二维硅基蜂窝状空气环型光子晶体禁带特性研究

刘 丹，胡 森，肖 明，王 筠，童爱红，吉紫娟

(湖北第二师范学院 物理与机电工程学院 信息科学与技术研究院，武汉 430205)



二维硅基蜂窝状空气环型光子晶体禁带特性研究

刘 丹*，胡 森，肖 明，王 筠，童爱红，吉紫娟

(湖北第二师范学院 物理与机电工程学院 信息科学与技术研究院，武汉 430205)

构建了二维硅基蜂窝状空气环型光子晶体.采用平面波展开方法，得到了硅基蜂窝状空气环型光子晶体的能带结构，分析了空气孔半径及介质柱半径对完全禁带宽度的影响，发现硅基空气环型光子晶体结构的完全禁带宽度值很小，无法优于传统硅基空气孔型光子晶体结构.为了有效增大硅基蜂窝状空气环型光子晶体的完全禁带，本文将内芯介质柱替换为高折射率或各向异性的材料.当引入高折射率的介质柱材料时，空气环型光子晶体完全禁带宽度明显增大，最大可达15.59%；进一步引入各向异性材料Te作为介质柱材料，蜂窝状空气环型光子晶体明显优于传统蜂窝状空气孔型光子晶体，最大完全禁带宽度值达到16.889%.

光子晶体； 完全禁带； 平面波展开法； 各向异性Te

硅是一种性能优越的半导体材料，在集成电路的发展过程中起到了重要作用，其理论体系相当完善，加工技术也非常成熟.不仅如此，硅材料还是一种被广泛运用的光子材料，使得硅基集成光电子学的研究备受青睐.硅基光电集成器件，要求尺寸很小，达到了微纳米级别，无法用几何光学的理论体系来研究，因此迫切需要新的理论[1-2].光子晶体的出现刚好满足了这一需求，其独特的光子禁带及光子局域特性被广泛研究，其理论研究不断深入，应用的领域也不断扩大.利用光子晶体，可以实现光子晶体波导、光子晶体发光二极管、光学二极管、全光开关及光子晶体光纤等[3-5].光子晶体灵活操控光传播的特性与成熟的硅加工技术的有效结合，有望解决硅基光电子器件发展中的理论难题及技术障碍[1].因此硅基光子晶体的禁带分析及器件设计显得尤为重要.

光子晶体按材料折射率在空间分布的不同，常被分为一维、二维及三维.虽然三维光子晶体被证实可实现全方位禁带，但结构相对复杂，其制作仍是一大挑战.相对而言，二维光子晶体，特别是工作频率处在近红外波段时，更容易被制作，因此是光子晶体领域中被使用最多的一种结构.二维光子晶体在周期平面内传播的光有两种偏振模式，即“横电模式”(TE)和“横磁模式”(TM).TE模式和TM模式将各自构成完全不同的能带曲线，只有在相同频率范围为各自形成禁带时，才能产生“完全禁带”[1，3-4].如何通过简单的光子晶体结构来获得宽的完全禁带一直是光子晶体研究领域的一个重点.

为了增大光子晶体的完全禁带宽度，人们采取了多种措施，例如，改变光子晶体的晶格结构、引入各向异性材料、降低结构的对称性或加入金属材料等[6-11].其中，值得一提的是，H. Kurt教授提出了一种空气环型光子晶体，即介质中的空气环结构，能有效地增宽完全带隙[10].随之，利用空气环型光子晶体来增大完全禁带的研究众多.然而，已有研究表明，二维硅基三角形空气环型光子晶体很难获得宽的完全禁带，归一化带宽值小于10%[11].因此，我们特别关注硅基环形光子晶体的禁带特性，希望找到有效方法来获得宽的完全禁带，为高性能的硅基光子晶体器件的设计提供参考.同时，空气环型光子晶体按晶格类型不同可分为正方型、三角型及蜂窝型，其中前两种类型研究较多，而系统地研究蜂窝型光子晶体的研究并不是很多，因此本文重点关注二维硅基蜂窝型空气环型光子晶体的完全禁带特性.

本文首先构建了二维硅基蜂窝状空气环型光子晶体的模型.采用平面波展开方法，得到了硅基蜂窝状空气环型光子晶体的能带结构，发现随着介质柱半径的增大，完全禁带逐渐减小；进一步探讨了空气孔半径及介质柱半径对完全禁带宽度的影响，发现硅基空气环型光子晶体结构无法优于传统硅基空气孔型光子晶体结构.为了使硅基空气环型光子晶体能获得宽的完全带隙，本文将内芯介质柱替换为高折射率或各向异性材料Te，发现空气环型光子晶体完全禁带宽度明显增大，硅基蜂窝状空气环型光子晶体将优于传统的硅基蜂窝状空气孔型光子晶体，研究结果为高性能的硅基光子晶体器件的设计提供了参考.

1 理论及模型

由麦克斯韦方程可知[12]

，

(1)

式中，ω代表频率，c是光速.

