用正交变换化实二次型为标准形的初等变换方法

林琳

【摘要】正交变换法是将实二次型化为标准形常用的方法之一.本文介绍了一种利用初等变换求一个正交变换化实二次型为标准形的新方法，并进行了方法应用实例分析.

【关键词】实二次型；标准形；正交变换；初等变换

求一个正交变换将实二次型化为标准形通常采用的方法是，先求二次型矩阵的特征值，再对每一个特征值求出全部线性无关的特征向量，即求解与特征值对应的方程组（λE-A）X=0的基础解系，并将其进行施密特正交化，再单位化.由正交单位化的特征向量构成一个矩阵，此矩阵即为将二次型化为标准形的正交变换矩阵.这种方法的不足是需要解特征方程多次求解线性方程组，且施密特正交化公式较易忘记.本文介绍一种用正交变换化二次型为标准形的初等变换方法.

一、几个相关定理

定理1设A为n×n矩阵，秩（A）=r，且An×nEn×n→Bn×r0n×（n-r）*Pn×（n-r）其中对A做初等变换对E做相应的初等列变换即得右边的矩阵，且这里B是秩为r的列满秩矩阵.则矩阵P所含的n-r个列向量就是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系.

定理2n阶矩阵A的特征矩阵F（λ）=λE-A等价于其等价标准形B（λ），即存在可逆矩阵S（λ）与T（λ），使S（λ）（λE-A）T（λ）=B（λ）其中B（λ）=diag（φ1（λ），φ2（λ），…，φn（λ））. φi（x）∣φi+1（x），i=1，2，…，n-1.

定理3实对称阵A必与对角阵相似.

二、新的计算方法

设F（λ）=λE-A，且F（λ）E

→B（λ）P（λ）

，其中对F（λ）做初等变换对E做相应的初等列变换即得右边矩阵，且这里B（λ）为对角阵.B（λ）的主对角线上的全部元素的λ多项式的全部根恰为矩阵A的全部特征值.对于矩阵A的每一特征值λi，矩阵B（λ）中非零向量的列必构成列满秩矩阵.矩阵P（λi）中和B（λi）中零列向量对应的列向量是属于特征值λi的全部线性无关的特征向量.

设所求出的特征向量为α11，…，α1k1，…，αi1，…，αiki，…，αs1，…，αsks，它是一组线性无关的向量，以α′ij为列向量构造矩阵B=（aij），则B′B是一个n阶正定矩阵，必与单位矩阵E合同，即存在n阶可逆矩阵Q，使Q′（B′B）Q=E（1），即 （BQ）′（BQ）=E（2）.

（1）式说明，对矩阵B′B施行一系列的初等列变换（相应的初等矩阵的乘积为Q）及一系列的初等行变换（相应的初等矩阵的乘积为Q′），可成为单位矩阵；（2）式说明BQ的列向量组是一个标准正交基，BQ可以通过对矩阵B施行与对矩阵B′B所施行的相同的初等列变换求出.

于是得到求正交矩阵的初等变换的初等变换法：BB

B

→E

BQ

，其中对B′B做初等变换对B做相应初等列变换即得右边矩阵.

三、方法应用举例

例求一个正交变换将二次型f（x1，x2，x3）=2x21+5x22+5x23+4x1x2-4x1x3-8x2x3

化为标准形.

解 二次型矩阵

A=2[]2[]-2

2[]5[]-4

-2[]-4[]5

.

λE-A

E=λ-2[]-2[]2

-2[]λ-5[]4

2[]4[]λ-5

1[]0[]0

0[]1[]0

0[]0[]1

→

-2[]0[]0

0[]λ-1[]0

0[]0[]1[]2（λ-1）（10-λ）

1[]1[]2（λ-5）[]1[]2（9-λ）

0[]1[]-1

0[]0[]1

.

因此

B（λ）=-2[]0[]0

0[]λ-1[]0

0[]0[]1[]2（λ-1）（10-λ）

，P（λ）=1[]1[]2（λ-5）[]1[]2（9-λ）0[]1[]-1

0[]0[]1

.

显然A的特征值为λ1=1（二重），λ2=10.

当λ1=1时，B（λ1）P（λ1）

=-2[]0[]00[]0[]0

0[]0[]0

1[]-2[]4

0[]1[]-1

0[]0[]1

.

非零向量的列构成满秩矩阵，对应列向量的向量为：α1=（-2，1，0）′，α2=（4，-1，1）′.

当λ2=10时，同理求出对应特征向量α3=-12，-1，1′.

这里α1，α2，α3是线性无关的.以α1，α2，α3为列向量构成矩阵B，再求出B′B.

于是，得B′BB=5-90-91800094-24-121-1-1011→100010001-255235-1355435-2305323 ，即得P=-25[]5[]2[]35[]-1[]3

5[]5[]4[]35[]-2[]3

0[]5[]3[]2[]3

.

则P即是使二次型变为标准形的正交变换矩阵.因此得正交变换X=PY，使f=y21+y22+10y23.

【参考文献】

[1]丘维声.高等代数[M].北京：科学出版社，2013.

[2]汪庆丽.用矩阵的初等变换化实二次型为标准形[J].新疆教育学院学报，2001，17（2）.

[3]张钊.化二次型为标准形的几种方法[J].和田师范专科学校学报，2012，31（1）.

[4]李延敏，张力.用正交变换化实二次型为标准形的同步求解问题[J].大学数学，2011，27（5）.