考虑回收能力不足与回收品质量不确定的再制造成本优化

江 兵,陈志黄,陈芬虹

(合肥工业大学 管理学院,安徽 合肥 230009)



考虑回收能力不足与回收品质量不确定的再制造成本优化

江 兵,陈志黄,陈芬虹

(合肥工业大学 管理学院,安徽 合肥 230009)

文章针对再制造混合生产条件下的产品生产/再制造成本优化问题,考虑实际的回收能力不足和回收品质量的不确定性2种情况,建立了新的产品生产/再制造流程系统模型及相应的生产成本函数,推导出单位时间产品生产/再制造总成本关于时间和再制造比例的函数关系,并对其最优解情形进行理论分析和模拟验证,实现了逆向物流中的产品生产/再制造成本优化。将回收品质量的不确定性定义为回收品质量分布函数的不确定性,引入不确定性函数来衡量某个质量等级的概率,并对成本函数最优解特性进行理论分析和模拟实验,表明引入的质量不确定性函数可以更准确地描述回收品质量的不确定性所带来的成本函数变化。

逆向物流;再制造混合生产;回收能力;回收品质量;成本函数;成本优化

随着人们大力发展循环经济意识的不断增强,产品回收再制造受到了越来越多的关注,逆向物流这一新概念应运而生。逆向物流是指为价值恢复或处置合理而对原材料、中间库存、最终产品及相关信息从消费地到起始点的有效实际流动所进行的计划、管理和控制过程[1]。文献[2]将逆向物流分解为2大类:① 逆向物流(reverse logistics):物品从供应链下游向上游的运动所引发的物流活动;②废弃物物流(waste material logistics):将经济活动或人民生活中失去原有使用价值的物品,根据实际需要进行收集、分类、加工、包装、搬运、储存等,并分送到专门处理场所的物流活动。为了满足再制造需要而暂时闲置的资源称为逆向物流库存,与其是否存在仓库中、或者是否处于运动状态没有关系,将返回产品库存尽快恢复成可以再次使用的产品以最大限度实现其价值是逆向物流库存控制的目的。

国外关于逆向物流库存的研究开展得较早。文献[3]首次建立了一个回收/再制造的库存模型,即P(n1,1)策略;文献[4]引入了库存能力有限的概念,拓展了文献[3]的模型,对最终再制造产品比例进行限制;文献[5]假设需求稳定,在最终产品中一部分零件来自于再制造,一部分是新的来自于供货商,进而建立了一个关于生产/再制造的经济订货批量(economic order quantity,EOQ)模型;文献[6]考虑到生产成本和再生产成本的不同,研究了在多批次生产情况下库存最优问题,得到了与文献[5]相似的结果。上述研究大都把产品作为一个整体来进行回收并整体翻新,并没有考虑对产品进行拆解,将各个零件翻新用于再制造的过程，为此文献[7]指出了产品的再制造研究需要包括企业回收、拆解、储存和处理回收品等环节;文献[8]讨论了回收品和新零件库存优化问题;文献[9-10]考虑了新产品和再制造产品存在的质量差异, 讨论了在一定条件下可相互替代的情形;文献[11]提出了一个具有柔性生产和逆向物流操作的闭环供应链系统,假定生产和再制造速率取决于需求和库存,建立了一个确定最优补货周期的数学模型;文献[12]建立了在产品和再制造有限率下变质物品的两货栈逆向物流模型,借此探讨了存放再制造产品和新产品的自有仓库成本和租赁仓库成本的最优值;文献[13]根据不同的生产策略建立了及时生产制造环境下的再制造物流规划模型,探讨了再制造产品、购买的新产品以及需处理的回收再利用产品的数量与总成本关系;文献[14]假定回收品质量是服从均匀分布的随机变量,且废旧产品的再制造成本是固定的,讨论了不同环境下废旧产品回收策略选择问题。文献[11]将再制造成本中的可变成本和固定成本分别看成是线性和非线性的,得到了模型的最优化解。

