一类非线性高阶q-对称差分方程解的存在性

徐佳宁， 何延生

( 延边大学 理学院，吉林 延吉 133002 )

摘 要：研究一类非线性高阶q-对称差分方程解的存在性，通过计算得出解的表达形式，利用Banach空间完全连续算子的不动点定理得出解的存在唯一性结果，应用Schaefer's不动点定理得出解的存在性。



一类非线性高阶q-对称差分方程解的存在性

徐佳宁， 何延生

( 延边大学 理学院，吉林 延吉 133002 )

摘 要：研究一类非线性高阶q-对称差分方程解的存在性，通过计算得出解的表达形式，利用Banach空间完全连续算子的不动点定理得出解的存在唯一性结果，应用Schaefer's不动点定理得出解的存在性。

q-对称差分方程； 解的唯一性； 不动点定理； 解的存在性

0 引言

这里q是不等于1的常数,t≠0且f是一个实函数。如果f在t≠0时是可微的,则有

q-对称微积分在很多领域已被证明实用，尤其在机械学[7-8]中 。近年来，关于q-量子微积分研究有很大进展，关于q-对称微积分研究较少[9-10]。文献[9]首先给出关于q-对称微积分的一些定义；然后建立q-对称变换问题的一个充分必要条件,即

文献[10]研究一类二阶q-对称差分方程两点边值问题解的存在性，即

首先，利用Banach空间压缩映像原理获得解的存在唯一性结果；其次，在一定的边界条件下，假设非线性项具有超线性和次线性，建立该问题存在正解的充分性条件。笔者研究非线性高阶q-对称差分方程问题，主要研究BVP(1)-(2),即

解的唯一性和存在性。

1 预备知识

另记

假设q∈(0,1),I是R的一个包含0的区间(有界或无界)，表示Iq,即

定义1[10]假定f是一个定义在I上的实值函数，则f的q-对称差分算子定义为

定义2[10]假定a,b∈I，且a

这里

且如果一致收敛于x=a和x=b，则f在[a,b]上是q-对称可积的。

引理1[10]假设f是一个定义在I上的连续函数，且f在x=0处连续，则对于每一个x∈1，定义

显然F在x=0处连续。

根据定义1，推出其计算公式。

引理3[10]多重q-对称积分，即

等价于

这里

证明：利用数学归纳法证明。

当n=2时,有

由引理3得出

假设n=k时成立，当n=k+1时,有

引理4[9]Schaefer's不动点定理：假定C[a,b]是一个Banach空间，算子F:C([a,b],R)→C([a,b],R)是一个完全连续算子，如果集合

E={u=rFu:u∈E,0≤r≤1}

是有界的，则算子F在C([a,b],R)上至少有一个不动点。

2 解的表达形式

建立BVP(1)-(2)问题的解

为得到问题BVP(1)-(2)的解，引入定理。

定理2 假设aq-n

的唯一解为

这里

且满足条件

(5)

