关于不定方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)解及其性质的研究

常 秀 芳

(山西大同大学煤炭工程学院，山西 大同 037003)



关于不定方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)解及其性质的研究

常 秀 芳

(山西大同大学煤炭工程学院，山西 大同 037003)

目的探求不定方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)正整数解的形式及该方程解所具有的性质。方法由于方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)为三元不定方程，因此方程的解可以看成是三维空间的坐标(a,b,c)。又因为该方程本身具有对称性等特性，所以方程必有零解和直线解。为进一步研究解的特征，给出方程的同族解、相邻解、奇异解与非奇异解、互质解等概念。在同族解中，已知其中的一组解，其余5组解便知。方程的正整数解即为非奇异解，是三维空间在第一卦限内一点的坐标。对这些概念进行剖析探究可得到方程解的形式与结构所蕴涵的特性。结果通过对同族解、相邻解、奇异解与非奇异解、互质解等概念的研究，得出方程的最简单的解和互质解谱图的重要结果。又从最简单的解和互质解谱图可推导出方程一系列解的性质。结论方程可由最简单的解(4,1,1)和互质解谱图求出方程全部解的结果。

相邻解;奇异解;互质解;解谱图

关于方程[1-3]

x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)

(1)

的任何一组正数解：x=a,y=b,z=c，都可以看成是三维空间的一点的坐标(a,b,c)。由于方程的左端总是非负的，因此可知方程的解除零解外，a、b、c必同时为正，或同时为负。只要把(a,b,c)写成(|a|,|b|,|c|)即同为正，所以下面只研究正数解的情形。若(a,b,c)是方程的解，由方程的对称性知，方程必定存在(a,c,b)、(b,a,c)、(b,c,a)、(c,a,b)、(c,b,a)的5组解，这6组解实际是三维坐标a,b,c的不同的排列，只与坐标值有关，而与其次序无关，这6组解不妨称为同族解。在同族解中，已知其中的1组解，其余5组解便知。规定方程的解指的是同族解中的1组解，同族解当中另外5组解不作研究。

1　关于方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)解的概念

1.1相邻解

如果(a,b,c)是方程(1)的一组正数解，则a必为方程

φa(x)=x2-2(b+c)x+(b-c)2=0

(2)

的一个正数根，且一定存在另一个根a′，由一元二次方程根与系数的关系知

a+a′=2(b+c)aa′=(b-c)2

若a′>0，(a′,b,c)也是方程(1)的一组正数解。规定这一数组(a′，b,c)称为方程(1)的解(a,b,c)的a的相邻解，即(a,b,c)与(a′,b,c)互为相邻解。

同理，方程(1)的一组正数解(a,b,c)中，b也有相邻解(a,b′,c)。同样c也有相邻解为(a,b,c′)。

结论：如果已知方程(1)的一组正数解，则方程(1)必有3组相邻的正解。

1.2零解

因为x=0,y=0,z=0满足方程(1)，所以方程(1)必有一组解(0,0,0)，称该组解为方程的零解。

1.3奇异解

由于所关注的是方程(1)的正整数解，而方程(1)的任一组正整数解(a,b,c)都是三维空间在第一卦限内一点的坐标。因此，如果方程(1)的解至少有1个坐标值为零，就不予考虑，应把它剔除掉。所以，规定在方程(1)的解(a,b,c)的相邻解当中，只要有1个坐标值分量为零，则称解(a,b,c)为方程(1)的奇异解，否则称为非奇异解。显然，零解是方程(1)的奇异解，方程(1)的正整数解即为非奇异解。

在方程(1)的解(a,b,c)当中，若有2个坐标值相等，不妨设b=c，可得一解(4,1,1)，称(4,1,1)为方程最简单的解。将之代入(2)式可得关于4的相邻解(0,1,1)，显然(4,1,1)是奇异解。