(2)

(3)

式中，

(4)

(5)

式中，Ω表示单位晶格的面积.

由线性矩阵方程求出特征值后，便可获知光子晶体的能带曲线及本证电磁场的具体分布情况[1].由于蜂窝结构并非布拉菲格子，实际上是具有两点基元的三角形布拉菲格子，因此在计算时，应利用几何结构因子来修改傅立叶展开系数，从而获得能带结构[14-15].

二维硅基蜂窝状空气环型光子晶体的结构如图1所示.其中，介质柱的半径为r，折射率为n′，介质柱放入半径为R的空气孔的正中央，介质背景的折射率设为n.a为最近邻介质柱中心间的距离.

图1 二维蜂窝状空气环型光子晶体结构Fig.1 The two-dimensional annular photonic crystals with honeycomb lattices

利用上述电磁场理论，通过平面波展开法获得的计算结果，在PBG频率值附近，其误差值约小于2%.二维光子晶体结构，指的是在平面(设为xy平面)内介质按周期性排列，在z方向上介质是无限延伸的，所以对kz的值没有限制.因此，在周期平面内将出现光子带隙，当光的频率刚好处在带隙范围内时，将无法在平面内继续传播，而被辐射到周围的空气中[1].当kz=0时，所有的模式都将对xy平面成镜像对称.基于此特性，平面内传播的光被分为两种偏振模式，即：TE模式和TM模式.前者表示的是：电场在xy平面内，而磁场却垂直于该平面；后者刚好与之相反，表示为：磁场在xy平面内，而电场却垂直于该平面[1].TE模式和TM模式完全不同，一种模式形成禁带，可能另一种模式却未形成禁带，而仅当两者均形成禁带且频率范围重合时，完全禁带才会产生.

2 结果及讨论

选取介质柱及基底均为Si材料(折射率为3.45)，分析二维硅基蜂窝状空气环型光子晶体的能带结构.首先，以空气孔的半径R=0.47a为例，分析当介质柱半径变化时能带结构的改变情况.然后，探讨完全禁带宽度随介质柱半径及空气孔半径的变化曲线.

依次选取介质柱半径r为0，0.05a及0.15a为例，采用平面波展开法获得光子晶体能带结构，获知完全禁带的宽度，结果如图2所示.我们将TE模式表示为空心圆，将TM模式表示为实心圆，若两种模式各自形成禁带，禁带区域即图中的阴影部分.当两类阴影区间重叠，则此重叠区域即为完全禁带.光子晶体通常采用归一化频率值Δω/ωm代表PBG的宽度，此处，ωm为PBG的中心频率值，Δω为PBG的频率宽度.

图2 R=0.47a时，介质柱半径取不同值时的能带曲线 (a) r=0，(b) r=0.05a，(c) r=0.15aFig.2 The band diagrams for the different rod radius with R=0.47a (a) r=0，(b) r=0.05a，(c) r=0.15a

当r=0时，结构实际上为蜂窝状空气孔型光子晶体，图2(a)显示，此时完全禁带出现在0.4192～0.48456(ω a/2πc)，完全禁带宽度为14.467%.即说明，对于二维硅基蜂窝状空气孔型光子晶体，当孔半径为0.47a时，禁带宽度已达到14.467%.当r=0.05a时，由图2(b)可知，完全禁带的范围为0.41912～0.46624(ω a/2πc)，完全禁带宽度为10.643%，说明当介质柱半径由0增大时，获得的空气环型光子晶体的完全禁带小于传统空气孔光子晶体的完全禁带.当r继续增大至0.15a时，图2(c)显示，完全禁带的范围为0.42416～0.4449(ω a/2πc)，完全禁带宽度减小至4.78%，完全禁带宽度随着介质柱半径的增大急速地减小.为了更清晰地反映二维硅基蜂窝状空气环型光子晶体的完全禁带宽度随介质柱半径及空气孔半径的变化关系，分别选取R为0.45a，0.46a及0.47a，探讨完全禁带宽度随r的变化关系，结果如图3所示.

图3 完全禁带宽度随介质柱半径的变化关系曲线(n=n′=3.45)Fig.3 The absolute PBG variation as the dielectric rod radius(n=n′=3.45)

由图3可知，当空气孔半径R一定时，随着介质柱半径r的增大，完全禁带宽度先急速减小，而后会小幅度地振荡，禁带宽度值远小于r为0时的取值.考虑到实际制作的困难，r值不宜过小，因此图3说明传统蜂窝状空气孔型光子晶体将更优于硅基蜂窝状空气环型光子晶体.早前，文献11中探讨了二维正方排列和三角排列的空气环型光子晶体，得到了类似的结论，即：当基底的折射率值小于4(Si的折射率为3.45)时，空气环型结构无法获得比空气孔型光子晶体更宽的完全禁带.

以上研究说明，为了有效增大硅基空气环型光子晶体的完全禁带，应采取其他措施.此处，设定硅材料为背景(n=3.45)，引入折射率为n′的的介质柱，探讨当n′取2，3，4，5及6时，蜂窝状空气环型光子晶体的完全禁带随介质柱半径的变化关系.以空气孔半径R=0.45a为例获得的结果如图4所示.

