基于MPCK的数学概念教学策略

【摘要】概念是数学教学的核心.为了预防某些特定数学概念及应用概念过程中可能出现的偏差乃至错误，不妨“特意预设”并“故意生成”错误，在辨析中纠正错误，在纠正中完善，在完善中精致概念. “有意差错”不仅是一种早期介入及防范的教学策略，更是一门艺术.

【关键词】概念教学；有意差错；MPCK

长期以来，人们普遍认为只要拥有丰富的CK（学科内容知识）就是好教师.70年代以前的美国教师资格认证制度的“范式缺失”充分说明仅有CK远不算优秀教师，教师还必须熟练掌握PK（一般教学法知识）.只有当PK与CK高度融合，教师才能将自己所掌握的学科知识转化成学生理解的形式的知识，这正是美国学者舒尔曼于1986年提出PCK（学科教学内容知识）理论的原因及最初的界定. PCK是教师独一无二的知识 ，MPCK（数学教学内容知识）是从PCK泛学科研究中演绎出来且专门论述数学学科教学内容知识，是MK（数学学科知识）与PCK的完美结合，是数学教师从事专业教学所应具备的核心知识，是专家型教师区别普通教师的显著标志，是魅力课堂与低效课堂的分界线.

1“有意差错”含义

顾名思义，“有意差错”就是教师依据自身对概念的理解、把握及教学实践经验，预判学生学习某一特定数学概念及应用概念过程中可能出现的偏差乃至错误而“特意预设”并“故意生成”错误，在辨析中纠正错误，在纠正中完善，在完善中精致概念.“有意差错”是一种早期介入、干预、预防、防范的教学策略，有利于深刻剖析概念本质与特征，有利于厘清概念内涵与外延，有利于优化学生数学思维品质，有利于培养并激发学生创造能力.

概念是数学的细胞，是思维的载体，是创新的起点，是智力的源泉，因而概念教学是数学教学核心.学者童莉指出MPCK理论就是要研究学生在特定数学概念学习中会遇到什么困惑？有哪些误解？教师采取何种教学策略？怎样处理这些困惑和误解？ 本文拟通过几个具体案例来阐述“有意差错”策略在数学概念教学中的运用.

2“有意差错”策略

在概念教学中实施“有意差错”，不仅是一种策略、一种智慧，更是一种勇气.陈桂生教授在“教育是什么？”一文（《教师月刊》2009年第3期）中指出：“关于有意识地给出一个带有错误的命题，让学生把老师驳倒.徐特立在许多年前就提出过类似的设想，只是从来未闻有谁做过这种尝试.”事实上，著名特级教师任勇先生早在1992年就积极倡导并勇于践行“有意差错”概念教学策略，收到很好的效果（详见文[1]）.由此推断，任勇先生应该是实施第一人.新课改强调教师在数学概念教学时创设恰当的引入情境，展示完整的形成进程，凸显严谨的提炼经历，彰显隐含的数学思想，体现涉及的数学方法，强化概念的应用意识，演绎精彩的应用案例，全面实现知识与技能、过程与方法及情感态度、价值观三维目标.

2.1有意差错——创设情境、引入概念

2013年3月18日，笔者为福建省中学数学学科带头人（培养对象）所开设的一堂示范课“数系的扩充及复数的引入（第一课时）”，颇受专家及学员们好评.以下是这节课的开始片段.请同学们思考并回答：

案例1已知x+1x=1，求x2+1x2的值.

生1：对已知条件两边平方，由初中完全平方公式得到：

x+1x=1x+1x2=12x2+1x2=-1.

师：生1运算熟练，很快得到结果，这个答案正确吗？我们知道大前提、小前提以及推理形式正确，那么演绎推理得到结果就一定正确.此处大前提：任何正数之和必为正数；小前提：x2与1x2均为正数；结论：x2+1x2的值为正数.哪为何生1的结果是一个负数呢？

生2：x+1x=1x2-x+1=0Δ<0.

生3：x2-x+1=x-122+34≥34.

师：既然生2与生3从不同视角得出方程无解，哪生1怎么得到结果呢？这是为什么？

笔者在备课时，原本预计此时正式引出本节课的研究课题“数系的扩充”再顺势“复数的引入”.可正在此时，一位平时较内向的学生很激动地站起来说道：“老师，我发现这是一个错题！”此时所有的眼光全部投向这位同学，笔者赶紧示意上台演板：

生4：由刚刚所学的均值不等式可得：

x+1x=x+1x≥2x+1x≥2，或x+1x≤-2.

也就是说无论如何得不到已知条件，这就说明已知条件是错误的，即前提有问题，当然题目是“错误”的.学生顿时由疑惑到惊喜，对生4报以热烈的掌声，学生们脸上露出兴奋的笑容，似乎在说：“哦，原来老师提供的题目本身就是错误的.”

