功与其余的力做功分开，W其他+WG=ΔEK，又WG=-ΔEP将其代入，W其他=ΔEK+ΔEP=ΔE，即除重力（或弹力）之外其他力做功等于机械能的增加量，其他力做正功，机械能增加，其他力做负功，机械能减小。我们平时所见的多数过程机械能并不守恒，这就可以利用机械能的变化求其他力做功。

例4.如图所示，电梯的地板上放一质量为m的物体，钢绳拉电梯由静止开始以加速度a向上匀加速运动，当上升的高度为h时，物体的机械能增加了多少？

解析：对物体受力分析知，除重力之外，物体受支持力FN，支持力做正功，物体机械能增加，由牛顿第二定律FN-mg=ma，FN= mg+ma，W其他=ENh=（mg+ma）h，即物体机械能增加了（mg+ma）h。

五、摩擦力做功与内能的关系

摩擦力做功的特点：

1.无论静摩擦力还是滑动摩擦力，都可能做正功、负功或不做功；

2.一对静摩擦力做功之和为零，但一对滑动摩擦力做功之和一定为负值，一对滑动摩擦力做功会使系统机械能减少转化为内能；

3.如果只有滑动摩擦力做功，滑动摩擦力与相互作用物体相对位移的乘积等于系统机械能的损失。

例5.如图，质量为m的子弹以速度v1射入以速度v2同方向运动的木块，质量为M，当子弹进入木块的深度为d时，子弹的速度为v1′，木块的速度为v2′，若子弹与木块之间的相互作用力恒为f，求该过程损失的机械能？

解析：设木块的位移为s，子弹相对木块的位移为d，相对地面的位移为（s+d）

两式相加：

说明：由上式知系统损失的动能等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，这一结论可以应用于类似系统的动能变化之中。

六、电势能变化与电场力做功的关系

由电场力做功定义式W电=Uabq=（φa-φb）q=Epa-Epb=-ΔEp，即电场力做正功，电势能减小，电场力做负功，电势能增加。

例6.电子质量为m，电量为e，沿电场线方向射入匀强电场中，电子经过A点时速率为v，到达B点的速率为零，则A、B两点的电势差为（）

解析：由动能定理：UA（B-e）=0-mv2，则UAB=，应选A，电场力做负功，电子在电场中的电势能增加了。

七、利用热力学第一定律求做功

物体通过两种方式改变内能：做功和热传递。外界对物体做功且物体吸收热量，物体内能增加，反之，内能减少。表达式：ΔU= Q+W

例7.空气压缩机在一次压缩空气中，空气放出热量3×105J，空气内能增加了2×105J，求压缩机对空气做了多少功？

解析：由热力学第一定律：ΔU=Q+W得：W=ΔU-Q=2×105J-（-3×105J）=5×105J，所以，此过程压缩机对空气做功5×105J。

说明：应用此公式需注意物理量的正负，内能增加，ΔU为正，内能减小，ΔU为负；物体吸热，Q为正，物体放热，Q为负；外界对物体做功，W为正；物体对外做功，W为负。

八、在电磁感应现象中，感应电流所受安培力做功的数值与回路中产生电能的关系

安培力做正功，将电能转化为其他形式能；安培力做负功，将其他形式能转化为电能。感应电流的安培力做了多少功就有多少电能改变。

例8.如图所示，有一水平的匀强磁场（磁场的方向指向读者），在垂直于磁场方向的竖直面内放一矩形金属框，框的一边ab可无摩擦地上下滑动（滑动时ab仍保持水平），ab边的质量m=2×10-4kg，长度L=0.1m，ab边的电阻R=0.2Ω（框的其他三边的电阻可忽略），磁感应强度B=0.1T，重力加速度g=10m/s2，空气阻力不计，如果ab边匀速下落，求：

（1）ab下落的速度大小；

（2）在1s内回路中电流做的功。

解析：金属杆匀速下落，受平衡力作用F=mg（1）

由F=BIL（2）

又感应电动势E=BLv（3）

由闭合电路欧姆定律：E=IR（4）

解得：v=4m/s

在1s内回路中电流所做功等于该段时间内回路产生的电能。回路中产生的电能等于克服安培力做功，通过安培力做负功，机械能向电能转化。安培力做功WF=-F×L=-Fvt=-8×10-3J。即电流所做功为W=8×10-3J。

说明：电流所做的功也等于该过程回路中产生的热量：Q= I2Rt=8×10-3J。

总之，功是一个过程量，能量是一个状态量，功能关系显然将一个过程量的计算与一个状态量的计算联系了起来。在高考物理试题中，无论是选择题还是计算题都会频繁涉及功能关系，熟练掌握功能关系意味着高考的一个难点得以突破。

张小军.高三物理“功与能”专题复习策略［J］.学周刊，2013（34）.

·编辑杨国蓉