2道课本试题的探究

●王健发

(华罗庚中学 广东惠州 516000)



2道课本试题的探究

●王健发

(华罗庚中学 广东惠州 516000)

笔者对人教版《数学(必修5)》习题2.1A组第4题与复习参考题B组第6题进行研究后,发现这2道题可以归结为同一种类型,并进行了如下探究.

(人教版必修5习题2.1A组第4题第2)小题)

例2 已知数列{an}中,a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(其中n≥3)，对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？

(人教版必修5复习参考题B组第6题)

这2道题都给出了数列的递推公式，首先我们对例2的递推公式进行适当地变形，将会发现它们可以化为同一结构.

将递推公式an=2an-1+3an-22边同除以an-2，可得

bn·bn-1=2bn-1+3，

2边同除以bn-1，得

先来看一道广泛分布在各类复习书和试卷中的测试题：

这道测试题的目的是检测学生对等差数列定义的理解和求通项公式.我们先给出该题的解答过程，再进行探究性拓展.

解 因为

注意到这道测试题也是给出了类似的递推公式，而且通过对原数列加减某一个数,再取倒数构造出一个等差数列最终求出原数列的通项公式.

但是上述2道习题却难以通过这种方式解决.

解得

p=-2x,r=-x2.

设公比为q，则

由式(1)得

整理得

(x-y)(x+y+p)=0,

从而

x-y=0(舍去)或x+y=-p,

整理得

(x-y)(xy+r)=0,

从而x-y=0(舍去)或xy=-r.

即

例5 (斐波拉契数列)数列{Fn}满足：F1=F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(其中n≥3)，求数列{Fn}的通项公式.

解 为了应用上述定理，先将Fn=Fn-1+Fn-2进行变形.2边同除以Fn-2,得

即

或

当n=1时，F1=1适合上式,从而

当Δ=p2+4r=0时，可通过构造等差数列求通项公式；

当Δ=p2+4r≠0时，可通过构造等比数列求通项公式.

例6 已知数列{an}满足：a1=1，a2=3，an=2an-1+3an-2+4,求{an}的通项公式.

解 因为an=2an-1+3an-2+4，所以

an+1=2(an-1+1)+3(an-2+1).

令bn=an+1，则

bn=2bn-1+3bn-2,

2边同除以bn-2，可得

因为p=2,r=3，所以

p2+4r≠0.

故

即

当n=1,n=2时，a1=1,a2=3适合上式，因此

如果将例6中递推公式的常数4改为常见的指数形式或者一次函数形式，问题仍然可获解.限于篇幅，我们只给出一个具体的指数形式进行分析.

例7 已知数列{an}满足：a1=1，a2=3，an=2an-1+3an-2+2n,求{an}的通项公式.

解 可先将递推公式an=2an-1+3an-2+2n变形为

an+λ·2n= 2(an-1+λ·2n-1)+

3(an-2+λ·2n-2),

即

an=2an-1+3an-2+3λ·2n-2，

本文是广东省“十二五”规划立项课题“山区高中数学分层教学的策略研究”(编号：2013YQJK195)的阶段性研究成果.