奇异值分解结合频率切片小波的齿轮故障特征提取

周福成，唐贵基，廖兴华

（1.华北电力大学 科技学院，河北 保定 071003；2.华北电力大学 能源动力与机械工程学院，河北 保定 071003；3.湖南雁能建设集团有限公司 输电工程分公司，湖南 衡阳 421000）

奇异值分解结合频率切片小波的齿轮故障特征提取

周福成1，2，唐贵基2，廖兴华3

（1.华北电力大学 科技学院，河北 保定 071003；2.华北电力大学 能源动力与机械工程学院，河北 保定 071003；3.湖南雁能建设集团有限公司 输电工程分公司，湖南 衡阳 421000）

频率切片小波变换是一种有力的时频分析方法，但在强背景噪声条件下其故障特征识别能力不足，故提出奇异值分解结合频率切片小波的故障特征提取方法。首先利用原始信号构造Hankel矩阵，根据奇异值差分谱单边极大值原则确定阶次并进行降噪处理，继而利用频率切片小波对降噪信号进行全频分析，确定信号分量分布区间之后，对能量集中的信号进行频率切片细化分析，用时频图及重构信号提取齿轮故障特征。通过仿真及实测齿轮的点蚀信号分析，表明该方法能够实现齿轮运行状态的准确判别，有一定的工程实际意义。

振动与波；齿轮；奇异值分解；频率切片小波变换；故障诊断

齿轮是旋转机械传动链中重要的部件之一，在齿轮箱失效零件中，齿轮故障大约占60%，是诱发机器故障的重要原因。因此，对齿轮故障诊断进行研究有着重要的意义［1］。齿轮故障主要表现为其振动信号中出现齿轮啮合频率被轴转频及其倍频调制的幅值调制成分，这个故障特征常常被噪声所干扰，对其提取和有效识别变得相对困难。为了提取齿轮的故障特征，很多学者提出了诸多方法，如小波变换、短时Fourier变换、Wigner-Ville分布等，这些方法取得了较好的效果。但在处理非线性、非平稳的齿轮故障信号时，如何选定小波基是小波变换的一个难点［2］，短时Fourier变换［3］其时频分辨率不能同时达到最佳，固有的交叉项干扰问题在Wigner-Ville分布［4］中存在。频率切片小波变换（FSWT）被Yan等提出，相比传统的Fourier变换它可以实现时频分析，实现了信号的滤波与分割［5］。鉴于FSWT方法在信号分析与处理方面的优势，相关学者陆续将其应用于机械故障诊断领域，如段晨东等利用FSWT来分析并诊断发电机组转子碰摩故障［6］；钟先友等在形态自相关的基础上利用FSWT进行轴承故障诊断［7］。虽然基于FSWT的机械故障信号处理方法在实际诊断应用中能够收到一定成效，但笔者经过研究发现，在强烈噪声干扰下，FSWT的故障特征提取能力仍不够理想。奇异值分解（SVD）是一种非线性滤波方法，能有效消除信号中的噪声，有利于故障信号的提取［8-11］。为了有效提取齿轮的故障信号，本文提出了SVD和FSWT相结合的故障特征提取方法，并将其用于诊断齿轮的点蚀故障，试验数据分析该方法具有一定的可靠性。

1　频率切片小波变换原理

信号f（t）的频率切片小波变换（frequency slice wavelet transform，FSWT）为

根据信号在时域和频域的能量守恒规律，将式（1）转换到时域

FSWT实现了信号的时频分解，通过逆变换能对原始信号进行重构，其逆变换式为

2　奇异值分解原理

对实际采样信号构造其m×n阶Hankel矩阵后，其奇异值分解可表示为

式中U为m×m阶正交矩阵且满足UUT=I；V为n×n阶正交矩阵且满足VVT=I；是按降序排列的对角矩阵，其对角元素为矩阵A的奇异值。

根据奇异值分解理论及Frobeious范数意义下矩阵最佳逼近定理，可知有用信号被前r个较大的奇异值反映，后较小的奇异值确定噪声信号，过滤较小奇异值后，源信号中的噪声就被去除，通过奇异值分解的逆过程推算得到矩阵̂，那么矩阵̂就是A的秩为r的最佳逼近矩阵。将矩阵̂中的反对角线元素相加，得到降噪后的信号̂s。