我国在再制造逆向物流方面也有一些跟踪性的研究成果;文献[15]考虑了基于回收价格的再制造逆向物流系统, 将传统的库存模型和回收定价问题相结合, 利用回收价格控制回收率, 实现回收品的再制造;文献[16]研究了需求不确定环境下的再制造企业生产回收联合优化问题;文献[17]建立了质量不确定情况下的回收品采购批量及再制造排序策略模型;文献[18]研究了闭环供应链中一个订购周期内有多个再制造周期的库存问题;文献[19-20]运用图形评审技术(graphic evalvation and review technique,GERT)随机网络研究了废弃回收预测模型以及基于产品质量内生的制造/再制造最优生产决策相关问题。

综上所述,国内外关于逆向物流的研究经历了早期把产品作为一个整体来进行回收与翻新,到近期考虑对产品进行拆解、翻新而后用于再制造的研究过程,但是仍然将产品生产和再制造过程分开来进行,而实际生产过程往往不对零件进行区分,将翻新产品和新零件同等对待,最终产品中既有再加工零件又有新零件。

鉴于此,本文引入再制造混合生产新概念,即在生产过程中不区分新零件和再制造零件,在生产准备仓库中的零件是无差别的,在生产过程中两者同时被消耗,生产出的产品中同时含有新零件和再制造零件。在此条件下,分别考虑实际的回收能力不足对库存策略的影响,以及回收品质量的不确定性所带来的成本函数的变化,建立新的产品生产/再制造流程系统模型及相应的生产成本函数,据此分析总成本和生产周期及再制造比例之间的函数关系,以及回收品质量的不确定性所带来的成本函数的变化,通过求解成本函数最优解实现逆向物流中的产品生产/再制造成本优化。

1 考虑回收能力的成本优化

回收能力是指再制造企业回收用于再制造回收品的能力,一般通过回收率和再制造比例之间的关系来衡量。回收率为再制造企业实际回收数量占再制造所需回收品数量的比例,其中再制造企业所需的回收品数量根据再制造比例来确定。而当回收率小于再制造比例,即再制造企业所能回收的数量不能满足企业所需的回收数量时,可视为回收品能力不足。本文探讨在不同的回收率下,单位时间产品生产/再制造总成本关于时间和再制造比例的函数关系。

1.1 数学模型

混合制造条件下的产品生产/再制造成本与市场需求、回收品质量和回收品价格紧密相关,为了尽量符合实际情况,同时使模型适当简化以突出主要矛盾,具体作出如下假设:

假设1 市场需求是连续均匀的,单位时间市场需求量D是常数。

假设2 再制造的零件和全新零件没有区别。

假设3 在回收品的拆解再制造过程中,不考虑不能翻新回收品的处理。

产品生产/再制造流程大致可归纳为:

(1) 从市场进行回收品的回收,并储存于回收品库。

(2) 对回收品进行再制造处理,对于再制造需求的缺口将从次级市场紧急采购,这样会产生一个惩罚成本。

(3) 将再制造后的零件转移到生产准备仓库,同时将从供货商那里购买的新产品零件也放入生产准备仓库中。

(4) 利用生产准备仓库中的库存零件进行产品生产,供货到市场中去。

具体流程如图1所示。

对生产准备库中的生产零件进行成套管理,即以一个最终产品所需的一套零件为一个单位进行管理,生产准备仓库库存一个周期T内的库存成本H1为:

(1)

其中,D为单位时间市场需求量;h为最后产品单位时间单位产品的库存成本;T为一个生产周期时间。

图1 产品的生产/再制造流程

对于回收品库中零件的库存管理,要对每种零件单独进行。设ki为最终产品中第i种零件所需要的数量;Ri为第i种零件回收率,表示实际回收数量占再制造所需回收品数量的比例,且0≤Ri≤1;h为最终产品单位时间单位产品的库存成本;hi为第i种回收零件单位时间单位零件的库存成本;β为翻新零件数占最终产品中总零件数的比例,即再制造比例,且0≤β≤1;Tri为达到回收品回收要求数量所需理论时间。

对于第i种零件,其库存水平和时间的关系有3种情况,具体如图2所示。

图2 3种情况下回收品库存

情况1Ri=β,库存成本为:

(2)

情况2Ri>β,库存成本为:

(3)

情况3Ri<β,库存成本为:

(4)

易知Tri满足RikiDTri=βkiDT,即

为了使3种情况下成本表达式统一,引入二元变量Yi,当Ri>β时,Yi=0;当Ri≤β时,Yi=1,则零件i的库存成本Hi2可表示为:

(5)

一个生产周期T内的总成本W为:

(6)

其中，u为最终产品中所含零件的种类数目；Co为一个周期内固定生产成本；Cri为零件i的再制造成本；Cpi为全新零件i的采购成本；Coi为回收能力不足时从二级市场订购紧缺零件的额外成本,且有Cpi≥Cri+Coi。

单位时间生产/再制造成本w为:

(7)

将H1和Hi2及Tri代入(7)式则有:

(8)

1.2 实验研究

为了研究单位时间生产/再制造成本w随时间T和再制造比例β的变化规律,本文根据实际可能对模型中的参数作如下赋值(在此只研究函数的数量关系):

D=1 000,u=3,k1=3,k2=2,k3=5,

R1=0.2,R2=0.35,R3=0.47,h=0.3,

h1=h2=h3=0.05,Co=3 000,Cr1=10,

利用Matlab对单位时间成本最小值进行求解并绘出函数图像,具体如图3所示。由图3可见,随着再制造比例β的增加,成本w先减小后逐渐增加;同样,随着生产周期T的增加,成本w也是先减小后逐渐增加,在β=0.24、T=12时,单位时间成本最小,其值为w=440 831.98。

图3 成本函数w实验分析

为进一步揭示单位时间成本w关于生产周期T和再制造比例β的函数关系,分别作出β=0.24平面和T=12平面与成本函数曲面相交的曲线,具体如图4和图5所示。

由图4可见,当β=0.24时,w是关于T的连续函数,单位时间成本w先随着周期T的增加而急剧下降,在通过极小值点T=12后,w随着T的增加而缓慢上升。

由图5可见,当生产周期T=12时,单位时间成本w随着再制造比例β的增加而减小,在通过极小值点β=0.24后,w随着β的增加而上升。w关于β的函数是一个分段函数,在分段点处函数切线斜率有突变,函数的分段点则是和第i种零件的回收率Ri相关联的。

图4 β=0.24时w与T的函数关系

图5 T=12时w与β的函数关系

从以上的实证分析可以验证成本函数w在理论上存在关于再制造比例β和时间T的最优解,本文可以通过单位时间生产成本函数w计算出最优的β和T的值,据此制定使企业单位时间生产成本达到最小的生产计划。

2 考虑回收品质量不确定的成本优化

回收品质量的不确定性是指某个回收品本身的质量是不确定的,这种不确定性可以通过调查获得的质量分布函数来表示。将回收品的质量看成是服从某种分布的随机变量,回收品质量的不确定性就是分布函数中某一点位的概率的不确定性。检测后的废旧品或进行再制造、或废弃处理,且认为废旧品经过检测中心排序后其再制造所需成本为已知数。这样,再制造成本可看成是依赖于检测结果的一个函数,且在建立模型时成本是不固定的。

2.1 数学模型

回收品进入再制造仓库后,其质量由高到低分成j个等级(j=1,2,3，…，n),对应的再制造成本逐渐升高,也表明了再制造顺序。不同质量水平的回收品可用性取决于采购量,当采购量足够大时,可以根据回收品的等级优劣按照一定的比例再制造,而当采购量不足时,所有的回收品不论等级优劣都需进行再制造,所以采购决策影响再制造决策。当回收品种类过多、成本相近时,可增加统一采购比例，从而节约了采购带来的附加成本。

为了尽量符合实际情况,同时使模型适当简化，本文作出如下假设:

假设4 单位时间市场需求D为常数,考虑单周期生产过程。

假设5 回收品100%用于再制造,不考虑报废环节。

假设6 再制造品与新产品完全等同。

产品的回收再制造流程大致为:

(1) 从市场进行回收品的回收,进行质量分级,并储存于回收品库。

(2) 对回收品按照质量等级进行再制造处理,对于再制造需求的不足部分将从次级市场紧急采购,此时将产生一个惩罚成本。

(3) 将再制造后的零件转移到供货仓库,同时将从供货商那里购买的新产品零件也放入生产准备仓库。

(4) 利用供货仓库中的库存零件进行产品生产后供货到市场。具体流程如图6所示。

图6 产品回收再制造流程

总成本为：

(9)