证明：由引理3、式(3)和式(4)知

3 解的唯一性

引理5 对函数Bn(x)有B2k-1(a)=0,k=1,2,…,且当x∈[a,q-(n-2)a)时，

当x∈(q-(n-2)a,b]时

证明：

当x∈[a,q-(n-2)a)时，

当x∈(q-(n-2)a,b]时，

结论成立。

那么边值问题有唯一的解。

这里

ρn=max{Bn(a),Bn(b),Bn(aq-(n-2))}。

证明：由定理2知问题BVP(1)-(2)有唯一解,可表示为

在C[a,b]定义算子,即

那么对任意的y,z∈C[a,b]，有

当n=2k时,

当n=2k+1时，

4 解的存在性

定理4[9]假设

(1)函数f：[a,b]×R→R是连续的,

(2)存在一个N,当N>0时，|f(x,u)|≤N,∀x∈[a,b],u∈R,

则BVP(1)-(2)在[a,b]上至少有一个解。

证明：用Schaefer's不动点定理，分4步来证明。

第1步：F是连续的。

令{ym}是一个数列，且ym→y，那么对于任意的x∈[a,b]，有

当n=2k时,

当n=2k+1时,

由f的连续性可知

即‖(Fym)(x)-(Fy)(x)‖∞→0。

第2步：F在[a,b]是有界集。

对于任意的η*>0，存在一个常数，即当

时，有‖F(y)‖∞≤。

由定理4得出,对于每一个x∈[a,b],即

第3步：令x1,x2∈[a,b],且x1

综合步骤1—3可知算子F:C([a,b],R)→C([a,b],R)是完全连续的。

第4步：假设ε={y∈C([a,b],R):y=λF(y),0<λ<1}是有界的，取y∈ε，则y=λF(y)，因此，对于每一个x∈[a,b]，有

由定理4中条件(2)得对于任意的x∈[a,b],有

因此，对于每一个x∈[a,b]，有

可以证明ε是有界的，由Schaefer's不动点定理得出F有一个解 。

5 结束语

研究一类非线性高阶q-对称差分方程解的问题，首先通过计算得出解的表达形式；然后建立Banach空间和完全连续算子F，利用不动点定理得到解的唯一性；最后利用Schaefer's不动点定理证明解的存在性。

[1] Page D N. Information in black hole radiation [J]. Physical Review letters,1993,71(23):3743-3746.

[2] Donam Y.q-deformed conformal quantum mechanics [J]. Physical Review D, 2000,62(9):276-284.

[3] Jordan C. Calculus of finite differences [M]. New York: Chelsea Publishing Company, 1950:141-145.

[4] Ernst T. The different tongues ofq-calculus [J]. Proceedings of Estonian Academy of Sciences, 2008,57(2):81-99.

[5] Koekoek R, Lesky P A. Hypergeometric orthogonal polynomials and theirq-Analogues [M]. Springer Berlin Heidelberg: American Mathematical Society, 2010:413-552.

[6] Jackon F H.q-difference equations [J]. American Journal of Mathematics, 1910,32(4):305-314.

[7] Lavagno A, Gervino G. Quantum mechanics inq-deformed calculus [J]. Journal of Physics Conference Series, 2009,174(1):223-239.

[8] Jackson G H. On aq-definite integrals [J]. The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 1910(41):193-203.

[9] Brito D C A M C, Martins N. Theq-symmetric variational calculus [J]. Computers and Mathematics with Applications, 2012,64(7):2241-2250.

[10] 徐佳宁,侯成敏.一类二阶q-对称差分方程两点边值问题解的存在性[J].延边大学学报:自然科学版,2015,41(3):189-195.

Xu Jianing, Hou Chengmin. Existence of solutions for a class ofq-symmetric difference equation two points boundary value problem [J]. Journal of Yanbian University: Natural Science, 2015,41(3):189-195.

[11] 张瑜,侯成敏.带有p-Laplacian算子的分数阶多点边值问题单调正解的存在性[J].东北石油大学学报,2014,38(6):116-125.

Zhang Yu, Hou Chengmin. Existence of monotone positive solution for fractional multipoint boundary value problem withp-Laplacian operator [J]. Journal of Northeast Petroleum University, 2014,38(6):116-125.

[12] Gasper G, Rahman M. Basic hypergeometric series [M]. Basic Hypergeometric Series: Cambrige University Press, 1990:175-203.

[13] Hahn W. Lineare Geometrische Differencezengleichungen [J]. Ferschungszentrum Graz-Statistische Sektion, 1981(66):48-56.

[14] Zhang Xinguang, Liu Lishan, Benchawan W, et al. The eigenvalue for a class of singular P-Laplacian fractional differential equations involving the Riemnn-Stieltjes integral boundary condition [J]. Applied Mathematics and Computation, 2014,235(4):412-422.

[15] Benchohra M, Hamani S, Ntouyas S K. Boundary value problems for differential equitions with fractional order and nonlocal conditions [J]. Surveys in Mathematics and Its Applications, 2008,71(7-8):2391-2396.

2016-06-23；编辑：关开澄

国家自然科学基金项目(11161049)

徐佳宁(1992-),女,硕士研究生, 主要从事偏微分方程方面的研究。

何延生,E-mail:a13039337970@126.com

O175.6

A

2095-4107(2016)05-0114-09

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2016.05.014