图4 完全禁带随介质柱半径的变化关系曲线(R=0.45a，n=3.45)Fig.4 The absolute PBG variation as the dielectric rod radius for R=0.45a and n=3.45

由图4可知，当介质柱半径r为0时，对应的空气孔型光子晶体的完全禁带值为9.912 5%.当介质柱折射率小于4时，随着介质柱半径的增大，完全禁带几乎是逐渐地减小到0.当n′=4时，完全禁带会先减小，而后逐渐增大至一个极大值(9.422%)，此时空气环型光子晶体仍无法优于空气孔型光子晶体.只有当介质柱折射率增大至5时，完全禁带随着空气孔半径的增大，先较小，而后急速增大至另一个极大值，此极大值远大于空气孔型的禁带宽度9.912 5%.图4的结果说明，只有当介质柱的折射率增大至5时，二维硅基蜂窝状空气环型光子晶体才会优于传统的蜂窝状空气孔型光子晶体.当n′=6，r=0.07a时，完全禁带最宽，值为15.59%.因此通过引入高折射率的介质柱，完全禁带明显增宽，15.59%的禁带宽度值明显地高于文献10和文献11中所获得的禁带宽度值(禁带宽度值小于10%).

进一步，设定硅材料为背景(n=3.45)，引入各向异性材料Te作为介质柱材料，标记此种结构为“Si-Te”.各向异性的Te材料有两个不同的折射率值，其中寻常折射率为no=4.8，异常折射率为ne=6.2.图5给出了相应的完全禁带宽度随介质柱半径的变化曲线.

图5 Si-Te结构的完全禁带随介质柱半径的变化关系曲线Fig.5 The absolute PBG variation as the dielectric rod radius for Si-Te structures

由图5可知，对于Si-Te结构，当空气孔半径R为0.45a，0.46a及0.47a时，硅基蜂窝状空气环型光子晶体都将获得比传统的空气孔型光子晶体更宽的完全禁带.当R=0.45a，r=0.07a时，完全禁带最宽，值为16.889%.由此可见，引入各向异性的介质柱，能有效地增大蜂窝状空气环型光子晶体的禁带宽度.

3 结论

本文系统地研究了蜂窝状空气环型光子晶体，特别探讨了具有广泛应用的硅基光子晶体.首先，本文构建了二维硅基蜂窝状空气环型光子晶体.然后，采用平面波展开方法，得到了硅基蜂窝状空气环型光子晶体的能带结构，结果表明，随着介质柱半径的增大，完全禁带宽度急速减小.以空气孔半径为 0.45a，0.46a及0.47a为例，探讨了二维硅基蜂窝状空气环型光子晶体的完全禁带宽度随介质柱半径及空气孔半径的变化关系，发现硅基空气环型光子晶体完全禁带宽度远小于传统硅基空气孔型光子晶体完全禁带宽度值.为了有效增大硅基空气环型光子晶体的完全禁带宽度，首先引入高折射率的介质柱材料，发现空气环型光子晶体完全禁带宽度明显增大，最大可达15.59%，此禁带宽度值明显地高于文献中所报道的结果(禁带宽度值小于10%)；进一步引入各向异性材料Te作为介质柱材料，结果表明，此时蜂窝状空气环型光子晶体明显优于传统空气孔型光子晶体，最大完全禁带宽度值达到16.889%.研究结果为硅基空气环型光子晶体获得宽的完全禁带提出了有效方法，为高性能的硅基光子晶体器件的设计提供了理论参考.

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Absolute photonic band gap in 2D honeycomb silicon annular photonic crystals

LIU Dan，HU Sen，XIAO Ming，WANG Yun，TONG Aihong，JI Zijuan

(Institute of Information Science and Technolog, Department of Physics and Mechanical and Electrical Engineering，Hubei University of Education，Wuhan 430205)

A two-dimensional honeycomb silicon annular photonic crystal (PC) is proposed，and the photonic band structures are obtained by using the plane wave expansion method. The effects of air-hole radius and rod radius on absolute photonic band gap (PBG) are also analyzed. The results reveal that the silicon annular PCs have small absolute PBGs and can not show more advantage than the usual air-hole silicon PCs. In order to obtain large absolute PBGs in honeycomb silicon annular PC，the inner dielectric rods have been instead of high refractive index or anisotropic materials. When involving the high refractive index dielectric rods，the absolute PBGs obviously increase and the largest absolute gap is 15.59%. Moreover，involving anisotropic Te rods in honeycomb annular PCs，the silicon annular PCs can show more advantage than the usual air-hole silicon PCs，and the largest absolute gap is 16.889%．

photonic crystal; absolute photonic band gap; plane wave expansion method; anisotropic tellurium

2016-03-18.

湖北省教育厅中青年人才项目(Q20153004).

1000-1190(2016)05-0660-05

O482.3

A

*E-mail: liudan725@126.com.