评注“特意”预设案例1就是为了与学生认知基础产生冲突，在一次又一次激烈碰撞中，学生由疑问变成好奇、好奇变为惊喜、惊喜再变成困惑，一步一步激发学生求知欲.时机成熟，水到渠成，巧妙地引入新课.通过四位学生的回答顺其自然地解释了：为何需要再一次扩充数系？为何要引入复数？引入复数的目的何在？由于是省级示范课，因此这节课预先进行多次集体研讨.尽管历经多次打磨，可被生4这么“折腾”“搅和”，感觉与原来预设的教学进程有较大偏离，更担心时间不够而完成不了教学任务.但事已至此，管不了那么多，趁热打铁，乘胜追击.正如叶澜教授感叹：“课堂应是向未知方向推进的旅程，随时都有可能发生意外的通道和美丽的风景，而不是一切都必须遵循固定程序而没有激情的行程.”

2.2有意差错——严密论证、厘清概念

尽管讲授二项分布与超几何分布概念时，教师千叮万嘱它们之间的区别，但涉及到具体问题时，学生往往混为一谈.教师心急如焚，学生忧心忡忡，依然重复“昨天的故事”.

由于教科书只是直接给出二项分布期望公式，没有任何推理过程；而超几何分布，教科书更是连期望公式都没有，因此笔者特意设置两个相似的具体问题（限于篇幅，略去），结果绝大部分学生依然拿不准到底是按照二项分布还是超几何分布去计算期望.奇怪的是所有学生结果都是相同的，这是为什么呢？笔者抓住这一普遍性错误，好好利用这一难得的机会，严密证明了为何它们的期望结果都是相同的.

案例2论证二项分布与超几何分布的数学期望相同

（1）在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生次数，设每次试验A发生概率为p，则P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n），则称随机变量X服从二项分布，列表：

评注黑格尔有言：“错误本身乃是达到真理的一个必然环节.”错误是正确的先导，错误是通向成功的阶梯.教师应该把学生的错误视作珍贵资源，这与文[2]提出概念教学基本策略：“通过正反案例辨析概念”一脉相承.事实证明：通过列出上述表格，借助不同组合公式计算且经过严密论证，涉及二项分布与超几何分布期望方面的错误大面积减少.案例2有力地说明了“有意差错”能够充分暴露学生的思维过程，同时错误也是概念教学中重要的教学资源，预设并在课堂教学中及时发现、暴露学生出现的典型错误，引发学生思考，引导学生反思，让学生的思维在错误中“拨乱反正”，厘清概念，走出误区，生成新思维.

2.3有意差错——深度剖析、巩固概念

中学数学中有这样一类概念：表面看似简单，但在应用中会出现各种错误.对有些错误，不要说学生，就是教师及专家一时也很难发现其中“秘密”.其中立体几何中的“多面体”概念就是如此，为巩固这一概念，笔者特意设置一道看似简单且给出三种解法的试题：

上述解法看似都是正确的，可结果截然不同，这是为什么呢？原因何在呢？俗话说得好：“擒贼先擒王.”既然是求空间几何体体积，那么我们必须从空间多面体概念：“一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.”入手方能解开谜团. 这一概念就这么短短的一句话，看似极其简单，但要真正理解，却是十分不易.

我们顺着解法1思路，即按棱台处理.要利用棱台来计算体积，首先EFC1—DBC必须是多面体，那这个几何体是多面体吗？显然，由图1可知△EFC1、△DBC、四边形DCC1E、四边形BCC1F都是平面图形，但BDEF根本就不是平面四边形，为什么？我们从反证法视角来看：若BDEF是平面四边形，由于平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，依据面面平行性质定理可得EF与BD平行，又BD与B1D1平行，则EF与B1D1平行，这是不可能的.因为C1E=4，C1F=3，因此四边形BDEF不是平面四边形，当然EFC1—DBC不可能是多面体.既然不是多面体，那更不可能是棱台，故解法1按棱台处理是错误的.

事实上，棱台可以视为用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间部分叫做棱台.既然棱台“祖宗”是棱锥，那么棱台就可以还原为棱锥，即棱台的各条侧棱延长后必然相交于一点.我们从逆否命题视角来看：若侧棱延长不是相交于一点，那么就不是棱台.为此我们假设DE与BF延长线相交点P，则P点必然在直线CC1上，利用相似性质可得

PC1PC=FC1BC=36，PC1PC=EC1DC=4636=46.

出现矛盾！故几何体EFC1-DBC不可能是棱台，再一次说明解法1是错误的.

初看似乎解法2与解法3本质是一致，其实不然！因为通过图3可以发现所求几何体EFC1—DBC是凹多面体，而解法2本质上默认了所求EFC1—DBC是凸多面体，因此解法2是错误的.这一凸一凹正好相差6，这就是为何解法2比解法3的答案多6的原因所在.

评注由于教科书上呈现多面体一般都是凸多面体，因此学生（甚至部分教师）误以为多面体都是凸多面体，因此教师在教学中应该明确指出并非所有几何体都是凸多面体，并适当举一些凹多面体的案例让学生辨析，预防这些错误发生.正如文[3]所言，深度剖析就是“照镜子”，即教师深刻反思概念教学失误之处，诚恳看作检查自己教学效果的一面镜子，提高自身业务水平；深度剖析也是“治病根”，即顺着思路，追根溯源，深究错误起因、深挖错误根源，真正巩固概念.

