多态系统电磁脉冲易损性概率置信下限的贝叶斯估计

刘　钰，韩　峰，陆希成

(西北核技术研究所,西安710024)



多态系统电磁脉冲易损性概率置信下限的贝叶斯估计

刘钰，韩峰，陆希成

(西北核技术研究所,西安710024)

针对多态系统电磁脉冲易损性评估问题，提出了基于贝叶斯理论的多态系统电磁脉冲易损性概率置信下限估计方法。分别基于贝叶斯方法及经典统计方法，给出了多态系统电磁脉冲易损性概率置信下限及效应实验达到给定状态概率所需最小样本量的计算方法。通过算例，对文中提出的方法进行了验证和比较。在无信息先验条件下，贝叶斯方法与经典方法计算结果较为接近，概率置信下限和所需最小样本量的估计结果主要依赖于当前实验信息；当先验信息具有显著倾向时，若当前实验信息与先验信息一致，则基于贝叶斯方法计算的概率置信下限更加准确，且所需最小样本量明显少于经典统计方法的计算结果。

贝叶斯方法；多态系统；易损性；概率置信下限

随着大规模集成电路的发展，电子设备的结构越来越微型化、复杂化，电子系统抗电磁脉冲能力不断降低[1-3]，强电磁脉冲与孔缝、天线和线缆作用，极易使系统出现干扰、翻转、扰乱、降级和损坏等多种效应状态[4-6]，电磁脉冲辐射场已对现代电子设备的安全运行构成了一定的威胁[7-11]。

电子系统在给定电磁脉冲辐射水平作用下，各状态的发生概率或概率置信下限，是表征电子系统电磁脉冲易损性或系统抗电磁脉冲能力的主要量化指标[12-13]。随着电子技术的发展，电子系统中的子系统或单元部件的功能不断增强，造价也不断提高，进行系统级电磁脉冲易损性分析时，通常存在试验费用昂贵和受试系统样本数少的问题，需要在小子样条件下对系统的抗电磁脉冲能力做出较为准确的评判。

近年来，有关成败型贝叶斯统计方法的研究已经较为成熟[14-16]，但能够解决多态系统易损性概率置信下限估计问题的小子样统计分析方法仍较为缺乏。针对此问题，本文提出了基于贝叶斯方法的多态系统电磁脉冲易损性概率置信下限估计方法。

1多态系统概率置信下限的估计方法

1.1经典统计方法

若系统存在K种功能状态,其状态空间表示为{1,2,…,K}，K∈Z+且K≥2。若K=2，多态型部件退化为成败型部件。将部件完全失效状态定义为状态1，部件完全正常状态定义为状态K。且部件状态满足如下性质[17]：

1)系统必须处于某种功能状态；

2)系统只能处于一种功能状态。

(1)

对多项分布的概率密度函数进行变换：

(2)

(3)

其中，f(yj|pj)为二项分布密度函数；f(y′|p′)为K-1维多项分布，即

(4)

(5)

=f(yj|pj)

(6)

式(6)表明，f(y|p)关于第j个状态的样本数yj的边缘概率分布服从二项分布，其概率密度函数为f(yj|pj)，即多项分布的参数估计问题可以简化为二项分布的参数估计问题。

根据式(4)，在n次试验中，单元器件功能处于状态j的概率置信下限可由式(7)确定[21]：

(7)

其中，Ix(a,b)为不完全β函数[21]。

对给定的置信度γ，单元器件状态j发生概率置信下限pjL可根据式(8)确定：

(8)

同样，根据式(8)，若给定置信度γ、状态j发生概率达到预先给定的下限pjL及试验的总数n，可计算出实验中状态j所需的最小样本数yj。

1.2贝叶斯方法

设有n件产品进行了实验，实验结果为y=[y1,y2,…,yk]T，其中，yk个样本处于第k个状态，则试验数据yk服从多项分布式(1)，设单元产品各状态概率p={p1,…,pk}的先验分布服从Dirichlet分布，则

(9)

其中，α={α1，…，αK}是参数向量；αk>0，k=1,2,…，K。Γ(·)为Gamma函数[22]。

根据Bayes理论，则p的后验密度为

(10)

(11)

其中，π(pj|αj)为Beta分布密度函数；π(p′|α′)为K-1维Dirichlet分布，即

(12)

(13)

若计算π(p|α)关于pj的边缘概率分布，则

=π(pj|αj)

(14)

由式(14)可知，π(p|α)关于状态j的发生概率pj的边缘概率分布服从Beta分布，其概率密度函数为π(pj|αj)。因此，Dirichlet分布的参数估计问题可以简化为Beta分布的参数估计问题。

置信度为γ的状态j发生概率置信下限pjL，可由式(15)确定[23]：

(15)