式中ui为AAT的第i个特征向量，νi为ATA的第i个特征向量，σi为A的第i个奇异值。

3　基于SVD去噪与FSWT的时频分析方法

将SVD去噪与FSWT相结合，应用到齿轮诊断中，主要包括以下步骤：

（1）首先对原始信号进行矩阵重构，根据奇异值差分谱的变化，从右往左，选取第一个峰值变化最大点为重构信号的有效秩阶次进行降噪，并提取有用信号；

（3）选择频率切片区间为信号的Nyquist分析频带，对信号进行FSWT变换，求取信号的时频分解系数W（t，ω，κ），得到信号在全频带的时频图；

（4）从时频图分析信号分布区域，针对信号能量集中区间，对信号进行频率切片细化分析，通过分割和重构信号，完成故障特征的提取。

4　仿真信号分析

为了验证奇异值分解结合频率切片小波对齿轮故障特征提取的有效性，构造如下仿真信号

其中x1（t）=1.8 e-0.2πfnt·sin（2πfnt）为周期性的指数衰减冲击信号，fn=1 500 Hz，冲击周期 T=0.04 s，模拟故障齿轮所在轴的转频，x2（t）=0.8sin（25πt）·sin（1 600πt），模拟齿轮被啮合频率所调制的信号，啮合频率 fc=800 Hz，x3（t）为高斯白噪声信号。对信号y（t）进行采样的频率为10 000 Hz，采样点数为4 000，得到混合信号如图1所示。

图1　混合信号的波形

从图1中可看到冲击信号和调制信号均淹没在白噪声信号中，对混合信号进行频率切片小波变换，得到图2所示的时频图，图中除了800 Hz啮合频率处信号分量较明显，冲击信号分量杂乱无章，排列没有明显规律，不能确定信号能量分布区域，提取转频信息失败。对混合信号进行包络谱解调，如图3所示。从图中发现除了一倍频25 Hz处幅值明显，其他倍频并不突出，由此也不能判别齿轮故障。

图2　混合信号的时频分布

图3　混合信号包络谱

下面采取本文提出的方法对混合信号进行故障特征提取。首先对混合信号进行奇异值分解进行降噪，其差分谱如图4所示，从图中自右往左观察，在74点处出现第一个最大单边峰值，且较之左侧相邻点处单边峰值，差距最大，选该点确定重构信号的有效秩阶次并进行降噪。

图4　奇异值差分谱

对降噪后信号进行频率切片小波变换，得到如图5所示的全频带时频图。从图中观察可见，在800 Hz左右分布一条时间跨度长，频率跨度短的近直线分量，在1 500 Hz附近有一系列排列较整齐，间隔均匀的信号分量，其它频率段信号分量不明显。对能量集中分量1 500 Hz上下的频率切片区间（1 100 Hz，1 800 Hz）进行FSWT细化分析，得到如图6所示时频图。从图中可看到一系列时间跨度极短，频率范围宽的信号分量间隔均匀排列，反映了该信号分量冲击响应的特征，其冲击时间间隔约为0.04 s，对应冲击频率25 Hz，跟仿真信号完全一致。为检验该方法的有效性，对重构信号进行包络谱分析，结果如图7所示。从图中可看到转频25 Hz及其倍频成分突出，噪声被有效抑制，表明提取故障特征成功。

图5　去噪信号的时频分布

图6　频率切片区间（1 100 Hz，1 800 Hz）的FSWT细化分析

5　应用实例——齿轮点蚀故障

在齿轮箱故障试验台从动齿轮的齿面上加工出一个微小凹痕来模拟点蚀故障，在齿轮箱端盖靠近轴承处布置四只加速度传感器，设置的采样频率为5 120 Hz，采样点数为4 096点。其中，电机转速为825 r/min，输入轴主动轮齿数为55，输出轴从动轮齿数为75，通过计算可得输入轴的转频为fi=13.75 Hz、输出轴的转频为 fo=10.1 Hz。

图7　FSWT后重构信号包络谱

实测信号波形如图8所示，时域波形中隐约可见少量冲击，但时间间隔不太明显，从图中观察不出特征频率。对实测信号做包络谱分析，结果如图9所示，发现输出轴转频 fo及其倍频成分突出，输入轴转频 fi及二倍频2fi同样也比较突出，由此不能判断主动齿轮还是从动齿轮出现故障，可见传统包络谱分析手段对于该故障信号来说显得无能为力。

图8　实测信号的波形

图9　实测信号包络谱

针对实测信号，先进行奇异值分解，从奇异值差分谱图中确定74点为降噪的有效秩阶次，然后进行频率切片分析，结果如图10所示。

图10　振动信号的时频分布

在图中观察到齿轮啮合频率750 Hz附近有一个分量，其频带范围窄，持续时间长，具有幅值调制现象，在850 Hz～1 300 Hz这个频带中分布一系列时间间隔相等频率范围宽的分量，其他频率段的时频分布成分不突出。对850 Hz～1 300 Hz频带进行FSWT细化分析，得到图11所示的时频图。可以看到这些分量具有频带范围宽，持续时间短的特点，具有明显的幅值调制现象。对重构信号进行包络分析，从图12中可看出其调制频率约为10 Hz，而且其倍频也清晰可见，以上特征说明实测信号包含周期为10 Hz的冲击分量，这个分量正是输出轴的转频，说明从动齿轮出现故障，与试验情况相符，故障特征提取成功。