1.4直线解

直线x=y=z上的点的坐标都是方程(1)的解，即方程(1)有无限多组正整数解，称为方程的直线解。

1.5互质解

在方程(1)的解(a,b,c)当中，若3个坐标两两互质，则称该组解为互质解。

2　关于方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)解的性质

性质1如果方程(1)有1组解(a,b,c)，则(ka,kb,kc)也是方程(1)的解[4，5]。

性质2在方程(1)的解中，如果有2个坐标分量值相等，则必得奇异解，而且奇异解只有1个相邻解。

特别地，非奇异解(a,b,c)有3个相邻解(a′,b,c)、(a,b′,c)、(a,b,c′)，其中a′、b′、c′可由下式求得

不妨b=c，可得(4b,b,b)，由性质1得奇异解(4,1,1)，又由

42+y2+12=2(4y+y+4)

得奇异解(4,1,1)的1个相邻解(4,9,1)。该相邻解(4,9,1)除去(4,1,1)外，还有(16,9,1)、(4,9,25)的2个相邻解。

性质3在方程(1)的解(a,b,c)中，如果3个坐标值最大公因子为1，则解的3个坐标值必为两两互质。

如果a与b有1个大于1的公因子d，则d也必是c的因子，这与a、b、c的最大公因子为1相矛盾。故a、b、c两两互质。

性质4互质解的相邻解也是互质解。

若(a,b,c)是互质解，在它的3个相邻解(a′,b,c)、(a,b′,c)、(a,b,c′)中，不妨设(a′,b,c)不是互质解，则a′与b，或a′与c必有1个大于1的公因子d，两者必居其一。不妨设a′与b有公因子d>1，则a′=nd、b=md。由韦达定理知aa′=(b-c)2，即aa′=and=(b-c)2=(md-c)2=m2d2-2mdc+c2，所以d|c2。从而b与c有1个大于1的公因子d，而与(a,b,c)互质产生矛盾，故(a′,b,c)是互质解。

性质5在方程(1)的互质解(a,b,c)当中，a、b、c 3个量必两奇一偶。

性质6在方程(1)的互质解(a,b,c)中，a,b,c均为平方数。

由下面方程

可得

因为(a,b,c)是方程的互质解，那么3个坐标分量a、b、c必然是两两互质的正整数，所以a、b、c必然都是平方数。

性质7在方程(1)的非奇异解(a,b,c)的3个相邻解中，只有1个解的最大坐标比原来的小，另2个具有较大的最大坐标。

证明：假如a>b>c,设φa(x)=x2-2(b+c)x+(b-c)2=0的2个根为a和a′。

由于

(b-a)(b-a′)=φa(x)=b2-2(b+c)b+(b-c)2=-c(4b-c)<0

所以b介于a与a′之间，则a>b>a′，故(a′,b,c)的最大坐标小于(a,b,c)的最大坐标。

同理，因

(a-b)(a-b′)=φb(a)=a2-2(a+c)a+(a-c)2=-c(4a-c)<0

可知，a位于b与b′之间，而a>b，那么b′>a，所以(a,b′,c)的最大坐标就大于(a,b,c)的最大坐标。对于(a,b,c′)的情况可同理推出。

性质8方程(1)的任意1组互质解都可由奇异解(4,1,1)推得，即方程(1)的任何互质解都与奇异解(4,1,1)存在必然的联系。

假设(a,b,c)是方程(1)的互质解，由性质4及性质7可得，它必有互质的相邻解(a1,b1,c1)，而且具有较小的最大坐标值。若这个解是非奇异解，则它又能产生互质的相邻解(a2,b2,c2)，具有更较小的最大坐标值。将这个过程继续下去，在自然数范围内是不能形成从大到小无穷递减的，因此在推导过程中，必在某个互质解具有相同坐标时停止，即该解为奇异解(4,1,1)。从而从奇异解(4,1,1)出发，就能逐步地并且无遗漏地得出方程(1)的全部互质解来，再由性质2得到方程(1)的全部解。