同样，根据式(15)，若给定置信度γ，状态j发生概率达到预先给定的下限pjL及试验总数n，可计算给出实验中状态j所需的最小样本数yj。计算结果可用于设计评估单元器件在给定电磁作用水平下，各状态发生概率达到预先设定下限的实验。

2算例分析

算例1：假设对某多态系统进行实验，设参与试验的器件总数为n，作用水平为x，实验后分别处于状态1(失效)的个数为y1，状态2(降级)的个数为y2，状态3(正常)的个数为y3。取n=5，置信度γ=0.9，分别根据经典方法和Bayes方法对单元器件各状态概率置信下限进行计算，结果如表1所列，其中，Bayes方法1和Bayes方法2分别表示不同α取值情况下的计算结果。

计算结果表明，先验信息对计算结果有较大的影响，当先验信息与当前实验信息不相符时，单元器件各状态概率置信下限的计算结果与实验现象的直观认识有较大的出入，这说明在应用贝叶斯方法解决小样本实验统计问题时，需要特别注意先验信息的选择，在没有更准确的先验信息时，可以选择无偏向的Jeffreys无信息先验，以保证对统计结论不带人为主观影响。

算例2 ：仍以算例1的3种状态情况为例，在给定置信度γ的情况下，计算验证单元器件失效概率达到预先给定的p1L时，出现失效实验结果所需的最小样本数y1。

表2列出了采用经典方法对实验所需样本量的计算结果(向上取整后的值)。由表2可以看出，单元器件失效概率p1L达到较高的要求时，用经典方法计算需要的验证实验次数较多，而实际上由于受到很多因素的限制，常常不可能进行大量的实验。

表1γ=0.9，n=5时，各状态不同样本量对应的概率置信下限

表2γ=0.9时，y1状态结果所需最少试验次数(经典方法)

表3列出了先验分布参数α=[0.5,0.5,0.5]时，采用贝叶斯方法对实验所需样本量的计算结果。由表3可以看出，在无信息先验情况下，单元器件失效概率达到预先给定的p1L时，实验所需样本量的计算结果与经典方法相差不大，说明无信息的先验分布并未对当前实验信息带来影响。

表3γ=0.9时，y1状态结果所需最少试验次数

表4列出了先验分布参数α=[10,1,2]时，采用贝叶斯方法对实验所需样本量的计算结果。

表4γ=0.9时，y1状态结果所需最少试验次数

α=[10,1,2]反映了对失效概率p1L的先验认识，根据Dirichlet分布均值的定义，p1L的先验均值估计[21]为

(16)

3结论

针对多态系统电磁脉冲易损性概率置信下限估计问题进行了研究，在实验样本数据为小样本多态型数据的情况下，建立了相应的贝叶斯评估方法，具体内容包括：

1) 基于经典统计方法给出了多态系统电磁脉冲易损性概率置信下限及效应实验达到给定状态概率所需最小样本量的计算方法。

2)给出了多态系统电磁脉冲易损性概率置信下限及效应实验达到给定状态概率所需最小样本量的贝叶斯方法。

3) 通过算例对文中提出的方法进行了验证和比较。在无信息先验条件下，贝叶斯方法与经典方法计算结果较为接近，此时，概率置信下限和所需最小样本量的估计结果主要依赖于当前实验信息；当先验信息具有显著倾向时，若当前实验信息与先验信息一致，则基于贝叶斯方法的概率置信下限计算结果更加准确，且所需最小样本量明显少于经典统计方法。应用贝叶斯方法时，对先验信息应进行严格的甄别，避免引入不符合实际的人为主观假设，以至于影响对效应实验数据的统计分析结论。

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Susceptibility Assessment of Multi-State System to EMP with Lower Confidence Limit of Probability Based on Bayesian Method

LIU Yu,HAN Feng,LU Xi-cheng

(Northwest Institute of Nuclear Technology,Xi’an710024,China)

An assessment method of the lower confidence limit of probability based on Bayesian theory, which can be used in the susceptibility assessment of the electronic system to electromagnetic pulse (EMP), is proposed. According to the multi-state phenonmenon of the electronic system and the feature of its EMP effects, the derivations of full probability formula from multinomial and Dirichlet distribution are discussed. The lower confidence limit of each system state probability and the least number of trials with given probability can be determined by using the proposed method. A case demonstrates that, the differences between the results of the proposed method and the classical statistical method are not significant with the non-information prior. But when the prior information is strictly according to the sample information of current experiments, the accuracy of the estimation of each system state probability is improved and the requirement of the number of trials is reduced by the proposed method.

Bayesian method;multi-state system;susceptibility;lower confidence limit of probability

2016-05-12；

2016-07-12

国家自然科学基金重点资助项目(61231003)； 国家自然科学基金青年基金资助项目(61201090)

刘钰(1982- )，男，陕西西安人，助理研究员，博士研究生，主要从事系统辐射效应评估研究。

E-mail:liuyu05@nint.ac.cn

TN07;N945.17

A

2095-6223(2016)031201(6)