微积分在天线伺服控制系统中的应用

彭世林,周洪波,贾艳梅

(1.安徽省无为县第一中学，安徽 芜湖 238326; 2.中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北 石家庄 050081;3.河北省沧州水文水资源勘测局，沧州 061000)



微积分在天线伺服控制系统中的应用

彭世林1,周洪波2,贾艳梅3

(1.安徽省无为县第一中学，安徽 芜湖 238326; 2.中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北 石家庄 050081;3.河北省沧州水文水资源勘测局，沧州 061000)

本文从三方面阐述微积分在天线伺服控制系统中的应用：1)微积分在天线建立动力学模型上的应用；2)微积分在天线伺服环路控制中的运用；3)麦克斯韦方程

微积分； 天线； 拉格朗日方程； 动力学； 伺服控制； 麦克斯韦方程

自从十七世纪以来，数学进入了“变量数学”时代，微积分理论被牛顿等无数数学家逐步完善。随着科技的发展，微积分的应用场合越来越多。在天线系统中的运用日益重要。本文重点介绍：1)微积分在天线建立动力学模型上的应用(重点基于拉格朗日原理，广义哈密尔顿原理来阐述)；2)微积分在天线伺服环路控制中的运用(重点介绍PID校正，模糊控制校正等)；3)麦克斯韦方程(重点阐述微积分在电磁学的物理意义)。

1 微积分在天线动力学模型建立上的应用

微积分在动力学模型建立中，起到至关重要的作用，关于天线动力学模型建立方面，无论是哈密尔顿原理、广义哈密尔顿原理、拉格朗日原理、牛顿-欧拉方程、有限元、Kane方法等，都用到微积分。

广义哈密尔顿原理，应用场合为柔性体动力学微分方程。通过得到系统的动能和势能以及非保守力所做的功。

从实质上来讲，利用广义哈密尔顿原理还是利用拉格朗日原理建立系统的动力学模型，其方法实质是一样的，只是适应的场合不一样罢了，都是利用微积分学。

牛顿欧拉公式，物理意义明确，但是微积分方程数量大。

从高斯极小值出发，高斯极小值的特点是将系统作为整体来考虑，在建模中不出现约束反力。同时，这种方法提供了不必建立运动微分方程，可直接应用优化计算法的新途径。

Kane方法，Kane方法是从Alembert原理导出的分析力学方法出发。其特点是理想约束力(或力矩)在微积分方程中自然不出现，建立微积分方程相对容易。在典型动力学系统中，其建模首先应该满足拉格朗日原理或者(广义)哈密尔顿原理，所得到的模型通常是一组高度非线性的偏微分—积分方程。

无论是哪种建立模型的方法，都是用到微积分。以拉格朗日原理来说，就是对拉格朗日函数，分别对自由度求偏导后再对连续时间求微分。得到如下拉格朗日方程:

其中L为拉格朗日函数，是总动能与总势能之差。

2 微积分在环路控制中的应用

在天线伺服环路控制中，无论是古典控制还是经典控制，微积分都广泛使用。

2.1 PID控制

PID控制(Proportion Integration Differentiation.比例-积分-微分控制器)，由比例单元P、积分单元I和微分单元D 组成。通过Kp， Ki和Kd三个参数的设定。PID控制主要适用于基本线性和动态特性不随时间变化的系统。

PI控制系统原理图

PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值yd(t)与实际输出值y(t)构成控制偏差

E(t)=yd(t)-y(t)

PI的控制规律的时域表达式为：

PID的控制规律的频域传递函数为：

实际运用中，采用PI控制。即把上面的式子中的微分项。

2.2 模糊控制

图2 模糊控制原理图

微积分在模糊控制中起到广泛的应用，无论是模糊控制输入量的确定、模糊化、隶属度函数、模糊规则等，都用到微积分。

3 微积分在天线电磁学中的应用

在天线设计中，电磁学是天线设计的基础，而麦克斯韦方程组是电磁学的基础，麦克斯韦将电磁场基本定律归结为四个微分方程，这就是著名的麦克斯韦方程组

∫sB·ds=0

∫sD·ds=∫sρdν

麦克斯韦在全面地审视了库仑定律、毕奥-萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。可见微积分在电磁学中的应用非常重要。每个方程的物理意义，都充分说明了，微积分在电磁学中的应用之广泛。

第一个方程是由安培环路定律推广而得的全电流定律，在稳恒磁场中，磁感应强度B沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流的代数和乘以磁导率。其含义是：磁场强度H沿任意闭合曲线的线积分，等于穿过此曲线限定面积的全电流。等号右边第一项是传导电流．第二项是位移电流。第二个方程是法拉第电磁感应定律的表达式，它说明电场强度E沿任意闭合曲线的线积分等于穿过由该曲线所限定面积的磁通对时间的变化率的负值。这里提到的闭合曲线，并不一定要由导体构成，它可以是介质回路，甚至只是任意一个闭合轮廓。第三个方程表示磁通连续性原理，说明对于任意一个闭合曲面，有多少磁通进入盛然就有同样数量的磁通离开。即B线是既无始端又无终端的；同时也说明并不存在与电荷相对应的磷荷。第四个方程是高斯定律的表达式，说明在时变的条件下，从任意一个闭合曲面出来的D的净通量，应等于该闭曲面所包围的体积内全部自由电荷之总和。

4 结束语

本文从三个方面阐述微积分在天线伺服控制系统中的应用：1)微积分在天线建立动力学模型上的应用；2)微积分在天线伺服环路控制中的运用；3)微积分在麦克斯韦方程组中的应用。

[1] 诸静.模糊控制理论与系统原理[M].北京：机械工业出版社，2005.

[2] Zhang Xueming，Li Guohou，Shao Feng，Bai Linfeng，Yang Qingjie，Zhang Wei，Application of Fuzzy Control in the Servo System.IEEE,2009.

[3] 李会锋,孙越,康妮,李强.模糊控制在雷达天线控制系统中的应用[J].飞行器测控学报,2005,24(4):71-75.

[4] 周洪波,贾艳霞.基于拉格朗日原理天线系统动力学模型建立[J].河北省科学院学报,2015，(2):6-8.

The application of differential calculus on antenna Servo-Control

PENG Shi-lin1, ZHOU Hong-bo2，JIA Yan-mei3

(1.WuweiNO.1MiddleSchoolofAnhuiProvince,WuhuAnhui238326,China;2.The54thResearchInstituteofCETC,ShijiazhuangHebei050081,China;3.HydrologyandWaterResourcesSurveyBureauofCangzhouCity,CangzhouHebei061000,China)

This paper expatiates differential calculus application on antenna Servo-Control in three sides.Firstly on dynamic mode of antenna;Secondly on Servo-Control;Thirdly on maxwell's electromagnetic equation.

Differential calculus;Antenna;Lagrange equation;Dynamic;Servo-Control；Maxwell’s electromagnetic equation

2016-07-21

彭世林(1982-),男,中级教师,主要从事数学教研及数学应用的研究.

周洪波(1990-),男，硕士，工程师，主要研究方向：天线伺服控制.

1001-9383(2016)03-0035-04

TN820

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