奇异解(4,1,1)的非奇异互质解是(4,9,1)，而且(4,9,1)是所有非奇异互质解中最小的。由非奇异互质解(4,9,1)开始，每2个坐标不变，可得方程全部的互质解，如图1所示。

不妨称此图为方程(1)的互质解谱图，解谱图很容易进行计算机运算，并得到应用与推广。

性质8在解谱图的坐标反复轮换的一系列相邻解中，其坐标平方根的序列里包含着菲波纳契(Fibonacci)数列。

由性质6知，解谱图中的任意一组解的3个坐标都是平方数，故解谱图中的任一解可设为(a2,b2,c2)的形式，则a2是二次方程φa2(x)=x2-2(b2+c2)x+(b2-c2)2=0的一个根。设另一个根为a′2，有

图1　方程的互质解谱树图

设a2=(b-c)2，a′2=(b+c)2，其中a,a′，b,c>0，那么

同理，分别由方程

可推得

于是得其坐标平方根序列为

c1=b1+c1=2b0+3c0a2=b1+c1=3b0+5c0

设F1=b0,F2=c0,F3=a1,F4=b1,F5=c1,F6=a2,F7=b2,F8=c2,…，故有递推公式

当b0=c0=1时，即F1=F2=1，则{Fn}就是菲波纳契(Fibonacci)数列。

[1]华罗庚.数论导引[M].北京：高等教育出版社，1957：9-80.

[2]闵嗣鹤，严士健.初等数论[M].北京：高等教育出版社，1986：21-49.

[3]李高，常秀芳.关于二阶变系数线性微分方程求解法的研究[J].河北北方学院学报：自然科学版,2010,26(06)：12-14,19.

[4]李高，李殊璇,常秀芳.二阶变系数线性微分方程可解的研究[J].河北北方学院学报：自然科学版,2013,29(02)：1-2.

[5]常秀芳，李高.Taylor幂级数直接展开的新方法[J].河北北方学院学报：自然科学版,2013,29(05)：1-3.

[6]李高，常秀芳.二阶变系数线性微分方程及其衍生方程[J].河北北方学院学报：自然科学版,2011,27(05)：13-15.

[7]常秀芳，李映波,李高.关于一阶矩阵的再认识与诠释[J].山西大同大学学报,2015,31(04)：9-11.

[责任编辑：关金玉英文编辑：刘彦哲]

Solution to Indefinite Equation x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)and Its Property

CHANG Xiu-fang

(School of Coal Engineering,Shanxi Datong University,Datong,Shanxi 037003,China)

ObjectiveTo explore forms of positive integer solutions of indefinite equation x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)and the properties of the solutions.MethodsThe solution to this triple indefinite equation x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)can be regarded as a three-dimensional space point coordinates(a,b,c).And the symmetry of the equation makes it certain that this equation has zero solution and linear solution.To facilitate the further study on the characteristics of the solution, the kin solution,adjacent solution,singular solution,nonsingular solution,and co-prime solution of equation are given.Then with a set of known kin solutions,the remaining five sets of solutions are known.The positive integer solutions of equations(the non singular solutions),are coordinates of point of three-dimensional space in the first diagram.Exploration of these concepts leads to the features contained in the structures and the forms of equations.ResultsBy analysis on the kin solution,adjacent solution,singular solution,nonsingular solution and co-prime solution of equation,the simplest solution of equation and co-prime solution spectra were concluded.And from the simplest solution and co-prime solution spectra,the properties of a series of the solutions to the equation were deduced.ConclusionFrom the simplest solution(4,1,1)and co-prime solution spectra,all solutions to the equation can be deduced.

adjacent solution;singular solution;co-prime solution;solution spectra

常秀芳(1965-)，女,山西应县人,副教授,研究方向：大学工科数学教育教学与研究。

O 156.4

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2016.09.002