一种迟滞Hammerstein系统的规定性能自适应控制

高学辉， 任雪梅， 郑锋， 王巧芝

(1.北京理工大学 自动化学院，北京 100081；2.山东科技大学 机电工程系，山东，泰安 271019)



一种迟滞Hammerstein系统的规定性能自适应控制

高学辉1，2， 任雪梅1， 郑锋2， 王巧芝2

(1.北京理工大学 自动化学院，北京 100081；2.山东科技大学 机电工程系，山东，泰安 271019)

为提高基于PI模型的迟滞Hammerstein系统自适应控制的控制精度，提出了一种新的规定性能函数. 根据规定性能函数将误差转化为收敛在预设邻域内的转换误差，设计规定性能自适应控制器并给出自适应率，选取合适Lyapunov函数保证所提出控制策略的收敛与稳定. 理论分析和仿真结果表明，本文所提出的规定性能函数在有效抑制迟滞影响的同时实现高精度控制.

规定性能；迟滞；自适应控制；Hammerstein系统

Hammerstein系统模型是描述非线性系统的常用模型，它由静态非线性环节和动态线性环节串联而成，如图1. 在实际应用中，Hammestein模型的静态非线性环节存在两种情况：结构未知和结构已知. 对于结构已知情况，典型的非线性结构有死区非线性、饱和非线性、迟滞非线性和间隙非线性等. 迟滞非线性现象广泛存在于智能材料、电磁系统、高精度伺服电机系统和微机电(MEMS)系统中，例如压电陶瓷、形状记忆合金、磁滞伸缩材料等都具有典型的迟滞特性. 随着对系统控制精度要求越来越高，其迟滞非线性的影响就变得越来越难以回避，对迟滞的研究也越来越重要.

图1 Hammerstein系统模型结构
Fig. 1 Structure of Hammerstein system

描述迟滞现象的模型可以粗略的分为两类：唯象模型和物理模型. 主要的唯象模型有Preisach模型[1]、KP模型[2]和Prandtl-Ishlinskii (PI)模型[3]；物理模型主要有Jiles-Atherthon模型[4]、Bouc-Wen模型[5]等.

PI模型是描述迟滞现象的最重要的唯象模型之一. 许多学者对其进行了深入研究，提出了不同控制策略，从总体看，可以分为逆补偿控制策略和无逆补偿自适应控制策略. Liu等[3]针对逆PI迟滞模型，提出了一种鲁棒自适应控制策略并给出了严格证明；Mohammad等[6]研究了压电陶瓷执行器的频率无关PI模型逆补偿控制，提出了一种前馈补偿控制策略采用频率无关逆PI迟滞模型控制压电陶瓷执行器；而Tan等[7]则提出了一种扩展的PI算子描述压电陶瓷执行器的迟滞现象以克服病态条件下的迟滞控制问题.

不同于以上逆模型前馈补偿控制，Su等[8]采用一种针对PI模型的自适应控制策略处理迟滞非线性问题，而杜娟等[9]用扩展PI模型自适应控制解决形状记忆合金驱动的微纳定位系统. 但是针对精度如何控制问题，以上文献均未讨论.

本文研究一类Hammerstein系统，其迟滞非线性环节采用扩展PI模型描述. 与上述研究不同，本文提出了一种新的预先设定的规定性能函数(PPF)，通过该PPF函数将误差转化为在预设收敛区间的转换误差，在此基础上设计无需逆模型的自适应控制器，并选取合适Lyapunov函数，保证所提出的控制策略正确有效.

1 系统描述

考虑如下Hammerstein系统，

(1)

式中：x为状态空间变量；y为系统输出；u为系统输入；v为非线性迟滞环节输出，同时是线性环节输入；A，B，C分别为线性环节状态空间系数矩阵；v(t)=f(u(t))为迟滞非线性环节，本文用PI模型表示，描述如下[3]：PI模型是由Play算子或者Stop算子加权叠加而成. 每个Play或Stop算子由阈值r确定.

(2)

式中：gmr(u，ωm)=max{u-r，min{u+r，ωm}}，ti≤t≤ti+1，0≤i

根据式(2)Play算子的定义，PI模型可定义为

(3)

控制器的设计目标是设计相应控制器u(t)使式(1)中信号x(t)能够跟踪参考信号xm(t)，且跟踪误差收敛于规定性能函数. 参考信号xm(t)定义为

(4)

式中：m(t)为期望输入；Am∈n×n且渐进稳定并满足：

det(sI-Am)=Rm(s)=(s+k)R(s)，

式中：k>0，R(s)为Hurwitz多项式.

2 控制器设计

2.1 误差转换

根据文献[8，10]，为了设计自适应控制器，做如下合理假设.

(5)

式中(A，B)可控.

定义参考模型及系统之间的误差为

(6)

根据式(1)(4)(5)可得

(7)

为了简化控制器的设计，将式(6)由矢量形式简化为标量形式.

根据文献[10]，如下引理成立.

(8)

式中：k>0；R(s)为Hurwitz多项式，则

① 存在h，使得

(9)

② 令X=hTx，若X∈L∞，则x∈L∞；

根据引理1中式(9)，存在h，使得

(10)

则可将矢量误差转化为标量误差

(11)

且

(12)

2.2 规定性能函数

为使误差es(t)收敛于规定范围内，定义一个正下降光滑函数ρ(t):+→+且为

(13)

式中：β为期望误差范围下降速度参数；ρ∞为期望的稳定误差；ρ0>ρ∞，β>0.

