二次函数在中考中的考点很多,经常以拉分题形式出现在卷末.下面以今年的中考题为例,让我们一起来看看中考从哪些角度考查这类题型.
一、二次函数的几何型应用
例1 (2016·江苏泰州)二次函数y=x2-2x-3的图像如图1所示,若线段AB在x轴上,且AB为[23]个单位长度,以AB为边作等边△ABC,使点C落在该函数y轴右
【考点】等边三角形、二次函数.
【分析】由题意,点C满足两个条件,一是△ABC是等边三角形,二是点C在函数y轴右侧的图像上.设点C的坐标为(a,a2-2a-3),过点C作AB的垂线段CD,根据△ABC是等边三角形,AD=[3],可得CD=3,列出关于a的方程,求出a的值,得出点C的坐标.
解:如图2,过点C作CD⊥AB,垂足为D.
设点C坐标为(a,a2-2a-3),
∴CD=[a2-2a-3].
∵△ABC是等边三角形且AB=[23],
∴AD=[3],∴CD=3,
∴[a2-2a-3]=3.
∴a2-2a-3=3,得出a=1±[7].
图2
或a2-2a-3=-3,得出a=0或a=2.
∵a>0,∴a=1+[7]或2.
∴点C坐标为(1+[7],3)或(2,-3).
【总结】题中的点C满足两个条件,若先设点A的坐标,根据等边三角形的线段关系得出点C的坐标,再代入抛物线的解析式中,此种做法显得繁琐且方程难以解出,因此解题时如若遇到这种情况,不妨换种思路,先利用点C在抛物线上的条件设出点C的坐标,再结合等边三角形的知识列出方程,你会发现“柳暗花明又一村”.
二、二次函数的代数型应用
例2 (2016·江苏扬州)某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0).未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大,a的取值范围应为 .
【考点】利润问题、二次函数.
【分析】根据题意可以先列出第t天缴纳电商平台推广费用后的利润关于天数t的函数,再根据利润随天数的增大而增大的条件,结合二次函数的图像与性质、天数t的范围,列出关于a的不等式,求出a的取值范围.
解:由题意,第t天缴纳电商平台推广费用后一件时装的利润为(70-a-t)元,第t天时装的销量为(20+4t)件,设第t天获得的利润为y元,则y=(70-a-t)(20+4t)=-4t2+(260-4a)t+1400-20a.
∵此二次函数图像——抛物线的开口向下,且当0≤t≤30时,y随t的增大而增大,∴抛物线顶点的横坐标应大于或等于30,
∴-[260-4a-8]≥30,解得:a≤5.