解一道2015年高考数学试题的心路历程

☉湖北省枣阳市第二中学　龚兵

解一道2015年高考数学试题的心路历程

☉湖北省枣阳市第二中学龚兵

2015年高考湖北卷理科第14题：如图1，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2.

（1）圆C的标准方程为_________.

（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：

图1　

其中正确结论的序号是_________（写出所有正确结论的序号）.

分析：初看此题第（2）问，感觉无从下手.仔细思考一下，作为客观题可以采取特值验证、归纳猜想等方法获取答案.回头再次认真思考一下，作为一道高考题，一定能按照常规解法，经过正确的推理、运算得出结果.几经思考、运算，终于获得该题的解答过程，现将此题解答的心路历程展示出来，以供大家参考.

解：（1）容易得到圆C的标准方程为（x-1）2+（y-

由综合仿真结果得，在复杂环境地图下，路径适应度于较少代数内部接近于当前网格密度下的最优路径解，经过两次增加网格密度后路径适应度明显进一步上升，最终达到6.4左右，且所得最终路径显然符合可行路径标准。可知改进算法有一定的可行性和有效性，且较标准遗传算法有较高的收敛效率与较好的寻优效果。

所以kNB+kMB=0，可知直线NB与MB关于y轴对称，即BA是∠MBN的角平分线，根据三角形内角平分线定理可得，结论①正确.

解后反思：上述解答是在经历烦琐的运算及艰难的思考、猜想、验证后得出正确答案的.显然，同学们在考场上不可能用此法运算.因此此题必有其独到的解法，抱着此种想法，再次审视此题，可探究得出更一般的解法.

经过运算可知，点M的轨迹恰好是圆x2+y2=1.

此时联想人教版普通高中数学必修2第124页的习题：已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离比为，求点M的轨迹方程.（答案为圆（x+1）2+y2=4.）由此可以看出此题的命制背景以及命题者的巧妙构思.

不妨将此题延伸得到圆的第二定义：到两个定点A，B的距离之比是正数λ（λ≠1）的点的轨迹是圆.

以下得到该题的另外解法：

由此知圆x2+y2=1上的任意两点M，N到的距离之比都等于，且比值λ=满足等式，此时很容易得出结论①②③都正确.