2.4有意差错——凸显思想、应用概念

文[4]在主编寄语中明确指出“数学是有用的”，特别强调数学源于生活，数学服务于生活，培养学生用数学的眼光和数学的头脑来数学地观察身边的现象并用数学的思维、数学的知识来解决实际问题，这正是新一轮课改的精髓所在，这正是数学价值和育人功能的突出体现，更是数学教育的出发点和归宿点.

案例4 最近流传一条有趣的微信：钝角统统等于直角！微信中是这样证明的：在矩形ABCD（DC

由中垂线性质及已知条件易得：

HB=HEHA=HDAB=DE△HAB≌△HDE∠HAB=∠HDE∠BAD=∠EDA.

由于ABCD是矩形，因此∠BAD必为直角.因E在矩形ABCD外面，因此∠EDA必为钝角，因点E的任意性，故得到结论：钝角统统等于直角.

“钝角统统等于直角”，这是小学生都觉得荒谬的结论！但上述推理看似严谨，这到底是怎么回事？问题出在哪儿呢？

上述论证过程的依据是按照图4来实施的，那图4是如何得到的呢？其实点E的轨迹就是以D为圆心，以DC长为半径的圆周在矩形的外面的部分曲线上运动，如图5所示.利用几何画板立即发现“秘密”：即不可能出现图4，只能是图5.数学是严谨的，因此必须加以严格证明.以AD所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，建立图6所示直角坐标系，设DC=b，AD=2a（a>0，b>0），则圆D方程为：x2+y2=b2；B（-2a，b），C（0，b）；再设E（m，n）（m>0，n

这就足以说明：当E在圆D所在第一象限运动时，直线HE永远在直线HD下方，故不可能出现上述图4，也就是说我们从理论上推翻了上述微信中给出的看似“严谨”的论证.

评注有趣的是，当我们继续用几何画板演示，有更多发现：当点E从图5所示的位置开始按逆时针旋转时，上述两条中垂线交点H在下方而且越来越远，如图7所示；当点E无限接近点C时，此时交点H在下方的无穷远处.继续逆时针旋转，当点E开始进入矩形内部时，此时交点H“突变”到上方无穷远处，并且随着旋转，交点H的位置慢慢下降，如图8所示. 继续逆时针旋转，当点E逐步靠近边AD时，交点H进入矩形内部，并且呈逐步下降趋势，如图9所示.当继续旋转，且点E离开矩形内部时，交点H再一次“突变”到下方，开始新一轮的周期变化.充分印证量变到质变、偶然与必然、运动与静止的辩证唯物主义哲学原理，有效渗透数形结合、或然与必然、转化与化归、方程与函数、分类与讨论、有限与无限等七大数学思想，欣赏到数学的对称美、奇异美、周期美与和谐美.其实这样的案例在教科书上多次出现，比如文[4]第90页“探究与发现”栏目中 “魔术师的地毯”问题与案例4异曲同工，都是为了强化直线斜率（倾斜角）这一概念的应用，这就是为何教科书主编将“魔术师的地毯”安排在文[4]的直线方程后面的原因所在，也再一次说明数学概念的学习与研究，不仅要关注其定义，还要关注教科书后面的例题、习题，更要关注教科书中的“探究与发现”、“阅读与思考”等栏目中的问题，这正是培养学生数学概念应用意识的最佳素材.正如文[5]所指出，数学概念的学习不是一节课，也不是一天，对于有些核心概念（如函数、三角函数、定积分等）的研究将是一个长期跟踪过程，需要全方位关注概念的形成过程.

3慎用“有意差错”

哲学家波普尔说过：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素.”在对数学概念进行正面阐述时，还要注重“有意差错”来深度剖析概念，适当、有意识地 “预设”经典错误案例，加深对概念的理解与把握，培养思维批判性、缜密性及深刻性.“有意差错”是一门学问，更是一门艺术.事实证明准确、恰当、适时的“有意差错”，有利于导入概念，有利于厘清概念，有利于巩固概念，有利于应用概念.正如心理学家盖耶感叹：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻.”但必须指出：“有意差错”只是概念教学的一种策略而已，是一种必要补充，毕竟弘扬“正能量”才是概念教学的主流，因此数量过多、频率过滥的“有意差错”反而冲淡概念本质，失去概念本来面目，甚至误导学生.

参考文献

[1]任勇.任勇的中学数学教学主张[M].北京：中国轻工业出版社，2012.

[2]邵光华，章建跃.数学概念分类、特征以及教学探究[J] .课程·教材·教法，2009（7）：47-51.

[3]王淼生.概念教学不妨尝试“事后补救”[J].中小学数学（高中版），2015（12）：40-43.

[4]课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书.数学（A版，必修2）[M].北京：人民教育出版社，2011（第1次印刷）.

[5]章建跃，陶维林.概念教学必须体现概念形成过程[J].数学通报，2010（1）：25-29；33.