反分类讨论思想在函数问题求解中的应用

铁勇

【摘要】反分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，对数学问题的求解有一定的指导作用.结合数形结合、变量代换等反分类的讨论思想方式，通过给出典型实例，详细探讨反分类讨论思想在函数问题求解中的应用，体现出反分类讨论思想在求解有关数学问题中的一定的优越性和实用性.

【关键词】反分类讨论思想 函数问题 应用

一、引言

分类讨论思想是数学问题求解中的一种重要的数学思想方法，而与分类讨论思想相对立的反分类讨论思想在一些数学问题的求解中同样体现出一定的实用性和应用意义.本文结合数形结合、变量代换等反分类的讨论思想方式，通过给出典型实例，详细探讨反分类讨论思想在函数问题求解中的应用，体现出反分类讨论思想在求解有关数学问题中的一定的优越性和实用性.

二、反分类讨论思想的概念与特性

反分类讨论思想主要是抓住整体布局讨论的形式，与分类思想不同的是，它要求抓住问题的整体结构，把各种条件和结论整合起来，从整体去探讨问题求解的的一种不分类而整体解决问题的方法.运用反分类讨论思想分析问题，往往从整体上把握问题的实质，从而有利于正确找出解决问题的思路，达到解决问题的目的，并不是所有的问题都可以分类讨论，有些问题一旦分割开来讨论，就会出现不符合逻辑的情形。条件之间存在着相互制约和相互联系的特点，有些问题一旦脱离了某一个条件，分开讨论，结果必然大相径庭。在这种情况上，从整体讨论入手，就能很好地解决相关的问题。

三、反分类讨论思想在函数问题求解中的应用

（一）反分类思想应用于不等式和方程问题

不等式问题往往会有一个或几个参数，因此就会含有几个变量，其中一个变量在解题的过程中被称其为主变量.对于此问题，尽可能不要进行分类讨论，主变量的存在，依然要影响着其它变量，反过来其它变量也会制约着函数的结果.

例1 若0≤t≤3，使得不等式（x-1）t+x2-4x+3>0恒成立，求x的取值范围.

分析：在分析此问题时，如果把x看作主变量，利用求根公式或因式分解讨论x的取值范围，那么解题过程会比较复杂且容易出错，在这里，如果采用反分类思想，不妨设p为主变量，那么就会有f（t）=t（x-1）+x2-4x+3，同时，也会使得不论x处于x>1、x=1、x<1的任一种情况下，总有f（t）的图象都表示一条直线，这样变换主变量就不用分类讨论了；反而使得问题得到了有效的解决。

解答：把t看作主变量，设f（t）=t（x-1）+x2-4x+3，函数f（t）的图象表示在x范围内的一条直线，要使0≤t≤3时f（t）>0恒成立，只须在端点的函数值都大于0即可，而最终计算可得到x>3或x<0，即x的取值范围是（-∞，0）∪（3，+∞）。

例2 已知方程log2（mt2-2t+2）=2在[0.5，2]有实数根，求实数m的取值.

分析：方程log2（mt2-2t+2）=2在[0.5，2]内有实数根，也就是mt2-2t+2=4在[0.5，2]内有实数根，通过反分来讨论思想，可以通过分析实数m的取值范围，如果对m进行分类讨论，这样会使问题变得复杂化，并且繁琐的计算步骤，使得问题不能正确求解，当我们确定了t的取值范围以后，就可以把m变换为主变量来进行有效地求解问题，这样方法可以使得问题得到巧解，从而得到正确的结果。

解答： log2（mt2-2t+2）=2在[0.5，2]内有实数根，则m=2÷t2+2÷t在[0.5，2]内有x的实数根；设f（t）=2（1÷t+0.5）2-0.5，则t在[0.5，2]内是减函数，所以当t∈[0.5，2]时，m的取值为m∈[1.5，12]。

小结：对于某些特殊的不等式恒成立或方程恒有实数根的情形，求解或证明问题，可以通过变换主变量（把参数与主变量分离，进行反分类讨论）的方法，转化为讨论方程中函数的单调性的问题，这种有效的方法是分类讨论所不能达到的效果，从整体上做到不分割而统一讨论，从而形成正确的结果。

（二）反分类思想应用于实变函数问题

实变函数的问题的抽象性和证明的严谨性，决定了实变函数问题的探讨，需要寻求某种关联性紧密的求解方法才能有效地解决一些特殊的问题。下面通过两个实例来说明。

例3 一个无限集可以和它的一个真子集对等.

证明：（反证法） 假设可以和它的一个真子集对等的集合是有限集A，则根据有限集的定义，A和正整数的某一截段{1，2，3，…，n}（n是确定的正整数）对等，不妨设n=3，则A∪{1，2，3}，而{1，2，3}的真子集只有三个：{1，2}、{2，3}、{1， 3}，显然这三个真子集中任何一个都不能与{1，2，3}对等，就不可与A对等，与假设矛盾.则可以和它的一个真子集对等的不是有限集，而不是有限集的集合只能是无限集，因此，只有一个无限集才可以和它的一个真子集对等.

例4作为伯恩斯坦定理的应用，证明：设C B A，且A～C，则A～B～C.

证明：因为A～C B，且B～B A，则根据上面的定理得到A～B，故A～B～C.

小结：教材中提到的证法存在着明显的错误，因为题设的两个条件：C B A和A～C，仅用到了C B，就得到了C的一个子集C*～B，而B的一个子集B*～C，从而得到B～C。此证明过程中，B的一个子集B*～C，可以理解为B存在的子集B*是C，而C～C，但是不能说明C的一个子集C*～B，因为条件仅用到C B。此证法最终反映出的就是若C B，则必有B～C，这是错误的论断。上面的详细证明，也体现出整体讨论条件和结论之间的关系所呈现出的反分类讨论思想，即：给出的两个条件全部都体现到证明过程中，成为了有力的依据，从而得到正确的证明过程。

参考文献：

[1]吕传汉.数学的学习方法[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]陈鼎兴.数学思维与方法——研究式教学[M].南京：东南大学出版社，2011.