广义Fibonacci数列和Lucsa数列的关系式

张福玲

(渭南师范学院数理学院数学系，陕西 渭南 714099)



·基础学科·

广义Fibonacci数列和Lucsa数列的关系式

张福玲

(渭南师范学院数理学院数学系，陕西 渭南 714099)

广义Fibonacci数列; 广义Lucas数列; 关系

1 预备知识

著名Fibonacci数列{Fn}和Lucas数列{Ln}是由二次线性递推公式Fn+1=Fn+Fn-1和Ln+1=Ln+Ln-1，n≥0定义，其中F0=1,F1=1,L0=2,L1=1。文献[1]研究了Fibonacci数列和Lucas数列的一些关系式：

同时文献[1]定义了广义的Fibonacci数列和Lucas数列F-n=(-1)n+1Fn，L-n=(-1)nLn。文献[2-3]研究了Fibonacci-Lucas数列的关系

文献[4]研究了Fibonacci-Lucas数列的关系式

文献[5]定义了广义Fibonacci数列{un}

un+1=Aun+Bun-1,u0=0,u1=1,n=2,3,…

(1)

和广义Lucas数列{vn}

vn+1=Avn+Bvn-1,v0=2,v1=A,n=2,3,…

(2)

其中A,B是非负整数且A2+4B≠0。文献[6]给出了广义Fibonacci数列的通项公式和Lucas数列的通项公式

(3)

本文根据文献[1]和文献[4-5]，将文献[4]中定义的广义Fibonacci数列和Lucas数列推广为

(4)

由广义Fibonacci数列和Lucas数列的通项公式易得：

Aun+vn=2un+1,n≥0，

(5)

vrvn-r=vn+(-B)rvn-2r。

(6)

将文献[1-4]中Fibonacci数列和Lucas数列的关系式进行推广，得到了广义Fibonacci数列和Lucas数列的关系式：

2 主要结论及证明

证明 用数学归纳法证明。

当n=0,1时， 根据式(1)—(4)上式成立。假设当n=k时成立，即

那么当n=k+1时，

而

定理1证毕。

证明 由定理1和式(6)可得

证明 由式(3)得

所以

根据定理1和式(1)有

证明 用数学归纳法证明。

当n=0,1时， 根据式(1)—(4)上式成立。假设当n=k时成立即

那么当n=k+1时，

即定理4成立。

证明 用数学归纳法证明。

当n=0,1时， 由式(1)—(4)可知上式成立。假设当n=k时成立即

那么当n=k+1时，由(1)式可得

即定理5成立。

证明 用数学归纳法证明。

当n=0,1时， 由式(1)—(4)可知上式成立。假设当n=k时成立，即

那么当n=k+1时，

A3k+1uk+1+3k+1vk+1+3k+1uk+2=

3k+1(Auk+1+vk+1)+3k+1uk+2=

3k+1·2uk+2+3k+1uk+2=3k+2uk+2，

即定理6成立。

[1]Vajda S. Fibonacci&Lucas Number, and the Golden Section Theory and Applications [M]. England: Halsted Press,1989.

[2]Sury B. A Polynomial Parent to Fibonacci -Lucas Relation[J].Amer Math Monthly ,2014,121(3):236.

[3]Kwong H. An Alternate Proof of Sury ’s Fibonacci -Lucas Relation[J]. Amer Math Monthly ,2014,122(6):514.

[4]Marques D. A New Fibonacci -Lucas Relation[J]. Amer Math Monthly ,2015,122(7):683.

[5]邓勇．基于广义Fibonacci和Lucas数的准循环矩阵研究[J]．重庆师范大学学报(自然科学版)，2015，32(6)：72.

[6]张福玲．广义Fibonacci数列的和公式[J]．重庆师范大学学报(自然科学版)，2011，28(5)：45.

(编校：叶超)

Some Relations of Generalized Fibonacci Sequence and Lucas Sequence

ZHANG Fuling

(Dept. of Mathematics, College of Mathematics and Physics, Weinan Teacher’s College, Weinan 714099 China)

generalized Fibonacci sequence; generalized Lucas sequence; relation

2016-04-24

陕西省教育厅科学研究计划专项项目广义Fibonacci数列性质与若干变换的研究(No.15JK1262);渭南师范学院科研基金项目Lucas数中素因子指数下标的关系研究(No. 14YKP008);渭南师范学院基础数学重点学科资助。

张福玲(1970—)，女，副教授，硕士，主要研究方向为数论。

O157

A

1673-159X(2016)05-0080-4

10.3969/j.issn.1673-159X.2016.05.015