图11　频率切片频带850 Hz～1 300 Hz的FSWT时频分布

图12　FSWT后重构信号包络谱

6　结语

（1）受振动传播路径和噪声影响，实测齿轮振动信号中包含故障特征信号成分不够多，故障特征提取相对困难，传统的包络谱解调方法效果欠佳，利用奇异值分解和频率切片分析相结合的方法能有效提取齿轮故障特征。

（2）对振动信号进行频率切片小波变换前，先根据奇异值分解差分谱峰值变换较大点选取合适阶数进行降噪，能从有用信号中有效分离噪声，突出故障特征，有利于时频分析。

（3）引入频率切片函数的FSWT较之传统傅里叶变换，可以同时实现信号的时频分析和任意频带信号分量的分割和重构。齿轮仿真及实测信号分析表明，该方法能有效提取故障特征。

［1］李月仙，韩振南，高建新，等.一种EMD端点延拓算法及其在齿轮故障诊断中的应用［J］.噪声与振动控制，2012，32（2）：108-111.

［2］RAFIEE J，RAFIEE M A，TSE P W.Application of mother wavelet functions for automatic gear and bearing fault diagnosis［J］.Expert Systems with Applications，2010，37:4568-4579.

［3］AL-BADOUR F，SUNAR M，CHEDED L.Vibration analysis of rotating machinery using time-frequency analysis and wavelet techniques［J］.Mechanical Systems and Signal，2011，25（6）:2083-2101.

［4］BOASHASH B.Time-frequency signalanalysis and processing［M］.New York:Prentice Hall，2003:3-82.

［5］YAN Z，MIYAMOTO Z，JIANG Z，et al.An overall theoretical description of frequency slice wavelet transform［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2010，24（2）:491-507.

［6］段晨东，高强，徐先峰.频率切片小波变换时频分析方法在发电机组故障诊断中的应用［J］.中国电机工程学报，2013，33（32）：96-102.

［7］钟先友，赵春华，陈保家等.基于形态自相关和时频切片分析的轴承故障诊断方法［J］.振动与冲击，2014，33（4）：11-16.

［8］汤宝平，蒋永华，张详春.基于形态奇异值分解和经验模态分解的滚动轴承故障特征提取方法［J］.机械工程学报，2010，46（5）：37-42.

［9］陈恩利，张玺，申永军，等.基于SVD降噪和盲信号分离的滚动轴承故障诊断［J］.振动与冲击，2012，31（23）：185-190.

［10］王建国，李健，刘颖源.一种确定奇异值分解降噪有效秩阶次的改进方法［J］.振动与冲击，2014，33（12）：176-180.

［11］夏均忠，苏涛，王龙，等.基于Hilbert谱奇异值的滚动轴承故障诊断［J］.噪声与振动控制，2014，34（5）：140-144.

AMethod of Fault Characteristic Extraction of Gears Based on Singular Value Decomposition and Frequency Slice Wavelet Transform

ZHOU Fu-cheng1，2，TANG Gui-ji2，LIAO Xing-hua3
（1.School of Science and Technology，North China Electric Power University，Baoding 071003，Hebei China；2.School of Energy，Power and Mechanical Engineering，North China Electric Power University，Baoding 071003，Hebei China；3.Transmission Engineering Branch of Hunan Goose Can Construction Group Co.Ltd.，Hengyang 421000，Hunan China）

Frequency slice wavelet transform is a powerful time-frequency analysis method.But its ability of fault characteristic identification is weak under the condition of strong noise background.Thus，a method of fault characteristic extraction combining the singular value decomposition with the frequency slice wavelet transform is proposed.First of all，the Hankel matrix is constructed using the original signal，the reconstruction order is determined based on the criterion of the unilateral maximum in the singular value difference spectrum，and the de-noising process is carried out.Secondly，the whole frequency domain analysis is performed for the de-noised signal using the frequency slice wavelet transform，and the distribution interval of the signal component is confirmed.Finally，the slice refinement analysis is performed for the signal with concentrated energy，and the fault characteristic of the gears can be extracted from the time-frequency spectrum of the reconstructed signal.Results of numerical simulation and signal measurement show that the proposed method can achieve accurate identification of the operation condition of the gears，and has some engineering significance.

vibration and wave；gear；singular value decomposition；frequency slice wavelet transform；fault diagnosis

TH113.1；TN911.7

ADOI编码：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.05.029

1006-1355（2016）05-0139-05

2016-02-21

河北省自然科学基金资助项目（E2014502052）；中央高校基本科研业务费专项资金（2014MS154）

周福成（1977-），男，湖南省常宁市人，讲师，博士生，主要研究方向为信号分析与处理，机械故障状态监测与诊断。E-mail:zfc_01@163.com

唐贵基（1962-），男，博士生导师。E-mail:tanggjlk@ncepubd.edu.cn