根据文献[11]，规定误差范围为

(14)

为了更好地设计自适应控制器使其误差收敛于性能函数，引入如下误差转换，将标量误差es(t)转换为

(15)

根据式(15)可知，S(z)为严格单增函数. 根据式(13)，存在ρ(t)>ρ∞>0且下式成立

(16)

为了能够使误差收敛于规定范围，定义如下函数满足式(15)

(17)

则可求得

(18)

式中：

γ(t)=-kρ(t)+βρ(t)-βρ∞.

2.3 控制器设计

针对所跟踪的系统和定义的规定性能函数，控制器设计如下

(19)

为了方便设计控制器，定义变量

(20)

(21)

定理1 Hammestein系统(1)的非线性环节由式(3)确定，如果采用鲁棒自适应控制(19)和自适应律(21)，则系统误差收敛于规定性能函数(14).

证明 定义Lyapunov函数如下

(22)

则有

(23)

将自适应律(21)代入式(23)，得

(24)

所以Lyapunov函数非增，系统误差收敛于规定性能函数. 证毕.

3 仿 真

考虑迟滞系统如下

(25)

式中：

对于迟滞非线性环节，采用式(3)PI模型，参数取值为：pm0=0.5，pm(r)=0.5e-0.001 5r2，r∈[0，100]. 对应参考模型为

参考输入选择m(t)=sin(0.2πt)，采用两种方法对迟滞系统进行跟踪控制，一种是本文提出的规定性能自适应控制，另一种是普通模型参考自适应控制. 控制结果分别如图2和图3所示.

图2为规定性能自适应控制跟踪轨迹及误差图，图中可以看出控制输出可以很好地跟踪参考信号，并且跟踪误差收敛于规定误差范围内，其中绝对平均误差为0.017 6. 而图3为普通模型参考自适应控制，从图中可得控制输出也能较好地跟踪参考信号，但是误差无法收敛于规定范围且存在残差，其绝对平均误差也仅仅达到0.078 3.

比较规定性能自适应控制和普通模型参考自适应控制可知，规定性能自适应控制结果明显优于普通模型参考自适应控制，验证了本文所设计控制策略的正确性和有效性，在有效抑制迟滞影响的同时实现了高精度控制.

4 结 论

针对一类带有迟滞的Hammerstein系统自适应控制进行研究，介绍了描述Hammerstein系统非线性迟滞的扩展PI模型，针对Hammerstein系统模型将矢量误差转换为标量误差. 为了提高控制精度，提出了一种新的规定性能函数，该函数可以很好地描述误差收敛范围并且保证系统的稳定性. 在规定性能函数下，本文设计了自适应控制器并给出了相应控制率，通过Lyapunov函数保证所设计控制器的收敛和稳定. 最后通过仿真验证了该方法的正确性和有效性.

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[6] Mohammad A J， Krejei P. Inverse rate-dependent Prandtl-Ishlinskii model for feedforward compensation of hysteresis in a piezomicropositioning actuator[J]. Mechatronics， IEEE/ASME Transactions on， 2013，18(5):1498-1507.

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[9] 杜鹃，冯颖，胡跃明.基于形状记忆合金驱动器的微纳定位系统鲁棒自适应控制[J].控制理论与应用，2011，28(4):479-484.

Du Juan， Feng Ying， Hu Yueming. Robust adaptive control for nanopositioning system based on shape-memory alloy actuators [J]. Control Theory & Applications, 2011，28(4):479-484.(in Chinese)

[10] Wang X S， Hong H， Su C Y. Model reference adaptive control of continuous-time systems with an unknown input dead-zone[J]. IEE Proc-Control Theory Appl， 2003，150(3):261-266.

[11] Na Jing， Chen Qiang， Ren Xuemei， et al. Adaptive prescribed performance motion control of servo mechanisms with friction compensation[J]. Industrial Electronics， IEEE Transactions on, 2014，61(1):486-494.

(责任编辑：李兵)

Prescribed Performance Adaptive Control for Hysteresis Hammerstein System

GAO Xue-hui1，2， REN Xue-mei1， ZHENG Feng2， WANG Qiao-zhi2

(1.School of Automation， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China; 2.Department of Mechanical and Electrical Engineering， Shandong University of Science and Technology， Tai’an， Shandong 271019，China)

In order to improve the control performance， a new prescribed performance function (PPF) was proposed for Hammerstein system where the hysteresis nonlinearity was described by Prandtl-Ishlinskii (PI) model. Based on the PPF， the tracking error can be transformed into transformed error to converge a prescribed neighborhood. Moreover， a prescribed performance adaptive controller was designed and the control law was derived. Next， an appropriate Lyapunov function candidate guarantees the stability of the Hammerstein system. Finally， theory analysis and simulation results demonstrate that the proposed PPF not only restrains the hysteresis effectively， but also achieves the high precision control.

prescribed performance; hysteresis; adaptive control; Hammerstein system

2014-11-21

国家自然科学基金资助项目(61273150，61321002，61433003)；国家教育部高等学校博士学科点专项科研基金资助课题(20121101110029)

高学辉(1975—)，男，讲师，博士生，E-mail:xhgao@163.com.

任雪梅(1967—)，女，教授，博士生导师，E-mail:xmren@bit.edu.cn.

O 231

A

1001-0645(2016)04-0412-05

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.04.014