生产准备成本为：

(10)

考虑维修库存成本为：

(11)

当回收品不满足需求时额外采购成本为:

(12)

按一定比例采购新零件成本为:

(13)

鉴于回收品质量分布函数的概率是一个统计量,对于一个有限的样本,该统计量存在误差,为了研究分布函数概率密度不确定性,引入以下记号:

(14)

(15)

其中，Ain表示质量等级n的第i种毛坯的数量,引入质量不确定算法，具体公式为:

(16)

将(16)式化简得:

(17)

其中，E[x]表示对括号中内容x求期望。

若x>0,则x+=x;若x<0,则x+=0。

根据中心极限定理及文献[10],此二项分布趋于正态分布,即有:

(18)

其中

(19)

将(19)式代入(17)式得:

(20)

根据Axsater的研究,期望函数等价于:

(21)

将(18)式代入(17)式得:

(22)

由(16)式和(17)式可知，回收成本和再制造成本为:

(23)

将(23)式代入(9)式得:

(24)

单位时间成本为:

(25)

为了研究单位时间成本函数的属性,分别对β、T求二阶偏导得:

(26)

(27)

由极值定理可知,w有关于β、T最优解。

2.2 算例分析

回收品质量水平可根据实际进行划分,本文将质量从高到低划分为6个等级,其一个生产周期准备成本依次为Ci1=2,Ci2=4,Ci3=6,Ci4=8,Ci5=10,Ci6=12,hr=8,hp=10,通过改变β和T得出总成本,确定最优决策。

设w*和w分别为回收品质量确定和不确定情况下单位时间再制造成本,两者对成本产生的误差对比见表1所列。

误差对比的计算公式为：

实际生产中,当采购的回收品种类过多时,必须重新分类确保生产质量水平,周期也随着生产需要而定,由于质量确定和不确定对成本预测有很大影响,因此考虑质量不确定得到的成本更加符合实际情况,也使最终求得的最优策略中成本更低。

表1 质量确定与质量不确定情况下成本产生的误差对比

3 结 论

本文讨论了混合制造条件下产品生产/再制造成本优化问题。首先考虑实际回收能力不足,建立了相应的产品生产/再制造流程系统与数学模型;针对实际存在的回收能力与回收需求的3种不同情况,推导出单位时间产品生产/再制造总成本关于时间和再制造比例的函数关系,运用数学分析得出成本函数关于时间和再制造比例的最优解,并通过实验实现了逆向物流库存的产品生产/再制造成本优化的最优解。然后考虑回收品质量的不确定,在成本函数中引入不确定性函数,通过对成本函数最优解特性进行理论分析和模拟实验,结果表明引入的质量不确定性函数可以更准确地描述回收品质量的不确定性所带来的成本函数的变化,并使最终求得的最优策略中成本更低。

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(责任编辑 万伦来)

Cost optimization in product remanufacturing considering insufficient recovery capacity and quality uncertainty

JIANG Bing,CHEN Zhihuang,CHEN Fenhong

(School of Management, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Considering the actual insufficient recovery capacity and quality uncertainty of remanufacturing, a new product manufacturing/remanufacturing process system and the corresponding mathematical model are established to solve the product manufacturing/remanufacturing cost optimization problem under the hybrid production conditions. Firstly, the optimization problem of manufacturing/remanufacturing cost in reverse logistics is solved by the function of production per unit time/remanufacturing total cost with respect to time and remanufacturing proportion, which is theoretically analyzed and simulated. Then the quality uncertainty of the recycled product is defined as the uncertainty of distribution function, which brings in the uncertainty function to measure the probability and uncertainty of certain quality level. It is proved that the quality uncertainty function can describe the changes of the cost function caused by the uncertainty of recycled product quality more accurately.

reverse logistics; remanufacturing hybrid production; recovery capacity; quality of recycled product; cost function; cost optimization

2015-05-29；

2016-02-29

国家自然科学基金重点资助项目(71331002)；安徽省软科学研究计划资助项目(1607a0202035)

江 兵(1959-),女,安徽桐城人,博士,合肥工业大学教授,硕士生导师.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.10.026

F253.4

A

1003-5060(2016)10-1425-07