分类讨论讲策略 解题之后需反思

许毓桐　姜慧玲　庞彦福

暑假期间，我在做“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷时遇到一个问题：

方程|x-5|+4|y+2|=10的整数解共有（ ）。

A.4个 B.8个 C.10个 D.16个

显然，这是一个与二元一次方程的解、绝对值的应用有关的问题，是我们学过的内容。

根据绝对值的意义，可知|x-5|≥0，|y+2|≥0。于是先由|x-5|≥0（x为整数）想到|x-5|的值有11种情况。即|x-5|=0或|x-5|=1或|x-5|=2或|x-5|=3或|x-5|=4或|x-5|=5或|x-5|=6或|x-5|=7或|x-5|=8或|x-5|=9或|x-5|=10。这样就得到x的整数值共有21个。把x所有可能的整数值一个一个找出来后，再分别求出对应的y值，然后结合题目条件排除y的非整数值，就能得到方程的整数解共有10个。

正当我为自己能解决竞赛题而高兴时，突然想到：这又不是后面的大题，怎么可能会如此麻烦呢？难道自己走了弯路吗？还是再检查检查吧。

|x-5|是非负数，|y+2|也是非负数，|x-5|与4|y+2|的和为10，x、y为整数，所以|x-5|的值应该有11种情况，嗯，是做到不重不漏了。而对于4|y+2|，它的值不仅是非负数，而且还应当是整数。噢，知道了！根据题意，不能将4|y+2|分开，而要将其作为一个整体来考虑。

对于式子|x-5|+4|y+2|=10。如果从|x-5|人手，x取整数时，它的值确实有11种情况，得出x的整数值有21个，这虽然是正确的。却并不简捷。如果从4|y+2|开始考虑的话，|x-5|的值的情况就比较少了，从而可以减少解题步骤。y为整数，则4|y+2|的值只能有3种情况，即4|y+2|=0或4|y+2|=4或4|y+2|=8，从而可以得到y有5个整数值，接下来求出对应的x的整数值，这样既做到了不重不漏，又减少了麻烦。

解：由|x-5|+4|y+2|=10，x，y为整数，可得4|y+2|=0或4|y+2|=4或4|y+2|=8。

当4|y+2|=0时，|x-5|=10。于是解得x=15，y=-2；或X=-5。y=-2。

当4|y+2|=4时，|x-5|=6。于是解得x=11。y=-1；或x=11，y=-3；或x=-1，y=-1；或x=-|，y=-3。

当4|y+2|=8时，|x-5|=2。于是解得x=7，y=-4；或x=7，y=0；或x=3，y=-4；或x=3，y=0。

所以该方程的整数解共有10个。

指导老师点评：学习数学。一定要注重理解。对于所学知识理解了，掌握了，解决问题也就有了方法，有了策略。解题讲究方法与策略。就能减少不必要的麻烦。解题后要多反思，将好的方法借鉴、应用到以后的学习中。解题不仅要保证正确，还要追求简捷。

责任编辑：潘彦坤